多根無(wú)限長(zhǎng)恒定電流形成的磁力線(xiàn)方程研究

郭勇　姜付錦

摘 要：本文先根據(jù)磁力線(xiàn)的定義式推導(dǎo)出兩根、四根、n根無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流形成的磁力線(xiàn)方程，然后由柯西——黎曼方程推導(dǎo)出n根無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流形成的磁力線(xiàn)方程，最后數(shù)值模擬了幾種有代表性的磁力線(xiàn)分布圖.

關(guān)鍵詞：無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流;磁力線(xiàn)方程;柯西——黎曼方程;數(shù)值模擬

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0122-03

1 問(wèn)題

四根均通有恒定電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)1、2、3、4都垂直于x-y平面，它們與x-y平面的交點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2a、中心在原點(diǎn)O的正方形的頂點(diǎn)，各導(dǎo)線(xiàn)中電流的方向已在圖1中標(biāo)出.

已知真空磁導(dǎo)率為μ0.試分析空間磁力線(xiàn)方程是怎樣的？是如何分布的？

2 磁力線(xiàn)方程推導(dǎo)

2.1 兩根無(wú)限長(zhǎng)電流形成的磁力線(xiàn)方程如圖2所示，設(shè)兩根導(dǎo)線(xiàn)的位置坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0），電流大小分別為I1，I2，且它們的方向相同，都垂直于紙面向里.根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流在周?chē)a(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式B（r）=μ0I2πr.可知x-y平面內(nèi)某點(diǎn)p（x，y）的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

若I1=I2，則磁力線(xiàn)方程是到兩個(gè)定點(diǎn)（直線(xiàn)電流）的距離之積是一個(gè)定值.

若I1=-I2，則磁力線(xiàn)方程是到兩個(gè)定點(diǎn)（直線(xiàn)電流）的距離之商是一個(gè)定值.

2.2 四根直線(xiàn)電流形成的磁力線(xiàn)方程

設(shè)根四導(dǎo)線(xiàn)的位置坐標(biāo)分別是（-a，a），（a，a），（a，-a），（-a，-a），電流大小分別為I1，I2，I3，I4，且它們的方向相同，都垂直于紙面向里.根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流在周?chē)a(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式B（r）=μ02π·Ir.可知x-y平面內(nèi)某點(diǎn)P（x，y）的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

上式中C1為某一個(gè)積分常數(shù)，這個(gè)曲線(xiàn)簇就是本文開(kāi)始問(wèn)題的答案.

2.3 n根直線(xiàn)電流形成的磁力線(xiàn)方程

通過(guò)以上分析可以現(xiàn)，多根無(wú)限長(zhǎng)通電直線(xiàn)形成的磁力線(xiàn)方程既可以用磁力線(xiàn)的微分方程推導(dǎo)，也可以由柯西——黎曼方程得到.它們形成的磁力線(xiàn)方程與多根無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)的等勢(shì)線(xiàn)方程具有類(lèi)似性，若它們的電流大小相等、方向相同，則磁力線(xiàn)方程是到這些電流位置的距離的乘積是一個(gè)定值的曲線(xiàn)簇——卡西尼卵形曲線(xiàn).限于篇幅，這里不再贅述，感興趣的讀者可以自行推證.

參考文獻(xiàn)：

[1]程若磊.無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電線(xiàn)與非接地帶電圓柱導(dǎo)體系統(tǒng)的等勢(shì)線(xiàn)與電場(chǎng)線(xiàn)方程[J].物理通報(bào)，2013（8）：22-23.

[2] 盧俊強(qiáng)，翟峰.平面磁場(chǎng)的磁感應(yīng)線(xiàn) [J].物理與工程，2019（29）：31-33.

[3] 姜付錦，吳珊.論卡西尼曲線(xiàn)與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)系統(tǒng)等勢(shì)線(xiàn)的關(guān)系[J].物理通報(bào)，2017（6）：56-58.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：姜付錦（1978.9-），男，湖北省襄陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系湖北省教育學(xué)會(huì)教師教育專(zhuān)業(yè)委員會(huì)2020年課題《數(shù)值模擬在物理問(wèn)題研究中應(yīng)用研究》階段性成果之一，課題編號(hào)：HBJSJY2020-027.