橫向拓寬求聯(lián) 縱向深入追理

【摘? ?要】從兩位數(shù)乘兩位數(shù)入手，探究“乘積最大的秘密”，并將學(xué)習(xí)的方法、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律遷移到對三位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)乘多位數(shù)的研究中。通過從兩位數(shù)到多位數(shù)的延伸探究推進(jìn)學(xué)生思維縱深發(fā)展;通過從算式到圖形的方法關(guān)聯(lián)拓寬學(xué)生思維廣度;通過從特殊到一般的遷移類推促進(jìn)學(xué)生思維靈活。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)乘積最大秘密的過程中，可通透知識內(nèi)容的本質(zhì)，提升解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】橫向發(fā)散;縱向深入;關(guān)聯(lián)

思維的條理性源于知識的結(jié)構(gòu)化。教學(xué)中，教師應(yīng)以數(shù)學(xué)核心知識為統(tǒng)領(lǐng)，或引導(dǎo)學(xué)生的思維由聚到散地橫向擴(kuò)展，使其對知識的理解、對方法的掌握，更加全面;或引導(dǎo)學(xué)生的思維由淺入深地縱向深入，將核心知識沿著問題的線索研究通透。通過橫向擴(kuò)展、縱向深入，學(xué)生的思維變得廣闊、深刻、靈活，由此及彼地擴(kuò)大知識的外延，突破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

基于“一題一課”的“乘積最大的秘密”教學(xué)，從兩位數(shù)乘兩位數(shù)入手，展開探究，再進(jìn)一步將思考拓展至三位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)乘多位數(shù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解“乘積最大的秘密”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、模型思想，發(fā)展想象和推理能力，促進(jìn)對乘法意義的進(jìn)一步理解。本節(jié)課既是對長方形面積與周長關(guān)系的抽象概括，又是對乘法分配律的提前滲透。

【教學(xué)過程】

一、前設(shè)求聯(lián)：整體建構(gòu)，探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)

出示問題：用1、2、3、4這四個數(shù)字組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式（每個數(shù)字只能用一次），怎樣組乘積最大？

1.理一理，聚焦關(guān)鍵算式

生：43×21。

生：41×32。

生：42×31。

……

（板書算式）

師：上面這些算式，哪些可以直接排除？

生：我覺得43×21可以直接排除，用估算的方法，把43估成40，把21估成20，它們的積只有800多，而其他兩個算式的積應(yīng)該有1200多。

生：題目要求的是乘積最大，所以必須把4和3放在十位上，才能保證乘積最大。

師：看來要使乘積最大，首先我們得確定高位。

（板書：先確定高位）

師：該怎么確定高位？

生：把較大的4和3分別放在兩個數(shù)的高位上。接著，在個位上填入剩下的1和2，得到了41×32和42×31這樣兩個算式。

（設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)情境，提出尋找乘積最大秘密的問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。出示題后，學(xué)生寫算式，通過估算排除積一定不是最大的算式，留下41×32和42×31兩個算式。以上過程有效激活學(xué)生原有的口算、估算、筆算等知識經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)找乘積最大的秘密做好鋪墊。）

2.算一算，比較積的大小

師：同學(xué)們很會動腦筋！那么41×32和42×31到底誰的積更大？還能通過估算得到嗎？請根據(jù)活動要求完成任務(wù)。

任務(wù)一：四人小組合作，探究41×32和42×31誰的積更大，并把小組內(nèi)討論的方法記錄下來。

活動要求：

算一算：選擇你喜歡的方法求出哪個算式的積更大。

想一想：你可以怎樣解釋為什么這個算式的積更大？

說一說：把你的想法說給小組成員聽。

（1）就數(shù)論數(shù)。

生：我利用列豎式的方法求得兩個算式的積分別是41×32=1312，42×31=1302，從而發(fā)現(xiàn)41×32的積更大。

生：我通過計算器直接計算并比較。

生：我把算式拆分了，41×32=41×31+41×1，42×31=41×31+1×31。可以看出第一個算式比41×31多了1個41，第二個算式比41×31多了1個31，41>31，所以第一個算式的積更大（如圖1）。

（2）以形驗(yàn)數(shù)。

師：同學(xué)們用了不同的方法求得41×32的積最大。如果用一個圖形表示41×32，你會用什么圖形？（長方形）41是這個圖形的什么？32呢？

生：41是它的長，32是它的寬。

師：我們用另一個不同顏色的長方形表示42×31，它的長和寬分別是多少？

生：它的長是42，寬是31。

師追問：想一想在圖形中1312和1302表示什么。

生：1312和1302正好是這兩個長方形的面積。

師：看來比較這兩個算式乘積的大小，其實(shí)就是比它們面積的大小。請拿出信封里的兩張長方形紙片比一比它們的大小。

生：可以利用畫一畫、折一折的方法來比較這兩張長方形紙片的大小。

師：剛才有同學(xué)利用拆分算式的方法發(fā)現(xiàn)第一個算式多了1個41，第二個算式多了1個31，你能結(jié)合圖2解釋為什么會多1個41和1個31了嗎？

生：通過折一折，也可以發(fā)現(xiàn)多出來的第一個長方形的面積是41×1，多出來的第二個長方形面積是31×1，第一個長方形面積比第二個長方形的面積多10，41×32的積正好比42×31多10。

師：長方形中，好像也隱藏著乘積最大的秘密。這節(jié)課我們就來研究乘積最大的秘密。

（教師出示課題）

3.練一練，建立算式模型

出示練習(xí)：用9、8、7、6四個數(shù)字組成□□×□□的算式，哪個算式乘積最大？

師：你能不計算直接寫出乘積最大的算式嗎？

生：能?？梢韵却_定高位一定是較大的9和8，得到96×87和97×86兩個算式。

生：96×87=96×86+96，97×86=96×86+86，96>86，所以，96×87的積更大。

師：同學(xué)們仔細(xì)觀察41×32、96×87這兩道乘積最大的算式，它們的數(shù)字排列有什么共同特點(diǎn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是最大的數(shù)和最小的數(shù)組成一個兩位數(shù)，排在中間的兩個數(shù)再組成另一個兩位數(shù)。

師：你們真會觀察，如果用ABCD表示從小到大的4個數(shù)字，組成□□×□□的算式，怎樣安排乘積最大？（如圖3）

生：DA×CB。

師：為什么這樣乘積最大呢？

生：因?yàn)殚L方形的長和寬越接近，面積越大，這樣排列后，BC與DA的差更小，所以得到的積更大。

（設(shè)計意圖：從直接計算到算式拆分，從“就數(shù)論數(shù)”到“以形驗(yàn)數(shù)”，將乘法與長方形面積相結(jié)合，溝通乘法算式與長方形面積之間的關(guān)系，讓抽象的算式變得直觀，有利于學(xué)生對于乘積最大原理的深度理解。得出規(guī)律后，再一次聚焦乘積最大算式的數(shù)字排列特點(diǎn)，用字母的形式表示積最大的模型，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘積最大的這類問題一般化，溝通乘積最大問題的聯(lián)系，構(gòu)建解決問題的數(shù)學(xué)模型。）

二、中間求變：適度開放，探究三位數(shù)乘兩位數(shù)

師：如果再增加一個數(shù)字，寫出三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，怎樣寫乘積最大？

1.有“0”時三位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的情況

出示問題：用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式（每個數(shù)字只能用一次），使得積最大。

生：先確定高位是4和3，最小的0一定在末尾，當(dāng)末尾有0時可以先不看0，因此我們可以把0先藏起來。

生：將問題轉(zhuǎn)變成了4個數(shù)字寫乘積最大的算式，就可以利用AD×BC模型得到41×32。最后把0添在末尾，有兩種情況：410×32=13120或41×320=13120。

2.無“0”時三位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的情況

師：請根據(jù)活動要求完成任務(wù)二。

任務(wù)二：用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘二位數(shù)的乘法算式（每個數(shù)字只能用一次），使得積最大。

活動要求：

（1）猜一猜：怎樣的算式乘積最大？

（2）驗(yàn)一驗(yàn)：列一列算式，驗(yàn)證自己的猜想是否正確。

（3）理一理：理清自己的想法，準(zhǔn)備匯報。

生：先確定高位分別是5和4，把3放在4的后面，把2放在5的后面，最后確定1的位置。

師：為什么不是53×42呢？

生：53×42=52×42+42，52×43=52×42+52，52>42，所以要把3放在4的后面。

師：最后的“1”，應(yīng)該放在哪里呢？

生：因?yàn)榘选?”放在43的后面，所得的積比520×43的結(jié)果多了一個52，把1放在52的后面，所得的積比520×43的結(jié)果多了一個43，所以“1”放在43的后面。52×431的積是最大的。

（課件動態(tài)演示，如圖4）

師：你也能像剛才那樣，用幾個字母來歸納三位數(shù)乘兩位數(shù)乘積最大的模型嗎？

生：用ABCDE表示從小到大的5個數(shù)字，那么三位數(shù)乘兩位數(shù)乘積最大是EB×DCA。

（設(shè)計意圖：在解決了兩位數(shù)乘兩位數(shù)積最大問題后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究三位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的秘密。三位數(shù)乘兩位數(shù)有兩種情況，一種是其中一個數(shù)字是“0”，另一種是沒有“0”，讓學(xué)生的思維由淺入深，通過遷移類推，關(guān)聯(lián)分析，發(fā)現(xiàn)三位數(shù)乘兩位數(shù)的積最大的原理。最后，再一次構(gòu)建解決問題的數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生思考與解決問題的一種方法，在探究中尋找積最大的秘密。）

三、后置求用：實(shí)踐體悟，拓展多位數(shù)乘多位數(shù)

師：如果繼續(xù)增加數(shù)字，乘積最大又是多少呢？

出示問題：用0～9這九個數(shù)字組成一個乘法算式（每個數(shù)字只能用一次），使得積最大。

生：先確定高位分別是9和8，7放在8的后面，6放在9的后面。

生：為什么6要放在9的后面，7放在8的后面呢？

生：97×86=96×86+86，96×87=96×86+96，96>86，所以要把6放在9的后面。

生：按照這樣的排列，可列出算式：9642×87531，“0”放在哪個數(shù)的后面都是一樣大，所以9642×875310和96420×87531乘積最大。

（設(shè)計意圖：多位數(shù)乘多位數(shù)，促使學(xué)生的思維水平從“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象拓展”。整個探索過程用“ɑ×b等于ɑ個b相加”來解釋數(shù)字放置的原因，不僅讓學(xué)生再一次理解乘法的意義，還幫助學(xué)生學(xué)生透析了乘積最大的秘密，掌握解決問題的方法，并應(yīng)用此方法解決同種類型、更深層次的問題。）

【教學(xué)思考】

學(xué)生在多位數(shù)乘積最大問題的學(xué)習(xí)中，步步深入，充分理解基本原理，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行方法探究。

一、由淺入深，從“兩位數(shù)”到“多位數(shù)”的蔓延

從兩位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的基本問題入手，讓學(xué)生初步感知要想讓組成的算式積最大，就要將較大的數(shù)先固定在高位。再探究添加一個0時，為了讓三位數(shù)乘兩位數(shù)的積最大，要將0先藏起來，轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的模型。最后將0變成1，探究三位數(shù)乘兩位數(shù)積最大的模型即可，通過遷移類推，乘積最大問題迎刃而解。整個學(xué)習(xí)過程，教師利用層層推進(jìn)的問題，幫助學(xué)生看透知識內(nèi)容的本質(zhì)，推動思維的縱深發(fā)展。

二、由聚到散，從“就數(shù)論數(shù)”到“數(shù)形結(jié)合”的轉(zhuǎn)變

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睂⑺闶匠朔e的大小比較轉(zhuǎn)化成長方形面積的大小比較，溝通算式與圖形的聯(lián)系，方法與方法的聯(lián)系，可助力學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的過程。有了幾何直觀的支撐，學(xué)生能更好地掌握乘積最大問題的內(nèi)在意義。這也是形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過程。這樣的過程有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，開拓學(xué)生的視野，提高學(xué)生思維的靈活性。

三、由此及彼，從“特殊算式”到“一般算式”的遷移

探究“乘積最大的秘密”本身就是模型建立的過程，學(xué)生通過計算、觀察、猜想、驗(yàn)證等活動，初步建立這一類題的探究模型。在探究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)什么時候乘積最大”后，自然地引出用ABCD表示從大到小的四個數(shù)字，建立積最大的模型為DA×CB，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘積最大的這類問題一般化，溝通乘積最大問題的聯(lián)系，構(gòu)建解決問題的數(shù)學(xué)模型。教師有意識地滲透模型思想，讓學(xué)生從直觀中感受抽象概括，洞悉數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系，讓思維走向通透。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省杭州市錢塘區(qū)臨江新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310018）