小學(xué)數(shù)學(xué)教材“式與方程”例題的比較研究

陳雨 梁宇

【摘要】本文立足小學(xué)數(shù)學(xué)教材“一標(biāo)多本”、各版本教材各有獨(dú)特之處的現(xiàn)實(shí)，以及“式與方程”教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的獨(dú)特地位，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)人教版教材和北師大版教材“式與方程”中的例題，從編排結(jié)構(gòu)、選材背景、呈現(xiàn)方式三個(gè)不同的角度展開比較研究，以此豐富教師對(duì)“式與方程”教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，為教師提高課堂教學(xué)效益提供參考。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)式與方程 例題 比較研究

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）22-0053-04

“式與方程”既是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，也是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)：這是小學(xué)生第一次接觸代數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)，并將由此開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從具體思維向抽象思維的過渡。因此，“式與方程”的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該引起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視，在進(jìn)入課堂實(shí)施教學(xué)之前務(wù)必做好充分的準(zhǔn)備。

教材是重要的課程資源。當(dāng)前，全國各地小學(xué)數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)“一標(biāo)多本”格局。每個(gè)版本教材依照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求彰顯學(xué)科本質(zhì)，同時(shí)在編寫上各有其獨(dú)到之處?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)部分，對(duì)“式與方程”明確了四點(diǎn)要求：在具體情境中能用字母表示數(shù);結(jié)合簡單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示;能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用;了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。鑒于“式與方程”內(nèi)容的重要性，為豐富教師對(duì)“式與方程”的認(rèn)識(shí)，本文將聚焦“式與方程”中的例題，從例題的編排結(jié)構(gòu)、選材背景、呈現(xiàn)方式三個(gè)不同的角度，對(duì)人教版（人民教育出版社出版的簡稱）教材和北師大版（北京師范大學(xué)出版社出版的簡稱）教材進(jìn)行比較研究。

一、例題的編排結(jié)構(gòu)比較

“式與方程”的內(nèi)容在人教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的編排情況既有相同也有差異，具體表現(xiàn)在編排冊(cè)次和內(nèi)容特點(diǎn)兩個(gè)方面，如表1所示。

（一）從編排冊(cè)次及單元?dú)w類看，兩個(gè)版本教材的編排明顯不同

整體上看，人教版教材和北師大版教材關(guān)于“式與方程”的例題內(nèi)容，所呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)基本相同，只是編排在了不同的冊(cè)次，且單元?dú)w類不同。人教版教材的編排相對(duì)集中，統(tǒng)一安排在五年級(jí)上冊(cè)的第五單元，并將單元命名為“簡易方程”，例題中涉及的知識(shí)點(diǎn)主要包括用字母表示數(shù)、理解方程的意義、了解等式的性質(zhì)、解方程、用方程解決實(shí)際問題等，內(nèi)容系統(tǒng)、全面，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，容易被學(xué)生接受;北師大版教材將“式與方程”分成了兩個(gè)部分，分別安排在四年級(jí)下冊(cè)和五年級(jí)下冊(cè)，四年級(jí)下冊(cè)第五單元“認(rèn)識(shí)方程”通過趣味性的兒歌激發(fā)學(xué)生對(duì)a只青蛙嘴、眼、腿數(shù)量的思考，編排的知識(shí)點(diǎn)包括用字母表示數(shù)、通過天平引出等量關(guān)系、用方程表示等量關(guān)系等，五年級(jí)下冊(cè)第七單元“用方程解決問題”主要是將解方程和實(shí)際問題相結(jié)合。

（二）從內(nèi)容特點(diǎn)看，兩個(gè)版本教材編排的例題內(nèi)容各有千秋、同中有異

首先，兩個(gè)版本的教材都重視知識(shí)點(diǎn)“用字母表示數(shù)”。用字母表示數(shù)是“式與方程”整個(gè)內(nèi)容的基礎(chǔ)，學(xué)生能夠靈活運(yùn)用字母表示數(shù)才可以思路清晰地解決實(shí)際生活中的方程問題，因此，兩個(gè)版本都將知識(shí)點(diǎn)“（用）字母表示數(shù)”獨(dú)立編排在了第一節(jié)。人教版教材較重視學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，考慮到了學(xué)生在日常生活中已經(jīng)接觸了字母知識(shí)，所以教材直接用含有字母的式子展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在具體的生活情境中用字母表示數(shù)、結(jié)合所學(xué)運(yùn)算定律和具體的生活情境用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量關(guān)系。北師大版教材更加重視提供生動(dòng)、有趣的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境，通過找規(guī)律探索例題中a只青蛙嘴、眼、腿的數(shù)量，體會(huì)用字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的理解。

其次，兩個(gè)版本的教材都強(qiáng)調(diào)以等式的性質(zhì)為依據(jù)，直觀地呈現(xiàn)方程。等式的性質(zhì)是解決方程問題的重要途徑，兩個(gè)版本的教材都是通過引導(dǎo)學(xué)生觀察天平左右兩邊物體的重量關(guān)系，幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)方程兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)、乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，方程仍然相等。人教版教材更加注重引導(dǎo)學(xué)生從整體上理解方程的意義和等量關(guān)系，逐步感悟方程的實(shí)質(zhì)及其中所蘊(yùn)含的等價(jià)思想、建模思想，突顯利用等式性質(zhì)解方程的優(yōu)勢。如：解方程x-a=b，可以在等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)a，即x-a+a=b+a，再用x=a+b表示結(jié)果，清晰地表現(xiàn)出用方程解題的便捷。北師大版教材更加注重結(jié)合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，采用多種方式幫助學(xué)生抽象等式的性質(zhì)，使學(xué)生更深刻地理解方程的概念和本質(zhì)。

最后，兩個(gè)版本的教材都關(guān)注用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系和用方程解決問題。列方程解決實(shí)際問題通常包括三個(gè)關(guān)鍵的步驟：一是根據(jù)題意找出等量關(guān)系;二是根據(jù)等量關(guān)系列出方程;三是通過計(jì)算求出方程的解，找到問題解決的正確答案。在列方程解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生可以通過以上三個(gè)步驟清楚地理解實(shí)際問題中每個(gè)量之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到方程可以快速解決問題，從而感受到方程的便捷。人教版教材編排知識(shí)點(diǎn)“列方程解決實(shí)際問題”時(shí)，充分借助了實(shí)物直觀、幾何直觀，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，將知識(shí)點(diǎn)抽離，適當(dāng)分散了難點(diǎn)，提高了教學(xué)效率，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。北師大版教材編排知識(shí)點(diǎn)“列方程解決實(shí)際問題”時(shí)，更加重視從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主理解，掌握相關(guān)解題技能，并借助不同的直觀模型幫助學(xué)生分析問題、解決問題，從而發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)和數(shù)學(xué)思維。

二、例題的選材背景比較

例題的背景選擇應(yīng)適合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)注重聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文將“式與方程”例題的背景來源分為三類，即真實(shí)情境、虛設(shè)情境和純數(shù)學(xué)情境。所謂真實(shí)情境，指的是結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的情境;所謂虛設(shè)情境，指的是貼近現(xiàn)實(shí)生活、相對(duì)理想化的虛構(gòu)場景;所謂純數(shù)學(xué)情境，指的是用純粹的數(shù)字、符號(hào)等相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)語言所創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境。兩個(gè)版本教材中例題的選材背景分布情況，如圖1所示。

由表1、圖1可知，人教版教材中例題的數(shù)量較多，知識(shí)點(diǎn)較細(xì)，且三種情境均有涉及，并在“用字母表示數(shù)”“解方程”“實(shí)際問題與方程”三處安排了較多的例題，適合大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)需求;北師大版教材中例題的數(shù)量相對(duì)較少，基本每個(gè)知識(shí)點(diǎn)安排1個(gè)例題，雖然每個(gè)例題都設(shè)計(jì)了多彩的插圖，沒有出現(xiàn)純數(shù)學(xué)情境，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更富于趣味性，但是因?yàn)槔}的數(shù)量較少致使內(nèi)容的跳躍性較大，部分學(xué)生的思維能力可能會(huì)跟不上。展開來說，兩個(gè)版本教材在選材背景上的異同主要體現(xiàn)在三個(gè)方面。

首先，兩個(gè)版本教材中的例題均有真實(shí)情境，且人教版教材中真實(shí)情境例題的數(shù)量更多。真實(shí)情境例題通過引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，加深學(xué)生對(duì)生活的體悟。例如，人教版五年級(jí)上冊(cè)第五單元第一節(jié)“用字母表示數(shù)”中的例2，創(chuàng)設(shè)的真實(shí)情境是“在月球上，人能舉起物體的質(zhì)量是地球上的6倍”，該情境中既包含了方程思想中的數(shù)量關(guān)系，又蘊(yùn)含了一些對(duì)學(xué)生來說相對(duì)新穎的科學(xué)知識(shí)，可以使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活產(chǎn)生更為深刻而獨(dú)特的感受。

其次，兩個(gè)版本教材中的例題均有虛設(shè)情境，且北師大版教材中一半的例題都采用了虛設(shè)情境。虛設(shè)情境通常以趣味性見長。例如，北師大版教材四年級(jí)下冊(cè)第五單元例2中的虛設(shè)情境是“原來這只鵝的質(zhì)量相當(dāng)于2只鴨子和1只雞的質(zhì)量”，并用圖片展示了這種情境下天平保持平衡狀態(tài)的樣子，為學(xué)生學(xué)習(xí)等量關(guān)系做好了鋪墊。編者用日常生活中隨處可見的雞鴨鵝作“道具”并把它們分別放在天平的兩邊展開相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，雖然未必合乎生活常理，但情境設(shè)置富于趣味。更重要的是，這樣的虛設(shè)情境以實(shí)物的方式直觀呈現(xiàn)，更有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直觀感受。

最后，北師大版教材中沒有安排純數(shù)學(xué)情境的例題，人教版教材中有3道例題涉及純數(shù)學(xué)情境。顯然，純數(shù)學(xué)情境的抽象程度相對(duì)較高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的要求也相對(duì)較高。例如，人教版五年級(jí)上冊(cè)第五單元例3的第1小題，通過用字母表示四年級(jí)下冊(cè)第三單元已學(xué)的運(yùn)算定律，讓學(xué)生逐漸走近“式與方程”。

三、例題的呈現(xiàn)方式比較

兩個(gè)版本教材例題的呈現(xiàn)方式有所不同，具體表現(xiàn)在知識(shí)的引入、問題的設(shè)置和插圖的設(shè)計(jì)三個(gè)方面。

（一）兩個(gè)版本教材例題中知識(shí)點(diǎn)“用字母表示數(shù)”的引入都采用了由個(gè)別到一般的思路

人教版教材中的例1用列表的方式表示了當(dāng)小紅1歲、2歲、3歲……時(shí)爸爸的年齡，并提出問題“你能用一個(gè)式子簡明地表示出任何一年爸爸的年齡嗎？”啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考和嘗試。接下來，教師可以將學(xué)生的不同方法板書出來進(jìn)行比較，使學(xué)生從中感受“用字母表示數(shù)”的優(yōu)越性。

北師大版教材中的例1用兒歌的形式數(shù)出1只、2只、3只……青蛙的腿數(shù)，然后設(shè)計(jì)問題1，讓學(xué)生“用a表示青蛙的只數(shù)，用字母表示淘氣說的兒歌”，使學(xué)生對(duì)有趣的兒歌進(jìn)行深度思考，體會(huì)“字母表示數(shù)”的必要性。

（二）兩個(gè)版本教材例題中的問題設(shè)置在數(shù)量上基本相同，但設(shè)計(jì)意圖有所不同

兩個(gè)版本教材例題中的問題設(shè)置在數(shù)量上基本相同，如人教版教材中每個(gè)例題包含了2—3個(gè)問題，北師大版教材中每個(gè)例題包含了3—4個(gè)問題。但兩個(gè)版本教材例題中問題的設(shè)計(jì)意圖明顯不同。

人教版教材例題中設(shè)置的問題注重引導(dǎo)學(xué)生基于思考解決問題并進(jìn)行小結(jié)。例如，人教版教材中的例4以倒果汁為背景，在例1至例3學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，直接給出已知條件和3個(gè)問題。問題1要求學(xué)生“用含有字母的式子表示大杯果汁還剩多少千克”，目的在于引導(dǎo)學(xué)生理解題目的含義，嘗試獨(dú)立表示出題目中的數(shù)量關(guān)系——對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生一般都會(huì)感到相對(duì)容易。問題2要求學(xué)生代入數(shù)據(jù)得出兩級(jí)運(yùn)算的值，使學(xué)生從中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值——這對(duì)學(xué)生來說難度不大。到了問題3“想一想：式子中的字母可以表示哪些數(shù)？”，開始引導(dǎo)學(xué)生找出字母的取值范圍，難度明顯升級(jí)——學(xué)生可以在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組討論，然后全班交流，得出結(jié)論并進(jìn)行小結(jié)。

北師大版教材每道例題中的問題依照循序漸進(jìn)的原則，至少設(shè)計(jì)了3個(gè)意圖，即嘗試、體會(huì)、總結(jié)。例如，北師大版教材四年級(jí)下冊(cè)第五單元例3為了讓學(xué)生體會(huì)方程的重要性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，總共設(shè)置了4個(gè)問題。問題1要求學(xué)生“說一說上面各圖中的等量關(guān)系”，而上面三幅圖其實(shí)代表了三種方程的類型：第一幅圖用加法表示等量關(guān)系，第二幅圖用乘法表示等量關(guān)系，第三幅圖用兩步計(jì)算表示等量關(guān)系。分層次設(shè)置情境的目的在于幫助學(xué)生由簡到繁地理解方程中的等量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的條理化思維。問題2和問題3引入了用字母表示未知數(shù)、結(jié)合具體情境表示等量關(guān)系的方程思想——學(xué)生通過自主思考后，可以將用文字描述的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換成用含有字母的等式表示等量關(guān)系，從中體會(huì)方程的特點(diǎn)。問題4“上面的等式有什么共同點(diǎn)？與同伴進(jìn)行交流”，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)的方式，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)等式的理解，引導(dǎo)學(xué)生從前三個(gè)問題的等式中抽象出方程的特征，得出“像上面這樣含有未知數(shù)的等式叫方程”的結(jié)論。

（三）兩個(gè)版本教材例題中的插圖設(shè)計(jì)

兩個(gè)版本教材中的例題在插圖的設(shè)計(jì)上都有色彩鮮明、聯(lián)系實(shí)際生活的特點(diǎn)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但插圖的類型和數(shù)量呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)。根據(jù)功能的不同，我們將插圖分為裝飾型插圖、表征型插圖、解釋型插圖三個(gè)類型，其中：裝飾型插圖是用來美化課本，吸引學(xué)生注意力和學(xué)習(xí)興趣的插圖，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有實(shí)質(zhì)性的幫助;表征型插圖是指有助于學(xué)生學(xué)習(xí)概念性知識(shí)和事實(shí)性知識(shí)的插圖;解釋型插圖是指將難以理解的知識(shí)用通俗易懂的方式展現(xiàn)出來的插圖。三種類型的插圖數(shù)量在兩個(gè)版本教材例題中的分布情況如表2所示。

由表2可知，與人教版教材例題中的插圖情況相比，北師大版教材例題中的插圖不僅數(shù)量多且插圖類型豐富，插圖設(shè)計(jì)符合小學(xué)生的身心特點(diǎn)，能夠帶給學(xué)生更強(qiáng)烈的直觀感受。

裝飾性插圖雖然于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有直接幫助，但對(duì)促進(jìn)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有所幫助的。北師大版教材例題中使用了一個(gè)裝飾型插圖，用以拓展數(shù)學(xué)史上未知數(shù)的起源。雖然人教版教材例題中的插圖數(shù)量也不少，但未使用裝飾型插圖。

兩個(gè)版本教材例題中都使用了大量表征型插圖。例如，北師大版教材四年級(jí)下冊(cè)第五單元例4用8個(gè)天平插圖分別表示天平左右兩邊的相等關(guān)系，使學(xué)生更容易理解方程中的等量關(guān)系。

解釋型插圖以人教版教材例題為多。例如，人教版五年級(jí)上冊(cè)例7，小仙子用“等式就像平衡的天平，也具有同樣的性質(zhì)”這句簡潔的話，便將平衡的天平同等式建立了直觀的聯(lián)系，使抽象的等式具象化，達(dá)到了促進(jìn)學(xué)生理解的目的。

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，而小學(xué)生的具象思維活躍、抽象思維并不發(fā)達(dá)，導(dǎo)致他們很容易對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生理解困難。教材將知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)搭配上生動(dòng)活潑的插圖，更容易被小學(xué)生接納和理解，也更有利于提高小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

綜上所述，人教版教材和北師大版教材“式與方程”例題在選材背景上都注重結(jié)合生活實(shí)際，插圖的設(shè)計(jì)都豐富多彩。人教版“式與方程”例題的編排相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面較為全面且知識(shí)點(diǎn)之間的過渡環(huán)環(huán)相扣，適合大部分學(xué)生的認(rèn)知水平;而北師大版教材例題的編排存在知識(shí)跨度較大、部分例題需要結(jié)合習(xí)題對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充的現(xiàn)象，留給了學(xué)生更多自主思考與探索的空間。教師在組織“式與方程”教學(xué)的過程中，可以基于兩個(gè)版本教材不同的特點(diǎn)，結(jié)合本班學(xué)生的實(shí)際情況，選擇合適的教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容呈現(xiàn)方式，將知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，給學(xué)生打牢該內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

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作者簡介：陳雨（1996— ），四川成都人，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);梁宇（1978— ），廣西賀州人，教授、碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育及教師發(fā)展。

（責(zé)編 白聰敏）