靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題

王嵐

學(xué)習(xí)知識一定要活學(xué)活用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)亦是如此，切記不能生搬硬套、墨守成規(guī).“看菜吃飯，量體裁衣”，說的也是這個道理.我們一定要根據(jù)實際情況靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題.

例1 甲、乙兩人分別在六次射擊中的成績（單位：環(huán)）如右表所示：你知道在六次射擊中成績發(fā)揮比較穩(wěn)定的是哪一位嗎？

思路點撥：看過此題就知道是要比較穩(wěn)定性，有的同學(xué)立刻聯(lián)想到老師講過的規(guī)律，“方差越小，數(shù)據(jù)的波動就越小，該組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定;方差越大，數(shù)據(jù)的波動就越大，該組數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定”，從而得出結(jié)論.這種做法有點墨守成規(guī)，計算起來比較麻煩.仔細觀察兩組數(shù)據(jù)就會發(fā)現(xiàn)：甲組數(shù)據(jù)的極差是：8 - 6 = 2，乙組數(shù)據(jù)的極差是：9 - 5 = 4，且甲組數(shù)據(jù)中有3對相同的數(shù)據(jù)，乙組數(shù)據(jù)中僅有2對相同的數(shù)據(jù). 另外甲組數(shù)據(jù)中有2個數(shù)等于平均數(shù)7，而乙組數(shù)據(jù)中沒有等于平均數(shù)的數(shù)據(jù). 據(jù)此斷定甲組數(shù)據(jù)波動小，也就是說甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，根本沒有必要計算方差.

例2? 如圖1，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O分別作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求證：OE = OF.

馬小虎同學(xué)不假思索地做出如下證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA = OC.

∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO = ∠CFO = 90°.

∵∠1 = ∠2，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE = OF.

這種證法看似天衣無縫，其實卻有漏洞.通過證明△AOE與△COF全等，然后利用“全等三角形的對應(yīng)邊相等”來證明OE = OF，這個證明思路沒有問題. 不過為什么會有“∠1 = ∠2”呢？他竟理直氣壯地回答：“∠1與∠2是對頂角，當(dāng)然相等.” ∠1與∠2真是對頂角嗎？假如∠1與∠2是對頂角，那么點E，O，F(xiàn)三點應(yīng)該在一條直線上.可是從已知條件中無法得出這個結(jié)論. 俗話說，“條條大道通羅馬”. 由于證明E，O，F(xiàn)三點共線既困難又麻煩，因此我們可以繞過這個“關(guān)卡”，避免證明E，O，F(xiàn)三點共線. 下面提供三種思路.

思路點撥：方法一：從證明∠EAO = ∠FCO入手，證明△AOE≌△COF.

方法二：由OE，OF分別是△AOD與△BOC的高，聯(lián)想“全等三角形對應(yīng)邊上的高相等”，可以考慮證明△AOD≌△COB.

方法三：由高聯(lián)想面積，要證OE = OF，由于AD = BC，可以考慮證明△AOD與△BOC的面積相等.

由此看來，解決數(shù)學(xué)問題時，不要“鉆牛角尖”，要注意“避其鋒芒”，換一個角度，曲徑通幽，會達到“柳暗花明”的境界.

例3 如圖2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 2，D是線段AB的中點，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且DE⊥DF，則四邊形DECF的面積 = .

思路點撥：常規(guī)解法：如圖3，連接CD，證明△ADE≌△CDF（或△CDE≌△BDF），將S四邊形DECF轉(zhuǎn)化為S△ADC（或S△BDC），從而有S四邊形DECF = [12]S△ABC = [12] × [12] × 2 × 2 = 1.

特殊解法：正方形有如下性質(zhì)：兩個邊長相等的正方形，如果其中一個正方形的頂點經(jīng)過另一個正方形的中心（兩條對角線的交點），那么這兩個正方形重疊部分的面積等于其中一個正方形面積的[14]. 即如圖4，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A'B'C'O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等. 設(shè)OA'交AB于點E，OC'交BC于點F，則S四邊形BEOF = [14]S正方形ABCD = [14]S正方形A'B'C'O. 運用正方形的這個性質(zhì)，就能根據(jù)圖4將圖2補成圖5，直接得出正確答案.

希望以上三例對同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會有一定啟發(fā). 活學(xué)活用能讓思維更加靈活，同時還能讓我們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂！

（作者單位：福建省石獅市石光中學(xué)）