平凡而不簡單

劉護靈

2022年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷（不分文理科），試題落實立德樹人根本任務(wù)，促進考生德智體美勞全面發(fā)展，體現(xiàn)高考改革要求.試題突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點，強化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，加強教考銜接，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效. 從考試后的研究而言，許多老師或考生熱衷于研究高考壓軸題，而對于解答題的前4題（新高考Ⅰ卷有6道解答題），認為普通而沒有價值. 這個就大錯特錯了. 因為在考場上，考生能拿更多分的就是前4題. 下面探討2022年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第19題.

原題如下：

19.（12分）如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2.

（1）求A到平面A1BC的距離;

（2）設(shè)D為A1C的中點，A1A=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

初步分析：考生看到此題“感覺比較熟悉”，圖形很常見，提出的問題也“很平凡”，咋看之下解決此題應(yīng)該沒有什么“難度”，但是“細做”的時候，卻感覺很有韻味，能體現(xiàn)出命題者在立體幾何中，深度考察“直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算”核心素養(yǎng)的命題意圖.

第（1）的分析：傳統(tǒng)的題目，往往是已知棱錐棱柱的頂點等條件，去求棱錐棱柱的體積、面積等，但是此題命題者進行了“逆向命題”，即已知體積、面積，反過來求相關(guān)的線段距離等.

這時需要仔細的閱讀題目，理解題目的每一個條件.

條件1：“直三棱柱”，意味著什么？

即意味著每一條側(cè)棱都垂直于底面！

或者說，該棱柱的體積，可以通過底×側(cè)棱得到.

條件2：該三棱柱的“體積為4”，這個條件意味著什么？

如果糾結(jié)于直棱柱的體積=底×側(cè)棱，會發(fā)現(xiàn)此題的側(cè)棱長和底面三角形的形狀，條件都沒有給出. 所以此路不通.

但如果能明白同底面的棱錐體積=1/3棱柱體積，此題的第3個條件“△A1BC的面積為2”，就有了用武之地.

條件3：“△A1BC的面積為2”，有什么用？和棱柱的體積有什么關(guān)系？

經(jīng)過條件1，2，3的深入解讀，此題即相當(dāng)于知道了三棱錐A1-ABC體積，底面△A1BC的面積，去求“A到平面A1BC的距離”，如下圖2：

所以（1）的解析為：設(shè)A到平面A1BC的距離為d，

因為直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，即可得-ABC=?? ABC-=，

即S△BC·d=×2×d=，

解得d=，所以A到平面A1BC的距離為.

第（2）的分析：條件仍然看起來平淡無奇，但只有在考場上仔細理解了每一個條件的考生，才能想到合適的解決思路，即審清題意非常重要.

條件4：“AA1=AB”，說明了側(cè)面ABB1A1不僅僅是矩形，還是正方形，但剩余的兩個側(cè)面是否是正方形？條件還不足夠，需要思考ABB1A1是正方形，有什么用？

要注意到正方形的兩條對角線垂直.

條件5：關(guān)鍵條件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，這個面面垂直的條件有什么用？

此時，我們腦海中自然想到的是面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.

如圖3，可以想到連接AB1，因為ABB1A1是正方形，所以對角線垂直，這樣就可以得到AB1⊥平面A1BC，從而可以證得BC⊥平面ABB1A1，從而可以得知BB1，AB，BC三條直線兩兩垂直，所以可以建系求解了！

此時還有一個關(guān)鍵的難點，即各頂點的坐標是多少？回頭再看體積和面積的條件，設(shè)元建立方程組，就可以求了！

具體的書寫過程如下：

（2）連接AB1，因為直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，

故AA1B1B為正方形，即AB1⊥A1B.

又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AB1？奐平面ABB1A1，

故AB1⊥平面A1BC，所以AB1⊥BC.

又因為AA1⊥BC，AB1，AA1？奐平面ABB1A1，且AB1∩AB1=A，

故BC⊥平面ABB1A1，則BC⊥AB.

所以BB1，AB，BC三條直線兩兩垂直，

故如圖4，以B為原點建立空間直角坐標系，

設(shè)AA1=AB=a，BC=b，則A1B=a，

由條件可得a×b×a=4，× a×b=2，解得a=2，b=2.

則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），A1C的中點D（1，1，1），

所以=（0，2，0），=（1，1，1），=（2，0，0）.

設(shè)平面ABD的一個法向量為=（x，y，z），

·=0，·=0？圯2y=0，x+y+z=0. 取=（1，0，-1），

同理可求得平面BCD的一個法向量為=（0，1，-1）

所以cos<，>==，

所以二面角A-BD-C的正弦值為.

【反思1】本題考查了平面與平面所成角的空間向量求法、點到面的距離的幾何求法、幾何體的體積公式，考查了空間中的垂直關(guān)系的證明與應(yīng)用，看起來非常平凡的問題，確把高中立體幾何的重要定理都基本考察到位，可謂“平凡而不簡單”.

【反思2】在考場上由于時間有限，考生只能使用自己最熟悉的方法解決問題. 究竟是哪個方法更熟悉，往往具有個人鮮明的特點. 只是，我們在的平時學(xué)習(xí)中，不要滿足于一種思路或者一種解法，因為一題多解能夠讓學(xué)生最大限度的利用題目中的條件，找到不同的通往結(jié)論的路徑，對于解題能力的培養(yǎng)是非常有幫助的. 如果平時只用一種做法，很多時候思路就被局限住了，一旦遇到一道非套路的題目，思維可能就捉襟見肘. 下面介紹不建系的2種方法.

方法2：（作圖找出二面角的平面角）

如圖5，過點A作AE⊥BD于E，連接CE.

依題意得AD=BD=CD=A1C=，

又同解法2得知AD=BC，

所以△ABD ≌△CBD，

所以CE⊥BD，

所以∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，

AE=CE=，AC=2，

所以cos∠AEC===-，

所以二面角A-BD-C的正弦值為.

方法3：（補形法妙解——幾乎不需要計算，可“看出”答案）

如圖6，

同前解法1，先證出BC⊥平面ABB1A1，然后用體積方法計算出BC=2，

把棱柱補形為長方體ABCF-A1B1C1F1，

由條件可知，它是正方體，

因為D是A1C的中點，所以D是正方體的中心，

此時平面ABD，即為平面ABC1F1，

平面BCD，即為平面BCF1A1，

問題轉(zhuǎn)化為求正方體兩個對角面（即平面ABC1F1和平面BCF1A1）的二面角，

由正方體的條件知，B1C⊥平面ABC1F1，AB1⊥平面BCF1A1，

而△ACB1為正三角形，所以正方體兩個對角面（即平面ABC1F1和平面BCF1A1）的二面角為60°，從而所求的正弦值為.

【反思3】方法3的確不需要太多的計算，幾乎可以“看出答案”，但是在考場緊張的時間下，考生有沒有勇氣去選取這個思路？這個方法有沒有學(xué)習(xí)的價值？什么情況下才能想到“補形”的方法？

其實，立體幾何問題，本質(zhì)上就是空間中點的定位. 而在非特殊幾何體中，對于點的定位顯然是很困難的，導(dǎo)致線面關(guān)系相對復(fù)雜，考生往往無法清晰找出線面角與二面角. 既然如此，可以將整個點的系統(tǒng)提取出來，保持其相對位置不變，整體植入到長方體當(dāng)中，就會發(fā)現(xiàn)，原問題中復(fù)雜的線面關(guān)系在新的背景下是如此的清晰、簡單. 也可以這樣說，圖形殘缺不明是制約考生認知的一個關(guān)鍵因素，補全圖形是基于邏輯推理、發(fā)展學(xué)生空間想象能力的重要手段.

【反思4】通過分析此題，對于高考的立體幾何復(fù)習(xí)有什么啟示？

立體幾何知識點的考查覆蓋面廣，且形式多樣，選擇題、填空題和解答題三類題型，一應(yīng)俱全. 在注重考點全覆蓋的基礎(chǔ)上，以考查點、線、面的位置關(guān)系為主線，既重點考查了有關(guān)線面平行與垂直關(guān)系的判斷等必備知識，又通過角度求解、距離計算和面積體積計算等考查考生的關(guān)鍵能力與學(xué)科素養(yǎng)，以中檔試題為主，體現(xiàn)“通過立體幾何的基本圖形，在考查必備知識的基礎(chǔ)上，注重對通性、通法的考查”的命題思路. 考生要加強對知識的理解，重視對概念、性質(zhì)、定理的教學(xué)，也可以選擇數(shù)學(xué)軟件 GeoGebra、幾何畫板等幾何軟件進行輔助教學(xué)，有效培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力.

【本文系廣州市教育研究院2021年度科研課題“信息技術(shù)（Geogebra）與初中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合研究”（課題編號：21BCZSX2107）及廣州市海珠區(qū)教育科研“十三五”規(guī)劃課題“GeoGebra和初中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的研究”（課題立項號：2020C028）階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅