在“類比”中發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)

劉建波 程國忠 王昌林

[摘? 要] 類比是人類認識事物的思維形式之一，能夠發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 文章先分析了類比的內(nèi)涵及其價值，再分析了類比對于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的促進作用，并以“等比數(shù)列的前n項和公式的推導”為例，展示了類比教學的過程，最后給出了關(guān)于類比教學的思考.

[關(guān)鍵詞] 類比教學;核心素養(yǎng);教學實踐

[?]類比的內(nèi)涵及其價值

“類”有種類、類似之意，也可指具有某種屬性的事物構(gòu)成的群體[1];“比”有比較、分析之意. 所謂類比，是指依據(jù)兩個或兩類對象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出它們還存在其他相同或相似的屬性的一種推理形式. 與“類比”相近的詞有“類同、類異、類推、比類”等，這些都囊括在“類比”之中，它們與“類比”的本質(zhì)都是相同的，是人類認知事物的思維形式. 類比的價值不僅在于表面上的求同或求異，而且在于對元素、系統(tǒng)、對象進行梳理和體系建構(gòu)，促進認知遷移[2].

[?]為何類比能促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展

結(jié)合文獻[1-4]，總結(jié)出類比對于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的促進作用表現(xiàn)為以下兩個方面：

（1）從本質(zhì)來看，類比通過類同、類異、類推，探究元素、系統(tǒng)、對象之間的關(guān)系，經(jīng)過同化、順應與平衡納入認知圖式，實現(xiàn)認知發(fā)展和遷移. 正如波利亞的觀點“類比的核心是關(guān)系上的相似”，類比處理問題的本質(zhì)就是處理事物之間的關(guān)系問題. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）認為，數(shù)學教育要提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界，并提出了數(shù)學學科特有的六大核心素養(yǎng)——數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析[3]. 其中，數(shù)學抽象是指從數(shù)量關(guān)系與空間形式的角度，抽象總結(jié)研究對象的共同規(guī)律，實質(zhì)是從無到有產(chǎn)生數(shù)學，即“數(shù)學的根本起源”;邏輯推理是指從已有事實或規(guī)律出發(fā)，推出新的規(guī)律，實質(zhì)是從少到多發(fā)展數(shù)學，即“數(shù)學的生長點和發(fā)展點”[4]. 無論是數(shù)學抽象素養(yǎng)的“從無到有”，還是邏輯推理素養(yǎng)的“從少到多”，乃至數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，都與類比處理問題的本質(zhì)密切相關(guān).

（2）從思維進程來看，演繹推理是“從一般到特殊”的推理，歸納推理是“從特殊到一般”的推理，而類比推理是“從特殊到特殊”或“從一般到一般”的推理. 正是因為類比推理能夠?qū)崿F(xiàn)由特殊到特殊或一般到一般的轉(zhuǎn)移，所以類比能夠溝通已知與未知，既能幫助人們有效利用已有知識，又能彌補已有知識的不足并打破限制，進而啟發(fā)思考，開展創(chuàng)新實踐活動. 通過類比推理，學習者能利用已有經(jīng)驗探究元素、系統(tǒng)、對象之間的關(guān)系、結(jié)構(gòu)，從而更新已有經(jīng)驗或范疇，理解新事物以及形成新概念，實現(xiàn)縱向領(lǐng)域的認知推進、橫向領(lǐng)域的知識遷移，在數(shù)學抽象、邏輯推理等創(chuàng)新實踐活動中發(fā)揮著歸納與演繹等難以企及的作用. 因此，類比能夠促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展.

[?]如何在類比中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

下面以“等比數(shù)列的前n項和公式的推導”為例，分別從制定目標、引入課題、提煉步驟、形成公式、鞏固新知五個環(huán)節(jié)，闡述如何在類比中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 具體如下：

1. 研讀課標，制定目標

等比數(shù)列的前n項和公式在《新課標》中被列入選擇性必修課程的函數(shù)主題. 本節(jié)課的目標為：探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系[3]. 從知識體系來看，等比數(shù)列的前n項和公式是繼等差數(shù)列章節(jié)后的重要內(nèi)容，是等差數(shù)列的前n項和與等比數(shù)列的通項公式的自然延續(xù)，也是之前所學函數(shù)的延續(xù). 本節(jié)課所運用的數(shù)列求和的方法（錯位相減法）是一種重要的數(shù)學思想方法. 其推導過程滲透著由特殊到一般、類比、歸納等思想方法，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵內(nèi)容;從等差數(shù)列求和到等比數(shù)列求和、從倒序求和法到錯位相減法之間的類同和類異，是學生獲得基本活動經(jīng)驗的來源. 因此，本節(jié)課的教學重點為等比數(shù)列的前n項和公式的推導和運用. 學生已經(jīng)學過等差數(shù)列的前n項和公式，對于數(shù)列求和有了一定的認識. 在等比數(shù)列及其通項公式的教學中，學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間存在的異同，能夠自然進行知識類比、遷移，但想要將已有的等差數(shù)列求和經(jīng)驗遷移到等比數(shù)列，學生難以通過運算形式的類比而進行. 因此，等比數(shù)列的前n項和公式的推導是本節(jié)課的教學難點.

基于以上分析，擬定“等比數(shù)列前n項和公式的推導”的教學目標如下：掌握等比數(shù)列前n項和公式;理解數(shù)列求和的本質(zhì);能夠推導等比數(shù)列前n項和公式;在類比等差數(shù)列研究等比數(shù)列的過程中，能夠邏輯連貫、有條理地進行分析、類比、遷移，從而發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

2. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

引例：小張向小李借錢，小李提了一個條件. 這個條件是：在30天內(nèi)，小李第1天借給小張1萬元、第2天借給小張2萬元，以后每天借給小張的錢都比前一天多1萬;同時，小張在借錢的第1天要還小李1分，第2天還小李2分，以后每天還的錢是前一天的2倍，30天后互不賒欠. （提示：還的錢先按單位“分”計算，最后結(jié)果再換算成單位“萬元”）

師：你認為小張會不會虧呢？引例中小張一共借了多少錢？小張一共需要歸還多少錢？借錢總數(shù)與還錢總數(shù)誰大？

生：小張借錢總數(shù)為1+2+…+30==465（萬元），小張還錢總數(shù)為1+2+22+…+229（分），結(jié)果沒算出來.

師：我們發(fā)現(xiàn)小張借錢總數(shù)的計算是一個求等差數(shù)列前n項和的問題，運用等差數(shù)列前n和公式便可得到結(jié)果，小張還錢總數(shù)按天排列正好成等比數(shù)列，由于次數(shù)太高且沒有等比數(shù)列前n和公式可以應用，現(xiàn)在未能運算出結(jié)果. 那么等比數(shù)列的前n項和公式會是怎樣的呢？我們一起來研究. （板書課題并提出問題）

問題1：已知等比數(shù)列{a}，已知a，q，a，等比數(shù)列前n項和為S，試推導S.

評析：將生活中的借錢問題作為情境引發(fā)學生思考，且加等差數(shù)列的前n項和與等比數(shù)列的前n項和于其中，引導學生初步類比等差數(shù)列的前n項和公式，自然引出本節(jié)課的主線，讓學生在將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程中發(fā)現(xiàn)新的求和問題，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

3. 類比舊知，提煉步驟

師：數(shù)列求和就是用相對簡單的形式來表征加法求和的結(jié)果. 等差數(shù)列的前n項和公式可以用基本量a，a，n或a，d，n來表示，那么等比數(shù)列的前n項和公式可能會用到什么基本量來表示呢？

生1：可能會用a，a，n，q來表示.

師：在等差數(shù)列的前n項和公式的推導過程中，我們用的是倒序相加法，那么用倒序相加法來推導等比數(shù)列的前n項和公式是否同樣適用呢？

生2：不適用. 從配對來看，等差數(shù)列中每對的和都是相等的，而等比數(shù)列中每對的和并不相等.

師：是的，回顧等差數(shù)列的前n項和公式的推導過程，我們先將原等式倒序得到第二個等式，然后將對應項配對求和，最后整理得到公式. 那么等差數(shù)列求和這三步的本質(zhì)是什么呢？

生3：適當計算消去中間項，只剩下a+a. 將n個不同數(shù)之和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)之和.

師：同樣是求和，同學們能否將等差數(shù)列的前n項和公式的推導步驟運用到今天的等比數(shù)列的前n項和公式的推導中來呢？（教師板書三個步驟：①將原等式變換出第二個等式;②兩個等式經(jīng)過適當運算消去中間項;③通過整理得到求和公式）

評析：一方面，“數(shù)學方法的教學重在類異[1]”，引導學生回顧等差數(shù)列求和公式的推導過程，并讓學生思考能否類比等差數(shù)列的倒序相加法來解決等比數(shù)列求和的問題，旨在讓學生經(jīng)歷類比思維過程. 另一方面，在學生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列求和方法（倒序相加法）的基礎(chǔ)上，利用問題推動教學進程，讓學生逐步從“形式模仿”走向“本質(zhì)理解”，也就是認識到倒序相加法的局限性，并總結(jié)數(shù)列求和的本質(zhì)就是根據(jù)通項結(jié)構(gòu)特征結(jié)合運算律消項，從而為學生推導等比數(shù)列的前n項和公式提供清晰的方法指導. 由類比思想引領(lǐng)教學進程，讓學生在理解數(shù)學知識與體悟數(shù)學思想方法中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

4. 類比嘗試，形成公式

師：面對復雜問題，我們不妨從簡單的特殊情況入手. 比如前面提到的S=1+2+22+…+229. 求等差數(shù)列的前n項和的方法就是消去中間項，回到等比數(shù)列來，請同學們思考S=1+2+22+…+229中各項之間的關(guān)系，如何類比等差數(shù)列求和呢？

生4：在式子S=1+2+22+…+229的左右兩邊同乘2就會發(fā)現(xiàn)，中間項可以通過原式與變換后的第二個等式相減而消掉. 推導過程為

S=1+2+22+…+229，

2S=2+22+23+…+230，

S=230-1.

師：為什么會想到在等式的左右兩邊同乘2呢？乘其他的數(shù)可不可以呢？

生4：乘2后能夠?qū)墒竭M行消項，乘2的倍數(shù)也是可以的，但是沒有乘2方便.

師：乘2與等比數(shù)列本身有什么關(guān)系呢？

生5：2正好是等比數(shù)列的公比.

師：很好. 我們按照剛提煉出的步驟，得到了上述特殊的等比數(shù)列求和公式的推導過程. 具體的過程為：先在S=1+2+22+…+229的左右兩邊同乘公比2得到2S=2+22+23+…+230，然后利用錯位相減法消去它們的中間項，最后整理得到S=230-1. 同學們能否將上述的特殊情形類比推廣到問題1中一般的等比數(shù)列求和？類比剛才的方法，用字母代替數(shù)將特殊情形推廣到一般情形，消去中間項，試寫出等比數(shù)列的前n項和公式.

生6：將首項1寫作a，項數(shù)30寫作n，末項a寫作a，公比2寫作q，則等比數(shù)列的前n項和公式的推導過程為

S=a+a+a+…+a+a①，

qS=aq+aq+aq…+aq+anq=a+a+…+a+anq②，

由①-②，得（1-q）S=a-anq，得S=.

師：在用字母代替數(shù)進行推導的過程中，我們需要注意哪些細節(jié)呢？請同學們討論并加以完善.

生7：q≠1時，1-q才能用作分母.

師：是的. 若q=1，等比數(shù)列{a}將發(fā)生怎樣的變化？我們又該如何求S呢？

生8：q=1時，等比數(shù)列{a}就變成了常數(shù)數(shù)列，S=na.

師：很好. 因為公比q有等于1或不等于1這兩種情況，所以等比數(shù)列的前n項和公式應該寫成分段函數(shù)的形式，即

S=

na，q=1，

，q≠1.

因此，計算等比數(shù)列的前n項和時，當公比q為參數(shù)時，一定要分類討論. 同時，在推導過程中，第二個等式與原等式的大多數(shù)中間項正好是錯位分布的，因此我們將推導等比數(shù)列的前n項和公式的這個方法稱為錯位相減法. 它的原理是：根據(jù)等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，利用等式左右兩邊同乘q得到與原等式有相同項的第二個等式，達到兩式相減消項的目的，最后得出公式.

師：等差數(shù)列的前n項和公式有兩個，等比數(shù)列的前n項和公式是否也有兩個？如果有，那會是怎樣的呢？

生9：可以將a用aqn-1來表示，得到用基本量a，n，q表示的新公式，即

S=

na，q=1，

=，q≠1.

還可以將等比數(shù)列的每一項都用首項和公比來表示，即

S=a+a+a+…+a+a=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，

qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，

由①-②，得（1-q）S=a-aqn，得S==，所以

S=

na，q=1，

，q≠1.

評析：從特殊到一般的探究活動，可以避免特殊數(shù)據(jù)對問題本質(zhì)的干擾，便于一般的等比數(shù)列的前n項和公式的推導. 在學生類比嘗試的同時，通過適當追問引發(fā)學生反思. 學生經(jīng)歷思維從醞釀、發(fā)現(xiàn)、形成到實施、反思、優(yōu)化的完整過程能夠促使學生合乎邏輯地進行思考[5]，進而提高思維的嚴謹性、深刻性、靈活性與創(chuàng)新性水平，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).

5. 運用公式，鞏固新知

師：使用等差數(shù)列的前n項和公式時，在a，a，n，d，S中“知三求二”;觀察等比數(shù)列的前n項和公式可以發(fā)現(xiàn)：在等比數(shù)列中，若q≠1，則在a，a，n，q，S中同樣能“知三求二”.

例1 合理運用公式，求解下列問題：

（1）求等比數(shù)列3，6，12，…，192的和;

（2）已知等比數(shù)列{a}中的a=-1，a=64，求q與S.

例2 求S=1+q+q2+…+qn-1+qn.

評析：一般來說，學生只有在運用公式的過程中，才能真正理解和掌握它. 通過例1的練習，可以幫助學生熟悉等比數(shù)列的前n項和公式，體悟等比數(shù)列的前n項和公式中五個量之間的關(guān)系. 例2需要對參數(shù)q進行分類討論，可以幫助學生進一步明確等比數(shù)列的前n項和公式的適用條件，深化對等比數(shù)列求和公式的理解.

[?]關(guān)于在類比中發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的幾點思考

數(shù)學核心素養(yǎng)落地的一個重要方式就是開展類比教學. 類比教學，旨在厘清數(shù)學內(nèi)部的邏輯體系進行類比，它能引導學生在類同、類異以及類推的過程中學會“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”，促進學生在新舊知識之間建立非人為的實質(zhì)性聯(lián)系，進而形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)認知遷移，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

1. “四個理解”是開展類比教學的首要前提

“四個理解”即章建躍先生提出的“理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術(shù)”[6]. 教師只有在“四個理解”的基礎(chǔ)上，類比教學才能開展得順利而高效，更能進一步順利發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

2. 合適的教學情境是開展類比教學的情感基礎(chǔ)

合適的教學情境能夠激發(fā)學生的興趣，調(diào)動相關(guān)的知識塊進行思考，產(chǎn)生積極的心理狀態(tài)參與教學活動，提升教學效率. 合適的教學情境的設(shè)置應該依據(jù)數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)和學生的認知特點. 教學中，將北師大版教材中的貸款問題轉(zhuǎn)化為小張借錢是否會虧的情境，旨在營造和諧、積極的學習氣氛，使得問題更加鮮活，激發(fā)學生的學習興趣，并為進一步教學建立積極的心理狀態(tài).

3. 合理的問題設(shè)計是開展類比教學的關(guān)鍵動力

問題是思維活動的起點，是數(shù)學探索的牽引力. 思維起源于對事物的質(zhì)疑、困惑，教師要善于在抓住學生新舊知識的交匯點的基礎(chǔ)上提出啟發(fā)性問題，激發(fā)學生的學習興趣，誘使學生主動去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題，進而推動學生去嘗試、活動、體驗、表達，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

4. 嚴密的數(shù)學教育結(jié)構(gòu)是開展類比教學的重要保障

數(shù)學教育結(jié)構(gòu)是指“教與學對應”和“教與數(shù)學對應”的雙邏輯結(jié)構(gòu)[7]. 只有借助嚴密的數(shù)學教育結(jié)構(gòu)，才能將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诮邮艿慕逃螒B(tài). 教學中，可以通過設(shè)計前后連貫的探究活動，讓學生經(jīng)歷由舊知到新知的過程，理解數(shù)學概念，感悟其中的數(shù)學思想方法，從而形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu). 例如，借助推導等差數(shù)列的前n項和公式累積的經(jīng)驗開展類比教學，讓學生經(jīng)歷從等差數(shù)列求和到等比數(shù)列求和的“類同”、從等差數(shù)列各項間的關(guān)系到等比數(shù)列的“類異”、從倒序相加法到錯位相減法的“類推”等由舊知到新知的思維過程，又一次感受“研究對象變化，而思想方法不變，研究方法不變”的數(shù)列求和過程，感悟其中蘊含的類比思想等數(shù)學思想方法，進而豐富學生的數(shù)學體驗，拓展學生的數(shù)學思維圖式，幫助學生養(yǎng)成連貫地、有理有據(jù)地思考問題的習慣，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]? 史寧中. 試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學教育學報，2016，25（04）：1-16+46.

[2]? 吳樂樂，裴昌根，柏楊. 類比視角下發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學策略探究[J]. 中小學教師培訓，2021（01）：35-39.

[3]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]? 李尚志. 核心素養(yǎng)滲透數(shù)學課程教學[J]. 數(shù)學通報，2018，57（01）：1-6+14.

[5]? 李昌官. 讓學生學會合乎邏輯地思考——以“等比數(shù)列前n項和公式的推導”教學為例[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2018（08）：58-61.

[6]? 章建躍. 核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)1）——《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數(shù)學教學參考，2019（19）：6-11.

[7]? 涂榮豹. 論數(shù)學教育研究的規(guī)范性[J]. 數(shù)學教育學報，2003，12（04）：2-5.