高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)導(dǎo)入案例的“縱橫”探討

盧碧如

數(shù)學(xué)概念是一種數(shù)學(xué)的思維形式，在人類歷史發(fā)展的過程中，逐步形成并得以發(fā)展.要正確形成和理解一個數(shù)學(xué)概念，必須認(rèn)識其內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵是概念的本質(zhì)特征，外延是概念的范圍.由于教學(xué)時間緊迫，多數(shù)高中教師對數(shù)學(xué)新概念的教學(xué)僅以講授為主，導(dǎo)致大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解不到位，只會簡單記憶和模仿，不能真正理解其本質(zhì)內(nèi)容，也不能清楚辨析，更不能實現(xiàn)建構(gòu).概念的形成一般來自解決實際問題的需要或?qū)W科自身發(fā)展的需要.在課堂教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生參與概念的建立過程，讓學(xué)生加深對概念的理解.

一、“橫”向比較，取長補短

筆者曾經(jīng)在上海格致中學(xué)舉辦的一次數(shù)學(xué)教學(xué)專題研討活動中，觀摩了三位教師的“同課異構(gòu)”課——“函數(shù)的運算（第1課時）”，對他們從導(dǎo)入新課到“函數(shù)的和的概念”的建立這一部分內(nèi)容的設(shè)計與情境的創(chuàng)設(shè)記憶猶新.下面筆者就以此為例對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)作“橫”向探討.

（一）案例展示

教師A：復(fù)習(xí)與引入

教師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)的概念，強調(diào)在抽象法則f下，任意的x對應(yīng)唯一的y;函數(shù)的三要素;給出一個函數(shù)（①對應(yīng)法則，②定義域）.

提問引出新課：我們已經(jīng)知道，兩個多項式相加所得的和是一個多項式，那么能否定義兩個函數(shù)的和呢？

展示問題：已知兩個函數(shù)f（x）=x2，g（x）=1-2x的定義域都是（-∞，+∞），當(dāng)x=-1，x=1，x=2…x=a（a>0）時，分別求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

變式1：f（x）=x2，x∈（-∞，+∞）;g（x）=1-2x，x∈（0，+∞），問x=-1，x=1，x=2，…，x=a（a>0）時，分別求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

變式2：f（x）=x2，x∈（-∞，0）;g（x）=1-2x，x∈（0，+∞），問x=-1，x=1，x=2，…，x=a（a>0）時，分別求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

由此歸納出函數(shù)的和的概念：設(shè)有兩個函數(shù)f（x），（x∈D1）;g（x），（x∈D2），且D1∩D2≠φ，則定義兩個函數(shù)的加法法則用f+g，即（f+g）（x）=f（x）+g（x），x∈D1∩D2.然后進(jìn)一步討論這個新函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等有關(guān)的性質(zhì).

教師B：復(fù)習(xí)與引入

問題1：請同學(xué)們舉出幾個具體的函數(shù)例子.

學(xué)生A：函數(shù)f（x）=x+1，g（x）=.

問題2：初中學(xué)過數(shù)和式的運算，那么函數(shù)是否能進(jìn)行運算呢？請同學(xué)們就兩個函數(shù)能否進(jìn)行和的運算進(jìn)行研究，提出你們的觀點.

學(xué)生B：兩個函數(shù)的和是可以進(jìn)行運算的.

問題3：兩個函數(shù)如何進(jìn)行和的運算？求兩個函數(shù)的和是不是簡單的解析式相加，有沒有需要注意的問題？

學(xué)生C：兩個函數(shù)的和除了簡單的解析式相加，還需要注意定義域.

問題4：兩個函數(shù)的和的運算結(jié)果是什么？

學(xué)生D：是函數(shù)，如f（x）+g（x）=x+1+，定義域是[1，+x）.

教師由此歸納出函數(shù)的和的概念，然后進(jìn)一步討論這個新函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等相關(guān)性質(zhì).

教師C：復(fù)習(xí)與引入

問題1：寧滬高速公路全長s千米，汽車從起點站上海勻速開往終點站南京，最高時速v千米，速度不得超過c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.你能用速度v千米/時的關(guān)系式表示全程的運輸成本y嗎？

問題2：這一關(guān)系式由兩個函數(shù)y=bsv與y=相加組成，它也是函數(shù)嗎？

問題3：我們剛才建立的函數(shù)是由兩個函數(shù)相加構(gòu)成的，那么兩個函數(shù)相加一定能構(gòu)成函數(shù)嗎？

問題4：從h（x）=f（x）+g（x）的定義，我們得出了它們的定義域間的關(guān)系，那么函數(shù)的運算還有什么值得我們探討的問題呢？

然后，教師指導(dǎo)學(xué)生分組討論，從而進(jìn)一步討論新函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等相關(guān)性質(zhì).

（二）課堂實施情況

教師A按設(shè)計方案完成了教學(xué)目標(biāo).在變式1與變式2中充分體現(xiàn)了兩個“函數(shù)的和”的定義域，既滿足f（x）又滿足g（x）.同時，設(shè)問兩個函數(shù)的和還是函數(shù)嗎？若是，新函數(shù)與原來的兩個函數(shù)之間有什么關(guān)系？

教師B按設(shè)計方案完成了教學(xué)目標(biāo)，同時讓學(xué)生找到定義中的條件和結(jié)論.整節(jié)課教師都是以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生去抓住兩個“函數(shù)的和”的定義域.

教師C按設(shè)計方案較倉促地完成了教學(xué)目標(biāo)，歸納出定義，采用小組討論的方式讓學(xué)生再研究其他性質(zhì).

（三）課后思考

“函數(shù)的和”的概念的形成是需要經(jīng)過醞釀的，讓學(xué)生在大腦中反復(fù)思考而得到.其概念的外延是兩個函數(shù)的和仍然是一個函數(shù)，其內(nèi)涵的本質(zhì)是定義域是兩個函數(shù)定義域的交集.

教師A：尊重教材，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，通過學(xué)生熟悉的具體函數(shù)及變式，讓學(xué)生體會兩個函數(shù)的和及其定義域，讓學(xué)生學(xué)會遷移，導(dǎo)入成功.

教師B：充分展現(xiàn)了課堂教學(xué)中學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生從所學(xué)的知識中尋求答案，教師在這個生長點上再延伸和拓展出新知識.在教學(xué)過程中，教師重復(fù)學(xué)生的語言，并用較生動的語言引導(dǎo)他們一步步思考，展示了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，知識落實很有特色，導(dǎo)入也成功.

教師C：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課，激發(fā)興趣;探索討論、嘗試發(fā)現(xiàn).但是對于高一學(xué)生來說，引入問題文字量過大，花了約10分鐘，才按設(shè)計方案完成了導(dǎo)入的教學(xué)目標(biāo).我們要知道導(dǎo)入時千萬不能為了創(chuàng)設(shè)情境而創(chuàng)設(shè)情境.創(chuàng)設(shè)情境主要是為新概念服務(wù)的.本節(jié)課內(nèi)容太多，時間不夠，倉促地用教師的思維代替了學(xué)生的思維，雖然課堂理念新穎，但從學(xué)生概念的形成本質(zhì)來看，導(dǎo)入不算成功.

總之，數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)的導(dǎo)入設(shè)計只要是合理的都行.一個概念的導(dǎo)入，其方法是具有多樣性和靈活性的.教學(xué)中如何讓學(xué)生自覺地投入學(xué)習(xí)活動中，積極主動地探索知識，使課堂充滿生機與活力，從而更好地掌握概念是值得教師去不斷探索的事情.

二、“縱”向深挖，遷移實踐

還有一節(jié)展示課“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（第1課時）讓人久久難忘，筆者以此為例再對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)導(dǎo)入進(jìn)行“縱”向探討.

（一）案例展示

教師首先播放了神七運行軌道、北京鳥巢的圖片.

問題1：請同學(xué)們舉出幾個身邊橢圓的例子.

然后，教師讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的畫圖板和細(xì)繩，將準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端固定在畫圖板上，用筆尖拉緊繩子運動，記細(xì)繩兩端為F1，F(xiàn)2.根據(jù)以下問題，觀察筆尖運動的軌跡是什么？

問題2：當(dāng)|F1F2|等于繩子長度時;當(dāng)|F1F2|大于繩子長度時;當(dāng)|F1F2|小于繩子長度時，在同時滿足此條件下，再至少改變2次|F1F2|的大小，作出運動軌跡.

學(xué)生歸納出橢圓的定義后，建立直角坐標(biāo)系推導(dǎo)方程，然后進(jìn)行實例應(yīng)用.

（二）課堂實施情況

教師按設(shè)計方案完成了教學(xué)目標(biāo)。由問題1學(xué)生感性認(rèn)識橢圓，感到數(shù)學(xué)知識就在自己身邊;問題2讓學(xué)生動手做實驗，邊實驗邊觀察，發(fā)現(xiàn)橢圓的形成主要取決于|F1F2|的長度和繩子長度之間的關(guān)系，要得到橢圓，必須滿足繩子長度大于|F1F2|，同時調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性.

（三）課后思考

在動手畫完橢圓之后，學(xué)生充分感知了：筆尖（動點）到繩的兩端（兩定點F1、F2）的距離之和為繩長（定值）時，且滿足繩長大于|F1F2|，則筆尖運動軌跡為橢圓.學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：由于繩的兩端（兩定點F1、F2）兩點間的距離不同，所以畫出的橢圓有圓扁之分，甚至畫不出圖形.學(xué)生動手實驗的過程，就是在感知橢圓定義的建立過程，這時就可以水到渠成地導(dǎo)入橢圓的定義.同時，教師充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境，提高課堂教學(xué)的有效性，也激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.知識可以有很多種不同的講授方法，適當(dāng)?shù)陌b可以使學(xué)生更樂于接受，更能提高課堂教學(xué)效率.一位物理教師是這樣形容最大靜摩擦力的概念的：“當(dāng)你用到最大靜摩擦力推桌子時，桌子沒有動，這時飛來一只蚊子踢了一腳，桌子就會向前運動了.”這樣的教學(xué)設(shè)計，何愁學(xué)生學(xué)不會呢？誠如波利亞所說：“教師有責(zé)任使學(xué)生信服數(shù)學(xué)是有趣的.”

“函數(shù)的和”和“橢圓”兩個內(nèi)容原本聯(lián)系并不大.但透過例子看其本質(zhì)，從創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、貼近生活、主體參與、問題觀察等入手，教學(xué)時教師都是在找概念的“生長點”.從數(shù)學(xué)概念看，有的是用數(shù)學(xué)符號表示，有的是用圖形，如本文的“函數(shù)的和”用抽象法則f+g，從而增加科學(xué)性;而橢圓就是用圖形表示概念，又從代數(shù)上去刻畫圖形.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的導(dǎo)入實質(zhì)是由數(shù)學(xué)的舊知識到新知識的轉(zhuǎn)變過程，要突出數(shù)學(xué)知識的形成和落實，尊重教材、尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.難了學(xué)生不易接受，簡單了調(diào)動不了積極性，所以怎樣導(dǎo)入才能讓學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上“輕輕一跳”，就能夠得著，是關(guān)鍵.課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，案例討論能促進(jìn)從理論到實踐的轉(zhuǎn)移，對今后的教學(xué)意義重大.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇