由一道四點(diǎn)共圓問題引發(fā)的思考

劉暉

四點(diǎn)共圓問題的常見命題形式是：（1）根據(jù)已知條件，判斷四點(diǎn)是否共圓;（2）根據(jù)已知條件，證明四點(diǎn)共圓.這類問題的運(yùn)算量較大，求解過程較為繁瑣，通常需靈活運(yùn)用直線的方程、直線的斜率，圓的定義、圓的方程、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式，一元二次方程的韋達(dá)定理、判別式等來(lái)求解.本文結(jié)合2021年湖南師大附中5 月聯(lián)考的第22題，談一談四點(diǎn)共圓問題的解法.

題目：

第一個(gè)小問題較為簡(jiǎn)單，只需設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和判別式進(jìn)行求解即可.這里主要討論第二個(gè)小問題的解法.需先畫出如圖所示的圖形，以便明確點(diǎn)、直線、橢圓的位置及其關(guān)系，再結(jié)合題意來(lái)尋找解題的思路.

思路一：利用圓的相交弦定理

我們知道，有關(guān)圓的性質(zhì)、定理很多，其中用得較多的有垂徑定理、相交弦定理.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.解答四點(diǎn)共圓問題時(shí)，可根據(jù)題意找到兩條相交弦，分別求得其線段的長(zhǎng)，根據(jù)相交弦定理建立關(guān)系式，即可判斷四點(diǎn)是否共圓.

解法1

解答本題，需根據(jù)圓的相交弦定理得到關(guān)系式 AN2 = CN?ND ，建立關(guān)于k的關(guān)系式，再根據(jù)方程的性質(zhì)求得 y0 的值.在求得兩條相交弦的弦長(zhǎng)時(shí)，需用到弦長(zhǎng)公式和兩點(diǎn)間的距離公式.

解法2

解答本題主要運(yùn)用了圓的相交弦定理，得到關(guān)系式 NC ? ND = NA ? NB，然后根據(jù)直線的方程和韋達(dá)定理表示出該式，建立關(guān)于 λ和k 的方程，便可獲解.相對(duì)解法1而言，解法2的計(jì)算量有所減少.

解法3

過點(diǎn) （x0，y0） 、傾斜角為 α 的直線的參數(shù)方程為 {x = x0 + t cos α， y = y0 + tsin α，其中t表示直線 l 上以定點(diǎn)M0 （x0，y0） 為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段∣M0M∣的長(zhǎng). 若直線 l 上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA、tB，則A、 B兩點(diǎn)之間的距離為 |AB| = |tA - tB|. 在解答四點(diǎn)共圓問題時(shí)，可將四點(diǎn)連接起來(lái)，用直線的參數(shù)方程的幾何意義來(lái)表示圓的相交弦長(zhǎng)，便可根據(jù)圓的相交弦定理建立關(guān)系式，求得問題的答案.

思路二：構(gòu)建圓系方程

圓系方程是一種特殊的方程.在解析幾何中，符合某些特定條件的圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系有共同的方程稱為圓系方程.例如，經(jīng)過直線 Ax + By + C = 0與圓 x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的交點(diǎn)的圓系方程可表示為 x 2 + y2 + Dx + Ey + F + λ（Ax + By + C）=0. 在解答四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，可根據(jù)題意找到圓的共同點(diǎn)，據(jù)此建立圓系方程，進(jìn)而判斷四點(diǎn)是否共圓.

解：

解答本題，需根據(jù)直線AB與CD有交點(diǎn)建立二元二次方程，根據(jù) A、B、C、D 四點(diǎn)共圓建立圓系方程，得到關(guān)于k、λ 的方程，求得 y0的取值范圍. 這種解法的特點(diǎn)在于思路新奇，計(jì)算量比較小.

由此可見，解答四點(diǎn)共圓問題，需從圓的方程、性質(zhì)入手，構(gòu)建圓系方程，利用圓的相交弦定理來(lái)求解. 值得注意的是，四點(diǎn)共圓問題的難度較大，運(yùn)算量也較大，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要謹(jǐn)慎計(jì)算，避免出錯(cuò).