“量”“率”并行，深度融通

胡錦洪

【摘? ?要】在實(shí)際問(wèn)題解決中，學(xué)生容易混淆分?jǐn)?shù)表示“量”與“率”的意義?！胺?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”練習(xí)課將分?jǐn)?shù)表示“量”與“率”的意義進(jìn)行概念澄清，讓學(xué)生借助一組習(xí)題，在知識(shí)運(yùn)用中進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)意義，通過(guò)“量”“率”并行的練習(xí)，促進(jìn)知識(shí)的深度融通。

【關(guān)鍵詞】“量”與“率”的意義;分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí);高階思維

“一題一課”，是指通過(guò)對(duì)一個(gè)主題或一組習(xí)題的深入研究，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開(kāi)相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在“一課”中完成“一題”。借此“一題”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性理解，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類”的教學(xué)目標(biāo)。“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”是在教學(xué)人教版教材五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課后安排的一節(jié)練習(xí)課。本節(jié)練習(xí)課的重難點(diǎn)是：理解分?jǐn)?shù)不僅可以表示具體的數(shù)量，即“量”的意義，還可以表示部分與整體的關(guān)系，即“率” 的意義。教學(xué)設(shè)計(jì)的核心在于幫助學(xué)生正確區(qū)分“量”與“率”的不同意義，并能在具體情境中靈活運(yùn)用。

【課前思考】

在小學(xué)階段，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的習(xí)題。

2噸煤5個(gè)月燒完，平均每個(gè)月燒這些煤的（? ? ），平均每個(gè)月燒（? ? ）噸。

學(xué)生在解決這類題時(shí)常?；煜?jǐn)?shù)“量”與“率”的不同意義，解答的錯(cuò)誤率高。對(duì)于這類習(xí)題，很多教師處理的方式是“就題論題”，沒(méi)有深究學(xué)生錯(cuò)誤的原因。從教材編排來(lái)看，人教版教材三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課的重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程，理解分?jǐn)?shù)可以表示數(shù)量的多少。人教版教材五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課的重點(diǎn)是理解分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系。根據(jù)教材編排特點(diǎn)及學(xué)生學(xué)情，有必要在五年級(jí)教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課后，增加一節(jié)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”練習(xí)課，幫助學(xué)生區(qū)別分?jǐn)?shù)表示“量”與“率”的兩種意義。教師不應(yīng)該忽視習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，把其簡(jiǎn)單地當(dāng)作一道習(xí)題來(lái)講解?；谝陨纤伎?，在“一題一課”活動(dòng)中，展開(kāi)“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類”的教學(xué)研究。（如表1）

【教學(xué)過(guò)程】

一、揭示分?jǐn)?shù)意義中表示“量”與“率”關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)

溝通表示分?jǐn)?shù)意義的“量”與“率”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

環(huán)節(jié)一：理解分?jǐn)?shù)“量”的意義

分?jǐn)?shù)在生活中有著廣泛的運(yùn)用，教師先讓學(xué)生用圓片替代餅，用剪一剪，分一分等方法演示分餅的過(guò)程，并以小組合作的方式記錄這一過(guò)程完成表格（如表2）。

師：你們是怎么計(jì)算每人平均分到幾張餅的？

生：3張，2張，[12]張，[14]張。用“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”計(jì)算得出每人分得，和我們之前所學(xué)整數(shù)除法的道理是一樣的。

師：每人分得的餅數(shù)哪一個(gè)最多，哪一個(gè)最少？

生：3張最多。[14]張最少。

（設(shè)計(jì)意圖：在分餅活動(dòng)中，讓學(xué)生體會(huì)到3張，2張，[12]張，[14]張都表示分得餅的數(shù)量多少，3張和2張表示的是“整張”的數(shù)量，用整數(shù)表示。當(dāng)出現(xiàn)“非整張”的數(shù)量時(shí)，可用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)量表示從“整數(shù)”向“分?jǐn)?shù)”過(guò)渡的過(guò)程，回顧了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，及數(shù)量間的大小關(guān)系，增進(jìn)了對(duì)分?jǐn)?shù)表示“量”的理解。）

環(huán)節(jié)二：理解分?jǐn)?shù)“率”的意義

出示問(wèn)題：如圖1所示。

師：請(qǐng)獨(dú)立思考完成填空，完成之后和同桌說(shuō)說(shuō)，你是怎么想的。

生：圓圈的個(gè)數(shù)是正方形的2倍，正方形的個(gè)數(shù)是圓圈的[12]。

師：這里的2表示的是什么意思？

生：2個(gè)。

生：不是2個(gè)，是這樣的2份。

師：那[12]呢？

生：它和前面的2一樣，表示的不是[12]個(gè)，而是一種倍數(shù)關(guān)系，正方形個(gè)數(shù)是圓個(gè)數(shù)的[12]。

師：圖2中，這里的2和[12]表示的又是什么呢？

生：2表示2份。[12]表示把圓的數(shù)量平均分成2份，取其中的1份，表示的是部分與整體的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)了《倍的認(rèn)識(shí)》，對(duì)兩個(gè)量之間的整數(shù)倍關(guān)系有了理解基礎(chǔ)。以上兩題通過(guò)材料內(nèi)容的變化，能促進(jìn)學(xué)生從多角度去分析和解決問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題方法的靈活性和策略的多樣性。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師激活學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平，順應(yīng)學(xué)生思維，遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生的認(rèn)知從“整”的倍數(shù)關(guān)系向“非整”的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變，理解分?jǐn)?shù)不僅可以表示具體的量，還可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。）

環(huán)節(jié)三：比較分?jǐn)?shù)的“量”“率”不同意義

通過(guò)以上教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)“量”與“率”的本質(zhì)有了理解，這時(shí)教師再組織學(xué)生對(duì)前面學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行整理反思，完成表3。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)比較、歸納、概括等活動(dòng)，找到分?jǐn)?shù)表示“量”“率”意義時(shí)的不同點(diǎn)，促使學(xué)生的思維從形象走向抽象，增進(jìn)其對(duì)分?jǐn)?shù)表示“量”與“率”意義的理解。）

二、在具體情境中運(yùn)用“量”“率”發(fā)展抽象思維

知識(shí)需要在運(yùn)用的過(guò)程中進(jìn)一步理解與鞏固。通過(guò)結(jié)合具體情境解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)分?jǐn)?shù)“量”與“率”意義的理解，發(fā)展推理能力和高階思維能力。

環(huán)節(jié)四：兩根繩子的[12]誰(shuí)長(zhǎng)

出示問(wèn)題：有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根剪去它的[12]，第二根剪去它的[12]米，哪一根剪去的部分長(zhǎng)？

師：先獨(dú)立思考，然后小組內(nèi)交流，最后選一位同學(xué)代表小組發(fā)言。其他小組可以提問(wèn)。

生：一樣長(zhǎng)。

生：不一定。因?yàn)閇12]表示“率”，[12]米表示“量”。兩個(gè)[12]的意義不一樣，不能看到[12]就說(shuō)相等。

生：無(wú)法確定。因?yàn)椴恢览K子的長(zhǎng)度。如果繩長(zhǎng)是1米，那么剪去1米的[12]也就是[12]米，兩根繩子剪去部分相同。如果繩長(zhǎng)是2米，那么剪去2米的[12]是剪去1米。1米大于[12]米，第一根繩子剪去的部分長(zhǎng)。如果繩長(zhǎng)是0.8米，那么0.8米的[12]是0.4米。0.4米小于[12]米，第二根繩子剪去的部分長(zhǎng)。所以有3種情況。

師：都同意嗎？我們?cè)倥e例驗(yàn)證一下。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步明晰[12]表示“率”，[12]米表示具體長(zhǎng)度數(shù)量的多少。組織學(xué)生進(jìn)行分類、討論、驗(yàn)證，最后得出三種情況：當(dāng)繩長(zhǎng)等于1米時(shí)，繩長(zhǎng)的[12]和[12]米一樣長(zhǎng)。當(dāng)繩長(zhǎng)大于1米時(shí)，繩長(zhǎng)的[12]大于[12]米。當(dāng)繩長(zhǎng)小于1米時(shí)，繩長(zhǎng)的[12]小于[12]米。通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)“率”表示的具體量的大小與單位“1”的大小有關(guān)。）

環(huán)節(jié)五：不同[12]的實(shí)際應(yīng)用

出示問(wèn)題：有兩根繩子，被布遮掉了一部分。已知一根繩子的[12]露在外面，另一根繩子的[12]米露在外面，兩根繩子露在外面部分相等，請(qǐng)問(wèn)這兩根繩子哪根長(zhǎng)？

師：哪根繩子更長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)理由。

生：露在外面的[12]這根繩子長(zhǎng)度是確定的。因?yàn)榘堰@根繩子平均分成2份，我們看見(jiàn)的部分是其中的1份，這1份的長(zhǎng)度是繩子總長(zhǎng)的[12]，遮掉的部分也是這樣的1份。

生：這根露在外面[12]米的繩子，被遮掉的部分可能很長(zhǎng)，也可能很短，當(dāng)然也可能是[12]米。所以，它的長(zhǎng)度是無(wú)法確定的。

師：也就是說(shuō)，這根[12]露在外面的繩子，長(zhǎng)度是確定的，而露在外面[12]米的繩子長(zhǎng)度是不確定的，因此，不能確定兩根繩子哪根長(zhǎng)。

（設(shè)計(jì)意圖：兩根繩子，沒(méi)有遮擋部分的繩子長(zhǎng)度相同，比較繩子總長(zhǎng)。第一根繩子露在外面部分是繩長(zhǎng)的[12]，這里的[12]表示“率”，求繩子總長(zhǎng)就是計(jì)算單位“1”的長(zhǎng)度，第二根繩子露在外面部分是[12]米，這里的[12]米表示的是具體的數(shù)量，遮掉部分的長(zhǎng)短與[12]米沒(méi)有關(guān)系。學(xué)生在分辨兩個(gè)[12]含義的過(guò)程中，進(jìn)一步明晰了分?jǐn)?shù)“量”與“率”的不同意義。）

【教學(xué)思考】

一、把握節(jié)點(diǎn)，促進(jìn)生長(zhǎng)

把握節(jié)點(diǎn)就是把握這節(jié)練習(xí)課什么時(shí)間執(zhí)教、執(zhí)教內(nèi)容是什么等問(wèn)題。從內(nèi)容上看，“量”與“率”的意義學(xué)生容易混淆，教材中缺少相關(guān)內(nèi)容的比較，需要補(bǔ)充相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。從時(shí)間上看，本節(jié)課安排在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)之后，剛好可幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)意義中的單位“1”等知識(shí)點(diǎn)，及時(shí)區(qū)分“量”與“率”意義的異同，理解分?jǐn)?shù)不僅可以表示部分與整體的關(guān)系，還可以表示具體的量，建立概念模型，及時(shí)避免混淆。

二、抓住本質(zhì)，概念澄清

抓住本質(zhì)就是讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)不僅可以表示“量”的意義，還可以表示“率”的意義，并進(jìn)行區(qū)分與關(guān)聯(lián)。在理解概念的過(guò)程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作交流、主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)過(guò)程，在觀察、比較、分析和運(yùn)用中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。教學(xué)中，教師通過(guò)“量”的意義與“率”的意義的梳理，讓學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)更加深刻。

三、抓住要素，高階思維

高階思維需要在學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技能解決具體問(wèn)題時(shí)培養(yǎng)。教學(xué)中教師設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)表示“率”與“量”意義的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生在理解題目的基礎(chǔ)上，提出解決問(wèn)題的策略，區(qū)分在實(shí)際問(wèn)題中分?jǐn)?shù)表示的意義是“量”還是“率”。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解得更加深刻。

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（浙江省杭州市錢塘區(qū)江灣小學(xué)? ?310018）