“平方厘米”語(yǔ)義分析

郜舒竹 李碩楠

【摘? ?要】“平方厘米”一詞在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中表述的是一個(gè)面積單位，是從長(zhǎng)度單位認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向面積單位認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。“平方厘米”一詞由“平方”和“厘米”兩個(gè)詞匯組合而成，因此容易產(chǎn)生的語(yǔ)義誤解，即平方厘米是特殊的厘米。因此在教科書(shū)編寫(xiě)以及實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)重視對(duì)面積單位語(yǔ)義的分析，為此需要厘清平方厘米一詞中“平方”的意義，以及“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】厘米;平方;平方厘米;面積;長(zhǎng)度

本刊2022年第6期《“長(zhǎng)寬”為什么等于“長(zhǎng)方形的面積”》一文（以下簡(jiǎn)稱“文1”）已經(jīng)闡明，平面圖形面積的測(cè)量與計(jì)算始于面積單位的選擇與確定。表達(dá)面積單位的詞匯通常表達(dá)為“平方+長(zhǎng)度單位”，比如“平方厘米”等。望文生義地看，“平方厘米”似乎是特殊的厘米，因此從“平方厘米”的意義中容易產(chǎn)生“平方厘米是厘米”的誤解。在教科書(shū)編寫(xiě)以及實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)重視對(duì)面積單位語(yǔ)義的分析，特別需要明晰“平方厘米”一詞中“平方”的意義，以及“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系。

一、“平方厘米”是“厘米”嗎

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中“平方”一詞并不單獨(dú)出現(xiàn)，是與類似于“厘米”的長(zhǎng)度單位組合，用于表述諸如“平方厘米”的面積單位。由此產(chǎn)生的問(wèn)題是：如何理解“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系？與此類似組合而成的詞匯在日常語(yǔ)言中十分普遍。比如，“白馬”一詞，是“白”與“馬”的組合，表示“白顏色的馬”;“酒杯”表示用于飲酒的杯子;等等。類似的語(yǔ)言現(xiàn)象在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中同樣常見(jiàn)。比如，“平行四邊形”表示兩組對(duì)邊分別平行的“四邊形”;“等腰三角形”表示有兩條邊相等的“三角形”;等等。

如此表述的句式結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“ɑP是P”，其中字母“P ”表示前面示例中白馬的“馬”、酒杯的“杯”、平行四邊形的“四邊形”、等腰三角形中的“三角形”這樣的概念，指稱一類具有共同屬性的對(duì)象。字母“ɑ”是修飾或限定P的定語(yǔ)，描述P中一類對(duì)象的特殊屬性。比如白馬中的“白”是描述馬顏色的定語(yǔ)，指稱一類特殊的馬。平行四邊形中的“平行”是描述一類特殊四邊形的定語(yǔ)，對(duì)一類四邊形的特殊屬性進(jìn)行限定，指稱兩組對(duì)邊分別平行的那些四邊形。酒杯和等腰三角形也是類似。

如果把概念P的外延，即這一概念所指稱對(duì)象看作一個(gè)類或集合，那么概念ɑP所指稱對(duì)象就是“P”所指稱對(duì)象的局部或子集，ɑP是對(duì)P中的一部分對(duì)象賦予ɑ的意義，因此ɑP是特殊的P。這樣的關(guān)系都可以表述為“ɑP是P”的句式。

概念P與ɑP的關(guān)系，在邏輯學(xué)概念分類中稱為“屬種關(guān)系”。外延較大的概念P是外延較小概念ɑP的“屬（Genus）”概念;反過(guò)來(lái)ɑP是P的“種（Species）”概念?！皑弧北磉_(dá)的是種概念的特殊屬性，可以看作是種概念相對(duì)于屬概念的差異，因此叫作“種差”。比如前面所說(shuō)的平行四邊形就是相對(duì)于四邊形的種概念，反過(guò)來(lái)說(shuō)四邊形是平行四邊形的屬概念，平行是種概念平行四邊形相對(duì)于屬概念四邊形的特殊屬性，也即二者的種差。種概念與屬概念所指稱對(duì)象（外延）具有包含與被包含的關(guān)系，即種概念含于屬概念或?qū)俑拍畎N概念（如圖1）。

用這樣的眼光看“平方厘米”，如果字母ɑ表示“平方”，字母P表示“厘米”，那么“平方厘米”這一詞匯同樣具有ɑP的結(jié)構(gòu)“[平方a厘米P]”。依據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平方厘米自然而然直覺(jué)的認(rèn)識(shí)是用“平方”修飾或限定“厘米”，厘米與平方厘米似乎也應(yīng)當(dāng)是包含與被包含的屬種關(guān)系。按照“ɑP是P”的句式，自然就會(huì)形成“平方厘米是厘米”的認(rèn)識(shí)。

從“文1”可以知道，“平方厘米”與“厘米”量綱不同，厘米是一維的長(zhǎng)度單位，平方厘米是因厘米而衍生出來(lái)的二維面積單位。在國(guó)際度量單位體系（SI）中，所有量的單位分為三類：基本單位、輔助單位和導(dǎo)出單位。其中長(zhǎng)度單位屬于基本單位，面積單位屬于導(dǎo)出單位[1]。因此平方厘米不是厘米，二者并非屬種關(guān)系。無(wú)論是教科書(shū)編寫(xiě)還是實(shí)際教學(xué)，都應(yīng)對(duì)此引起足夠重視。從認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位到認(rèn)識(shí)面積單位，教師需要設(shè)計(jì)相關(guān)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從厘米衍生出平方厘米的過(guò)程，真正理解二者之間的關(guān)系。為了厘清這樣的關(guān)系，首先需要明晰平方厘米中的“平方”是什么意思。

二、平方厘米中的“平方”是什么意思

作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的術(shù)語(yǔ)，“平方”一詞通常表示一種運(yùn)算。在人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）》中，“平方”一詞出現(xiàn)于“有理數(shù)的乘除法”單元中，把兩個(gè)因數(shù)相同的乘法“[2×2]”記作“[22]”，讀作“2的平方”。而在表示面積單位時(shí)，“[厘米2]”讀作“平方厘米”，而不是“厘米的平方”。這就表明“平方”一詞具有多義的特征。把“[2×2]”記作“[22]”，讀作“2的平方”，可以看作是運(yùn)算的意義。除此之外，還有幾何圖形形狀的意義，用平方表示“正方形”這一幾何圖形，相對(duì)于“立方”所表示的正方體。

查閱我國(guó)歷史文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，“平方”一詞源于對(duì)幾何圖形的命名。針對(duì)幾何圖形進(jìn)行系統(tǒng)命名的早期著作，當(dāng)屬明代徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合作翻譯的《幾何原本》，其中發(fā)明了許多描述圖形形狀與性質(zhì)的術(shù)語(yǔ)。比如，如今所說(shuō)的平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形在當(dāng)時(shí)分別叫作：

徐光啟、利瑪竇所譯《幾何原本》中并未出現(xiàn)“平方”一詞[2]。到了清代及民國(guó)時(shí)期，用“平方”一詞表達(dá)正方形的說(shuō)法逐漸盛行。清代早期何夢(mèng)瑤（1693—1764）所著《算迪》一書(shū)中，對(duì)“平方”一詞定義為：“平方即方面也，其邊則長(zhǎng)闊相等?！边@句話的意思是：平方即是平面上長(zhǎng)與寬（闊）相等的方形，就是現(xiàn)在所說(shuō)的正方形。1894年由商務(wù)印書(shū)館編寫(xiě)并出版的《數(shù)學(xué)教科書(shū)》中，把現(xiàn)在所說(shuō)的長(zhǎng)方形和正方形分別叫作“直角方形”和“平方”，先定義直角方形，而后用直角方形定義平方。

民國(guó)初期由中華書(shū)局出版并發(fā)行的《中華算術(shù)教科書(shū)》將面積單位定義為：“計(jì)物體表面之大小者，曰面積。而以每邊之一尺或一寸之平方形為單位，名此單位曰平方尺、平方寸?！逼渲械摹捌椒叫巍本褪侨缃袼f(shuō)的“正方形”。

綜上，面積單位“平方厘米”中的“平方”具有獨(dú)立的意義，指向的是正方形。按照這樣的理解，平方厘米中的“平方”并非是“厘米”的定語(yǔ)，而是反過(guò)來(lái)，用厘米限定平方（正方形），是“厘米平方”的意思。因此所謂“1平方厘米”的意思是邊長(zhǎng)1厘米的平方（正方形），簡(jiǎn)略地表達(dá)為“1厘米平方”更為貼切。法語(yǔ)中表達(dá)“平方厘米”的語(yǔ)序就是厘米在前，平方在后：“centimètre carré”。下面進(jìn)一步解釋為什么要把“1厘米平方”表述成“1平方厘米”。

如果用“1厘米平方”表示“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”，其中的數(shù)字“1”指向的是邊的長(zhǎng)度，是對(duì)長(zhǎng)度單位“厘米”的限定。以此類推，如何理解“2厘米平方”呢？其中的數(shù)字“2”同樣應(yīng)當(dāng)表達(dá)正方形邊長(zhǎng)，限定長(zhǎng)度單位“厘米”。“2厘米平方”就應(yīng)當(dāng)解釋為邊長(zhǎng)2厘米的正方形面積，而邊長(zhǎng)2厘米的正方形面積并不等于“2平方厘米”，而是[2×2=4]平方厘米。

描述面積的名數(shù)中包含數(shù)及其所指稱的面積單位，其中的數(shù)指向的是面積，而不是長(zhǎng)度。如果把“1厘米平方”視為“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”，命名為“1平方厘米”，那么“2厘米平方”中的2，就容易誤認(rèn)為是正方形的邊長(zhǎng)為2厘米。為了避免這樣的誤解，就把面積單位的命名規(guī)則規(guī)定為“平方+長(zhǎng)度單位”，而不是“長(zhǎng)度單位+平方”。

中華人民共和國(guó)國(guó)務(wù)院依據(jù)“國(guó)際單位制（SI）”，于1984年發(fā)布關(guān)于在我國(guó)統(tǒng)一實(shí)行法定計(jì)量單位的命令，特別強(qiáng)調(diào)“平方厘米”不能寫(xiě)為或叫作“厘米平方”[3]，或許就是為了避免出現(xiàn)這樣的誤解。因此，無(wú)論是教科書(shū)編寫(xiě)還是實(shí)際教學(xué)，都應(yīng)特別注意：“1平方厘米”中的數(shù)字“1”，指向的是邊長(zhǎng)為1厘米正方形的面積。

接下來(lái)需要進(jìn)一步探討的問(wèn)題是：面積單位“1平方厘米”與長(zhǎng)度單位“1厘米”是如何建立聯(lián)系的？

三、“1平方厘米”與“1厘米”如何建立聯(lián)系

20世紀(jì)荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾（Hans Freudenthal，1905—1990）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中，用自身兒時(shí)的經(jīng)驗(yàn)論述長(zhǎng)方形面積公式的意義：對(duì)于長(zhǎng)為5、寬（原文用詞為“Height”，意為“高”）為4的長(zhǎng)方形面積，真正重要的不是知道結(jié)果等于20，而是人為地把長(zhǎng)方形橫向分為“5條”，縱向分為“4條”，使得橫向每一條與縱向每一條交叉后出現(xiàn)了小方格（原文為“子長(zhǎng)方形（Sub-Rectangle）”。這樣的做法使得原本無(wú)結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)方形出現(xiàn)了“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化（Constructive Structuration）”，也就是在原本空無(wú)的長(zhǎng)方形中，構(gòu)造出了新的對(duì)象（子長(zhǎng)方形）（如圖2）。弗賴登塔爾認(rèn)為，這種建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化過(guò)程是重要的，是學(xué)生必須經(jīng)歷的[4]。

弗賴登塔爾所說(shuō)的“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化”，實(shí)際是建立兩個(gè)集合之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的過(guò)程。假定圖2中橫向線段長(zhǎng)度是5厘米，縱向線段長(zhǎng)度是4厘米，5厘米視為是“5段”構(gòu)成的集合，4厘米視為是“4段”構(gòu)成的集合。將段與段配對(duì)，也就是橫向長(zhǎng)邊5段中的每一段與縱向4段中的每一段配成一對(duì)，構(gòu)造出一個(gè)小正方形，可以有“5[×]4=20（種）”配對(duì)的方法，因此共出現(xiàn)了20個(gè)小正方形，這樣20個(gè)小正方形構(gòu)成了一個(gè)新的集合，弗賴登塔爾稱之為“配對(duì)集合（Pairs Set）或偶對(duì)集”[5]。

數(shù)學(xué)中把這樣的過(guò)程看作是集合與集合之間的乘法運(yùn)算，常用的名稱是“笛卡爾積（Cartesian Product）”，指的是兩個(gè)集合A和B，如果集合A包含ɑ個(gè)元素，集合B包含b個(gè)元素，那么集合A與B的笛卡爾積就是一個(gè)新的集合，這個(gè)新集合中的元素是A與B中元素配對(duì)形成的，可以用“[A×B]”表示，其中包含“ɑ[×]b”個(gè)元素。笛卡爾積可以成為許多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，比如小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的“搭配問(wèn)題”：

l5件上衣和4條褲子，可以搭配出多少套衣服？

用A表示5件上衣的集合，B表示4條褲子的集合，兩個(gè)集合構(gòu)成配對(duì)集合“[A×B]”，表示上衣與褲子配對(duì)所形成的整套衣服的集合，其中的元素?cái)?shù)就是“5上衣[×]4褲子=20（套）”，搭配的過(guò)程可以用長(zhǎng)方形模型表示出來(lái)（如圖3）。

用配對(duì)的眼光看長(zhǎng)方形的面積，分別將長(zhǎng)與寬等分為若干“段”，而后建立“長(zhǎng)中之段”與“寬中之段”的配對(duì)關(guān)系，每一對(duì)構(gòu)成一個(gè)小格。如果長(zhǎng)中之段與寬中之段長(zhǎng)度相等，那么這個(gè)小格的形狀就是正方形，也就是面積單位。因此所謂“1平方厘米”，可以看作是兩個(gè)方向的“1厘米”長(zhǎng)的線段配對(duì)而成的。1厘米與1厘米配對(duì)的結(jié)果不再是長(zhǎng)度單位的厘米，而是一個(gè)新的對(duì)象，即邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積，命名為“1平方厘米”。正如“1件上衣”與“1條褲子”配對(duì)后的結(jié)果，既不是上衣，也不是褲子，而是“1套衣服”這樣新的對(duì)象。

用配對(duì)的眼光看“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)[×]寬”，其中的“[×]”具有“以數(shù)生數(shù)”的意義[6]，是對(duì)乘法意義的拓展。如果長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度分別為3厘米和2厘米，那么“3厘米[×]2厘米”的意義是將3厘米中的每一個(gè)1厘米與2厘米中的每一個(gè)1厘米配對(duì)成為1平方厘米，這樣可以配出“3[×]2=6”對(duì)，也就是6平方厘米（如圖4）。

圖4把上面3個(gè)1厘米視為一個(gè)集合，下面2個(gè)1厘米視為另外一個(gè)集合，兩個(gè)集合中每一個(gè)元素配成一對(duì)，用連線表示，一共出現(xiàn)6條連線，即配對(duì)方法有6種。每一對(duì)命名為1平方厘米，那就共有6平方厘米。與3件上衣與2條褲子配對(duì)成為6套衣服的過(guò)程是一致的。

平方厘米并不是厘米，而是因厘米而生的新對(duì)象。從認(rèn)知的角度看，可以把1平方厘米看作是兩個(gè)方向上的1厘米線段搭配而成的，表達(dá)的是邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積。在教科書(shū)編寫(xiě)與實(shí)際教學(xué)中，可以將搭配問(wèn)題與面積單位的認(rèn)識(shí)結(jié)合起來(lái)，利用弗賴登塔爾所說(shuō)的“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化”，讓學(xué)生經(jīng)歷從1厘米“搭配出”1平方厘米的過(guò)程。這樣的過(guò)程可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“文1”所論及的內(nèi)容：為什么“長(zhǎng)[×]寬”等于長(zhǎng)方形的面積？

總之，“平方厘米”表達(dá)的是面積單位，與長(zhǎng)度單位“厘米”有著本質(zhì)的差異，對(duì)“平方厘米”的認(rèn)識(shí)切不可望文生義，誤認(rèn)為平方厘米是特殊的厘米。作為面積單位的“平方厘米”與長(zhǎng)度單位“厘米”實(shí)質(zhì)是一種因果關(guān)系，平方厘米是因厘米而產(chǎn)生的新對(duì)象，是兩個(gè)方向的長(zhǎng)度單位配對(duì)成面積單位，如果把長(zhǎng)度單位“厘米”視為是基本單位，那么面積單位“平方厘米”就是因此而產(chǎn)生的衍生單位。關(guān)于面積單位的討論仍未結(jié)束，需進(jìn)一步研究的問(wèn)題是：

l如何理解教科書(shū)中關(guān)于“1平方厘米”的定義？

l在認(rèn)識(shí)“1平方厘米”的基礎(chǔ)上，如何認(rèn)識(shí)“2平方厘米”？

l如何認(rèn)識(shí)“平方”在運(yùn)算方面的意義？

這些問(wèn)題貌似簡(jiǎn)單，實(shí)際其中蘊(yùn)含著豐富的思想和方法，同時(shí)反映了教師和學(xué)生存在著認(rèn)知困難與誤解，是教科書(shū)編寫(xiě)以及實(shí)際教學(xué)中需要重視的細(xì)節(jié)。囿于篇幅所限，將續(xù)文繼續(xù)討論。

參考文獻(xiàn)：

[1]SALISBURY F B. Standardizing with SI units[J]. BioScience， 1998，48（10）： 827-835.

[2]紀(jì)志剛.從拉丁語(yǔ)到古漢語(yǔ)：漢譯《幾何原本》卷一“界說(shuō)”的翻譯分析[J].自然辯證法通訊，2017，39（2）：1-9.

[3]薛新法.量和單位系列講座? 第五講? 法定計(jì)量單位的使用（一）[J].中國(guó)計(jì)量，2013（5）：50-51.

[4]FREUDENTHAL H. Mathematics as an educational task[M]. Dordrecht： D. Reidel Publishing Company， 1973： 250.

[5]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995：196.

[6]郜舒竹.“乘”的想法始于哪兒[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（9）：4-9.

（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048

2.首都師范大學(xué)教育學(xué)院? ?100048）