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    諳命題之道 明解題之本

    2022-05-30 10:48:04林春明張如椿
    關(guān)鍵詞:不等式導(dǎo)數(shù)命題

    林春明 張如椿

    摘 要:本文針對2021-2022學(xué)年佛山第一次質(zhì)量檢測導(dǎo)數(shù)壓軸題給出解題策略剖析、命制策略揣析、命題手法綜析、新題命制探析,幫助學(xué)生有效應(yīng)對此類高考問題的求解,在過程中感知數(shù)學(xué)命題之道,感悟數(shù)學(xué)解題之本.

    關(guān)鍵詞:命題;函數(shù);導(dǎo)數(shù);解題;不等式

    中圖分類號:G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1008-0333(202222-0002-03

    1 試題呈現(xiàn)

    題目 已知函數(shù)f(x=1aex-1+x,其中a∈R且a≠0.

    當(dāng)a=1或0

    本題是2021-2022學(xué)年佛山第一次質(zhì)量檢測第22題的第(2)問,試題設(shè)問清新自然又頗具特色,立意樸實(shí)又不失新穎.以含參不等式的證明進(jìn)行呈現(xiàn),乍看平淡無奇,細(xì)細(xì)品味后卻感覺內(nèi)涵豐富.本題在考查基礎(chǔ)知識的同時,注重考查能力,將知識、能力與素質(zhì)的考查融為一體,突出考查數(shù)學(xué)理性思維,著重考查對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,真正全面考查數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    2 解題策略剖析

    命題組采用分類討論來求解.

    當(dāng)a=1時,利用常見的不等式ex≥1+x得到f(x≥1+x-1+x,要證明f(x≥12x,只需證明1+x-1+x≥12x,只需證明1+12x≥1+x,此不等式兩邊平方顯然成立.

    當(dāng)0

    令φ(x=1aex-12ax-(ex-12x,得φ′(x=(1-a(1aex+12>0,φ(x在[-1,+SymboleB@上是單調(diào)遞增函數(shù).所以φ(x≥φ(-1=(1-a(1ae-12≥0,故1aex-12ax≥ex-12x.要證明f(x≥

    12ax,只需證明ex-12x≥1+x,此即a=1的情形,已證成立.

    綜上,當(dāng)a=1或0

    在充分理解上述過程的基礎(chǔ)上,筆者發(fā)現(xiàn),利用不等式ex≥1+x,可將待證不等式f(x≥12ax轉(zhuǎn)化為1+xa-1+x≥12ax,經(jīng)過適當(dāng)代換,并結(jié)合基本不等式,即可將問題輕松求解,更彰顯了問題的本質(zhì).

    另解 (以直代曲)由ex≥1+x得1aex≥1+xa.故只需證明1+xa-1+x≥12ax.

    所謂命題如制謎,解題如猜謎,至此,我們不難揣析到:命題者將一個常規(guī)的問題,通過逐步包裝轉(zhuǎn)換,將其變?yōu)橐粋€新穎的試題.

    而作為解題者的我們,則需通過轉(zhuǎn)換手段,將一個陌生的問題,不斷地轉(zhuǎn)換到我們熟悉的情境和問題,就可輕松將其解決.

    4 命題手法綜析對上述命題手法作進(jìn)一步的綜合分析,我們可得到關(guān)于此類問題的一般化命制思路.

    (1選擇構(gòu)成不等式模型的基本素材ex,1+x及x.

    (2將基本素材進(jìn)行線性組合,構(gòu)成不等式原始模型.本題所構(gòu)成的不等式原始模型為1aex-

    b1+x≥cx(其中a>0).

    (3利用不等式ex≥1+x實(shí)現(xiàn)以直代曲,得到不等式原始模型的簡化.本題得到不等式1+xa-b1+x≥cx.

    (4作代換1+x=t,實(shí)現(xiàn)第三步所得不等式形式的進(jìn)一步簡化.本題得到(1-act2-abt+ac≥0(1-ac≥0,ac≥0).

    (5利用基本不等式將第四步所得不等式進(jìn)一步簡化,消去變量t,尋找使不等式成立的充分條件.本題中(1-act2+ac≥2ac(1-act,則只需2ac(1-act-abt≥0,只需2ac(1-ac≥ab,只需c(1a-c≥b2.

    (6對參數(shù)賦值,使得不等式中僅剩下一個參數(shù).本題中令b=1,c=12a,由c(1a-c≥b2可得a≤1,此時c=12a≤12,符合1-ac≥0,ac≥0.從而得到使不等式exa-12ax≥1+x成立的一個充分條件是0

    (7進(jìn)行合理設(shè)問.

    由此步驟,可產(chǎn)生與此類似的一系列試題.

    5 新題命制探析

    基于上述試題命制手法,筆者嘗試命制一些新題.

    新題1 已知函數(shù)f(x=1a(2+x-12alnx,其中a∈R且a≠0.

    (1)討論f(x的單調(diào)性;

    (2)證明:當(dāng)0

    為了體現(xiàn)兩個設(shè)問的連貫性,問題(1)為問題(2)的證明提供線索,可嘗試微調(diào)f(x的形式,將不等式lnx≤x-1蘊(yùn)含其中.如令f(x=1a(2x-2-12alnx,當(dāng)a=2時,f(x=(x-1-lnx,f(x≥0,即lnx≤x-1.從而可命制如下試題.

    新題2 已知函數(shù)f(x=1a(2x-2-12alnx,其中a∈R且a≠0.

    (1)討論f(x的單調(diào)性;

    (2)證明:當(dāng)0

    隨著構(gòu)成不等式模型的基本素材的調(diào)整,參數(shù)取值的不同設(shè)定,函數(shù)f(x形式的改變,問題設(shè)問的不同鋪陳,根據(jù)上述命題思路,還可命制出各類相關(guān)試題,此處不再一一闡述.

    數(shù)學(xué)解題有五重境界,從低階到高階分別是:“正確解題”“一題多解”“多題一解”“發(fā)現(xiàn)定理”“自己編題”.通過上述基于命題視角的試題研究,我們實(shí)現(xiàn)了解題策略分析、命題手法剖析、新題命制探析,對試題有了更深入的認(rèn)識,在這個命題探究過程中,提升了自己的解題境界.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 何燈.一道高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制手法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2021(06:17-19.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

    收稿日期:2022-05-05

    作者簡介:林春明(1963.11-,男,福建省福清人,本科,中學(xué)高級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    張如椿(1980.3-,男,福建省福清人,本科,中學(xué)一級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    基金項(xiàng)目:福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題“新高考背景下情境化試題設(shè)計(jì)的導(dǎo)向和規(guī)律研究”(項(xiàng)目編號:jjgzx19-017).[]

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