正方形半角模型常見結(jié)論及應(yīng)用

王雪潔

真題呈現(xiàn)

例 （2021·遼寧·本溪·改編）如圖1，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊AB上，點D的對稱點為點F，EF交AD于點G，連接CG交PQ于點H，連接CE. 下列結(jié)論中：①∠BEC = ∠ECD;②EC平分∠BEG;③S△CEG = S△CBE + S四邊形CDQH;④∠ECG = 45°. 正確的是? ?（填序號即可）.

構(gòu)建模型

如圖2，從正方形的一個頂點引出兩條夾角為45°的射線，這兩條射線交正方形的邊于兩點，連接這兩個交點，由于兩射線的夾角45°是正方形一個內(nèi)角90°的一半，故該圖形被稱為“正方形半角模型”，又稱“角含半角模型”. 其中，這個包含45°角的三角形稱為“半角三角形”（即圖2中的△AEF）.

輔助線：1.給出角度，旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短，如圖3;2. 沒給角度，作垂截長，如圖4.

模型結(jié)論

如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在BC和CD上，滿足∠EAF = 45°，連接EF，則有如下結(jié)論：

結(jié)論一：EF = BE + DF.

解析：如圖3，延長CB到點F′，使BF′ = DF，連接AF′（也可延長CD至點E′，使DE' = BE）. 先證△ABF′≌△ADF（SAS），易得∠EAF′ = ∠EAF，再證△AEF′≌△AEF（SAS），可證得EF = BE + DF.

結(jié)論二：EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE.

解析：將半角兩側(cè)的三角形通過旋轉(zhuǎn)合并到一側(cè)形成新的三角形，然后證明新三角形與半角三角形全等，從而得出線段、角之間的數(shù)量關(guān)系.

如圖3，由△AEF′≌△AEF，可得EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE.

結(jié)論三：S△ABE + S△ADF = S△AEF.

解析：如圖3，由全等三角形面積相等，易得S△ABE + S△ADF = S△AEF.

結(jié)論四：過點A作AH⊥EF，垂足為H，則AH = AB.

解析：如圖4，過點A作AH⊥EF，垂足為H，由角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，可得AH = AB.（也可證△AEB≌△AEH，△AFH≌△AFD，得AB = AH = AD，從折紙的角度可以更好地理解半角模型.）

規(guī)律：如圖2，正方形半角模型命題中的條件和結(jié)論可以分為：①∠EAF = 45°;②EF = BE + DF;③EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE;④AH = AB.只要滿足其中任意一個作為已知條件，其他都可成為結(jié)論.（請同學(xué)們逐一嘗試證明）

例如：如圖2，已知EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE，由上述規(guī)律可得一系列結(jié)論，即規(guī)律中的①②④. 例題中就隱藏了這樣一個“正方形半角模型”，只是字母順序不同.

模型應(yīng)用

解析：如圖1，由AB[?]CD，可得∠BEC = ∠ECD，則①正確;

由折疊對稱可得∠FEC = ∠ECD，結(jié)合①可得∠BEC = ∠FEC，則②正確;

如圖5，應(yīng)用“正方形半角模型”，過C作CI⊥EG，垂足為I，

先證△CBE≌△CIE（AAS），再證Rt△CIG≌Rt△CDG（HL），

可得S△CEG = S△CBE + S△CGD，則③不正確;

易證IG = DG ，∠ICG = ∠DCG，則∠ECG = ∠ICE + ∠ICG = [12]（∠BCI + ∠DCI） = 45°，則④正確.故應(yīng)填①②④.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★?解題時間：5分鐘

如圖6，在四邊形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，∠EAF = [12]∠BAD，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，探究線段DE，BF，EF 之間的數(shù)量關(guān)系.

趣味數(shù)學(xué)

你能用《哆啦A夢》的主題曲把“正方形半角模型”的口訣唱出來嗎？

共定點，等線段，遇見半角就旋轉(zhuǎn)，腦子里邊想旋轉(zhuǎn)，證明要寫造角邊.

截長補(bǔ)短用一遍，三條線段變兩段，垂直全等來牽線，等量關(guān)系就出現(xiàn).

（作者單位：沈陽市第一四五中學(xué)）