指向深度學習的小學數(shù)學學具的開發(fā)與使用

費曉燕

深度學習是一種相對于淺層學習而言的學習方式，是一種主動的、探究式的、理解性的學習，要求學習者能主動建構知識，自覺將知識轉化為技能，并遷移至新情境中，從而提升自身的認知能力、思維能力和創(chuàng)造能力。數(shù)學是一門相對抽象的學科，一些枯燥的、概括性高的數(shù)學知識理解起來不僅困難，而且空洞乏味，而學具恰好能彌補這一不足，幫助學生直觀地理解知識本質，其獨到優(yōu)勢是能讓學生親自動手實踐，通過操作活動，化抽象為形象、充分調動學習興趣，激發(fā)數(shù)學思維，促進深度學習的形成。筆者在實踐過程中也發(fā)現(xiàn)數(shù)學課堂中有效地進行學具的開發(fā)與使用能發(fā)展學生的空間想象能力、提高數(shù)學表達能力、加強理解記憶能力，從而引發(fā)深度學習。

一、發(fā)展學生的空間想象能力

七巧板是中國古代一種著名的益智游戲，用它可以拼出很多好玩有趣的圖案，應該說七巧板在學生的童年世界里并不陌生，手邊的數(shù)學學具袋里也有現(xiàn)成的材料，因此學生已經(jīng)積累了一定的關于“七巧板”的活動經(jīng)驗。但此時的經(jīng)驗更多關注在了它只是一種“玩具”的層面上，如何在數(shù)學課堂中凸顯出七巧板的數(shù)學之“巧”呢？

問：同學們，觀察一下（圖1）這是一個什么圖形？

追問：它是怎樣組成的？可以分為哪幾種圖形？各自的形狀和大小有什么特點？

答：可以分為兩個大的一樣的三角形、兩個小的一樣的三角形、一個不大不小的三角形、兩個四邊形（正方形和平行四邊形）。

引導：請你拿出三角形，驗證是否真的有兩塊一模一樣的大的，兩塊一模一樣的小的。

學生拿出學具開始驗證，驗證結果與剛才的“基于觀感的一樣大”的結論吻合。

示范：老師用兩塊一模一樣的三角形拼成了一個大的三角形（圖2），你也能選兩塊拼成一個我們已經(jīng)學過的圖形嗎？

學生操作后交流：我用兩個一樣的三角形拼成了一個正方形;我用兩個一樣的三角形拼成了一個平行四邊形;我用一個三角形和一個正方形拼成了一個四邊形·····

設疑：選兩塊能拼成已經(jīng)學過的圖形，那選三塊呢，你覺得會怎樣呢？

學生嘗試后交流：我能拼成正方形、長方形、大三角形、平行四邊形、五邊形······

追問：與剛才只選用兩塊拼的情況相比，你有什么想說的？

答：我發(fā)現(xiàn)選的塊數(shù)越多，拼出來的圖形種類也越多，圖案也更加豐富多樣了。

引導：如果讓你自由選擇，你打算選幾塊，能拼成什么圖案呢？試著拼拼看

學生開始自由嘗試，很多有趣的圖案應運而生：金魚圖、小貓圖、帆船圖、蝴蝶圖······過程中老師不斷記錄下學生的精彩瞬間，并投屏展示在多媒體上，學生有了這些智慧的啟發(fā)后催生出了更多的創(chuàng)作靈感，整個課堂氛圍是融洽的、和諧的、精彩的。

再來看學生的評價：他拼出的這個蝴蝶圖是對稱的，感覺很漂亮，我在他這幅圖的基礎上挪動一下兩塊的位置還能變成一幅寶石圖;他用五塊板拼成了一只小船，我用的塊數(shù)比他少，三塊也能拼成一搜帆船;我覺得他的拼法很巧妙，七塊板都用上了，但拼的圖是魚兒的一家三口，我覺得很有創(chuàng)意，我拼成了兩棵圣誕樹，也覺得很巧妙······學生評價凸顯了低年級的思維特性，有認同、有贊賞、有比較、有模仿。

小結拓展：這正是七巧板的“巧”之處，用它可以拼出千變萬化的圖案，古代就有它的“巧用之處”，七巧燕幾、七巧桌、七巧攢盤、七巧碗······

數(shù)學課堂是有一定邏輯性和層次性的，上述環(huán)節(jié)先是引導學生觀察整個大正方形，初步感知通過“拼”是能組合成一定圖形的。同時明確七巧板的組成結構，知道各種圖形之間的大小關系;然后是老師的操作示范，學生通過進一步觀察再次積累關于“拼”的感性經(jīng)驗，明確“拼”能呈現(xiàn)出熟悉的圖形;接著變換成3塊或以上的板，依舊拼成學過的圖形，此時學生通過操作也發(fā)現(xiàn)隨著板的數(shù)量的增加，拼的方法也越來越多了。但由于題干“拼成已經(jīng)學過的圖形”的限制，他們不得不思考在塊數(shù)越來越多的情況下該如何有效地“拼”，用什么形狀？用幾塊？哪兩條邊合在一起？因而“拼”的過程就是學生理性思考的過程;最后一次操作是學生的自由發(fā)揮，更多的是結合生活經(jīng)驗的想象，不再受教材的局限，思維空間打開了，所以此時呈現(xiàn)出來的圖案就豐富多彩了。由此可見，有效使用現(xiàn)有學具，能很大程度上拓寬學生的思維，發(fā)展學生的空間想象能力。

二、提高學生的數(shù)學表達能力

數(shù)的組成是學生認識和理解位值制原理的重要知識點，在數(shù)學課堂教學中該如何加強認數(shù)的直觀性，突出對數(shù)的本質意義的理解呢？

出示圖片后問：圖中的這兩個數(shù)你會念嗎，在這里分別表示什么意思呢？

答：一臺電扇的價格是300元;一張桌子的高度是111厘米。

引導：小朋友們會讀這兩個數(shù)了，也知道在圖中表示的含義了，那它們到底是多大呢？你能選擇合適的學具表示出300和111嗎？

學生自行選用學具進行操作、集體交流。（如圖3）

生1：我用3大捆小棒來表示，因為每個大捆是100根，所以3大捆就是300。

生2：我用3板小方塊來表示，因為每板是100個，所以3板就是300。

生3：我是用計數(shù)器來表示的，在計數(shù)器的百位上撥3顆珠子，這樣也能表示出300。

師：小朋友們真了不起，用了三種不一樣的方法來表示300，思考一下這三種方法之間有什么共同之處嗎？

小結：三種方法都表示出了3個一百，所以“3個一百就是三百”。

師：那111又該如何表示呢？

生4：我用1大捆、1小捆，和1根小棒來表示，因為1大捆里有100根，1小捆里有10根，再加1根就是111。

生5：我用1板、1條和1個小方塊來表示，1板里有100個，1條里有10個，再和1個合起來也是111。

生6：我也能用計數(shù)器來表示，在百位上、十位上和個位上分別撥1顆珠子，這樣就表示出了111。

小結：這里的三種方法也都表示出了1個一百，1個十和1個一，所以“1個百、1個十和1個一合起來是111”。

追問：仔細觀察一下這兩個計數(shù)器，表示300和111分別用了幾顆珠子？

答：它們都用了3顆珠子。

追問：怎么用的珠子的數(shù)量相同，但是卻表示出了不一樣的數(shù)呢？

答：因為珠子在不同的數(shù)位上，表示的意思也是不一樣的。

總結：小棒的1大捆和方塊的1板就相當于計數(shù)器上的“百位”;小棒的1小捆和方塊的1條就相當于計數(shù)器上的“十位”;小棒的1根和方塊的1個就相當于計數(shù)器上的“個位”;在百位上的數(shù)表示“幾個百”，十位上的數(shù)表示“幾個十”，個位上的數(shù)就表示“幾個一”，其實三種學具表示數(shù)的含義的原理是一樣的。

在以上的教學片段中，教師精心挑選了合適的學具，有小棒圖、方塊圖和計數(shù)器，也根據(jù)每一種學具的特點突出了其位值制的設計，雖然三種學具的呈現(xiàn)方式不同，但其表示的數(shù)的認識的本質卻是相同的：幾百是由幾個百組成的;幾百幾十幾是由幾個百、幾個十和幾個一組成的。將已有學具進行有效地搭配與使用，能加強學生直觀操作的形象性，助推學生理解數(shù)的組成的本質，也水到渠成地在動手操作中提升了學生的數(shù)學表達能力。

三、加強學生的理解記憶能力

九九乘法表是二年級數(shù)學教材中要求學生背誦和掌握的內容，學生對于四則運算的學習從加減法到乘除法，是知識結構上的一次重要提升，因此必須要求他們扎扎實實地理解和掌握乘法的含義，熟練記憶乘法口訣并能靈活地進行口訣求商。

問：同學們，你能熟練背誦乘法口訣表嗎？

大聲齊答：能，一一得一、一二得二······九九八十一。

問：8×7等于多少？

生1（小聲嘀咕）：一一得一······七八五十六，那八七也是56。

問：63÷7等于多少？

生2（也在底下輕聲背）：一七得七、二七十四······終于背到了七九六十三。

雖然幾乎所有的學生都能按順序背誦乘法口訣表，但是當單獨選出一道算式時，一小部分學生會采用從頭到尾背一遍的方法找到正確答案，耗時又耗力，對于一些類似“8×7”而不是熟悉的“7×8”時反應會有遲疑，特別是在計算除法算式時，這種弊端會越來越明顯。結合學生的實際情況，我們思考：是否可以讓學生制作感興趣的小學具，擺脫條條框框式的口訣，讓口訣真正“動”起來呢，讓他們在不知不覺中經(jīng)歷背誦，鞏固記憶呢？

在學生的印象里，如果要讓口訣“動”起來，那就應該是個圓形的物體，而且為了反映乘法算式中的兩個乘數(shù)，這個物體就應該由兩個圓形組成，基于以上的思考，有學生設計了如圖4的“乘法大轉盤”：這是由下層的大轉盤、上層的小轉盤和中心軸組成的，兩個轉盤均被平均分成了9等份。大轉盤由中心軸開始，劃分成十圈：靠近中心軸的第一圈呈現(xiàn)“1乘幾”的乘積，第二圈是“2乘幾”的乘積，由內向外以此類推，第九圈的最后一個數(shù)反映的即是“九九八十一”這句口訣;最外面的第十圈是乘法算式的其中一個乘數(shù)，依次是1-9;小轉盤上的九等份也依次呈現(xiàn)1-9，當小轉盤旋轉時，恰好兩個指針指向大轉盤的等分線上時，就得到了兩指針內部呈現(xiàn)的乘法算式和乘積了。

書上的習題也能提供靈感，參照蘇教版二上數(shù)學教材中第84頁的想想做做1，有學生設計了“乘法對稱表”，課堂中筆者借助課件給學生描述每一個空的填寫由來，講解得數(shù)的規(guī)律時，總感覺有很多學生聽不明白，更談不上理解，而借助該生制作的學具，固定橫框、再固定豎框后就會顯示交叉重合的部分，而這個交叉重合的部分正是橫框最左端的數(shù)乘豎框最上端的數(shù)的乘積，每移動一次橫框就會變化一個最左端的數(shù)，每移動一次豎框就會變化一個最上端的數(shù)，因而會得到不同的乘積，結合橫框、豎框的移動操作，學生會很明顯地看到重合處的答案到底是“幾乘幾”得來的，便于學生理解。

以上的兩個學具小制作，是基于學生的生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗而來的，“乘法大轉盤”能真正轉動起來，在轉動過程中所顯示的每一個乘法算式的得數(shù)都是正確的，這對于學生來說可不是一件簡單的事，是要基于對乘法原理真正理解的基礎上才能實現(xiàn)的，增添了背誦的樂趣。發(fā)現(xiàn)了乘積的規(guī)律;“乘法對稱表”是對教材習題的“二次創(chuàng)造”，這也是建立在理解了習題內涵的基礎上開發(fā)設計的，彌補了習題講解的困惑，真正明白了答案是從何而來的。傳統(tǒng)口訣表的背誦會讓學生覺得枯燥，生硬的習題訓練會讓學生覺得無趣。運用數(shù)學小制作能讓學生在“做”中學，在“玩”中學，在“做”和“玩”的過程中潛移默化地加強了學生的理解記憶能力。

總之，有效使用和開發(fā)數(shù)學學具，能讓隱藏在枯燥的習題下的數(shù)學面貌變得生動有趣，能引導學生真正學有用的數(shù)學，學有價值的數(shù)學。當學生的空間想象打開了，數(shù)學表達提升了，理解記憶加強了，深度學習也就順理成章地實現(xiàn)了。