如何在初中數學教學中培養(yǎng)學生的代數推理能力

徐小青

從學科能力的視角來看，數學學科的綜合能力包含邏輯推理能力、歸納總結能力以及推陳出新能力等。在新課程改革的背景下，初中數學課程在內容上經歷了相關變動，對學生的學科綜合能力要求也發(fā)生了一定變化。在代數部分的數學內容學習中，學生除了需要掌握基礎的代數理論知識以外，還要學習如何靈活運用所學代數理論知識，以完成更深層次的代數學習。在以往的初中數學課堂中，部分教師所采用的教學方法偏向于純理論層面的指導，對于學生的拓展能力、理論實踐能力與邏輯推理能力等方面缺乏深入培養(yǎng)，這也影響了學生后續(xù)的自主學習質量。

為使學生在后續(xù)的代數學習中具備較好的邏輯推理能力和理論應用能力，教師應在原有的教學基礎上，轉變教學理念，優(yōu)化教學模式，通過多種教學方式，幫助學生在代數部分的學習中培養(yǎng)較好的推理能力。

一、代數推理能力的概念

國外教育專家在研究中對代數推理能力進行了深入探討，并闡述了代數的三重定義：代數屬于一種廣義算術；代數是研究函數關系與相關變量的一種手段；代數是一種數學語言。根據這三重定義，代數推理能力也具有三重概念：從具體運算中推理、歸納、總結出適用于整個數學系統(tǒng)的計算法則或者運算體系；在某個情境中，能夠根據其中蘊含的數量關系，推理出其中蘊含的函數關系；運用一般形式的數學模型表示歸納所得的函數關系，并對模型的準確性進行評估與驗證。

代數推理相關聯(lián)的數學活動如表1所示：

在代數推理能力的構成上，部分學者認為該能力涉及多種概念集合體，一般情況下體現的思維推理流程包括：建立一般化、常態(tài)化的模式；根據相關規(guī)則內容實施計算；對運算中的抽象概念進行研究；對函數與數量關系進行研究；構建模型。

二、培養(yǎng)學生代數推理能力的作用

1.能夠培養(yǎng)學生的合情推理能力

合情推理能力在解決實際問題或者探究解題思路時，能夠以符合規(guī)律、符合實際情況的視角為學生提供思維上的幫助。推理的過程實質上屬于探索問題解決方法的一種手段。學生在代數性質與數字變化規(guī)律中，往往需要結合所知信息進行猜想、驗證與推導結論，整個過程都考驗學生的思維推理能力，并考查學生能否從合理的猜想角度進行推理驗證。例如，在一元一次方程的學習中，學生在類比推理中，可以把解一元一次方程的方法類推到一元一次不等式，以此在合情推理的過程中，根據方程與不等式之間存在的共性或者差異性，總結二者之間存在的關聯(lián)性。學生在代數推理以及數學理論之間的類推中，可以對其合情推理能力進行相應訓練。

2.能夠培養(yǎng)學生的演繹推理能力

演繹推理能力一般是指根據既有的理論概念或者案例資料等，學生基于規(guī)定的法則或者理論性質進行猜想、推理與實踐探究的能力。整個過程都需要學生在現有的定義或者理論性質的基礎上進行。代數推理的過程也需要學生按照代數運算的一般規(guī)則，在規(guī)定的法則內進行邏輯推導。學生在代數概念與代數運算的學習過程中，也通常需要進行公式定義之間的相互推導，培養(yǎng)代數推理能力。這對其后續(xù)的代數理論知識學習具有重要作用。因此，教師在教學工作中，應采取多種教學方式培養(yǎng)學生的代數推理能力。

三、培養(yǎng)學生代數推理能力的教學策略分析

1.基于概念與性質培養(yǎng)學生的代數推理能力

“數與代數”這一模塊主要涉及代數基礎概念、代數運算性質與運算法則等。這一模塊內容包括分數和分式、數的運算性質和多項式運算性質等，它們之間具有緊密聯(lián)系。對于教師而言，理論內容之間的概念關聯(lián)性可以為學生的代數推理能力培養(yǎng)提供一條有效路徑。

根據數學中的不同對象的屬性進行類比推理，可以為學生的理論學習、數學概念與法則運算等提供推理能力方面的培養(yǎng)路徑，如在關于負指數冪的代數推理問題中，教師可做如下設置：

證明：A+B=0

在該題的解題方法上，關鍵在于如何理解、運用負指數冪的概念。

在代數概念與性質的教學中，教師應帶領學生深入代數的基本性質，通過其中變換的規(guī)律和依據，使學生在相關題型的解題過程中，基于基礎理論概念進行思考。在解題思路上，主要根據負指數冪的基礎性質與分式運算的基本知識進行，這兩方面內容為基礎性的概念知識。教師在培養(yǎng)學生的代數推理能力時，應對基礎概念與理論性質進行深入的講解，在后續(xù)的題型變化中加強對學生的代數推理能力的培養(yǎng)。在數與代數的基本運算中，都可以根據實例操作的方式進行歸納總結，其中的有理數加法、乘法法則等，可以通過歸納推理的方法進行總結。

比如，在有理數乘法法則的歸納中，兩個有理數相乘一般包含以下幾種情況，即：兩個正數相乘；兩個負數相乘；正數與負數相乘；正數與0相乘；負數與0相乘；0乘以0。在處理兩個有理數相乘的過程中，我們可以根據運算結果推理出運算法則，即兩數相乘，同號正，異號負，并把絕對值相乘，任何數與0相乘仍得0。中小學階段尚不要求運用運算律進行證明，初中階段只要求學生掌握推理、歸納的方法即可。在該環(huán)節(jié)的運算推理中，學生往往需要結合兩種或者多種運算概念，在類比推理的過程中嘗試使用歸納推理的方式進行推算和總結。

2.基于探究性數學活動培養(yǎng)學生的代數推理能力

數學活動的創(chuàng)設主要為學生提供相應的理論實踐場所。在當前的教學實踐中，針對學生的代數推理能力培養(yǎng)，部分教師對學生的主體性缺乏相應的重視，并且僅注重理論層面上的推理能力培養(yǎng)。代數推理除了涉及理論部分的知識以外，還涉及理論實踐層面的規(guī)律總結和運算推理等。在教學工作中，教師應注重學生的主體性，在結合代數理論性質與代數推理能力培養(yǎng)的基礎上，通過多樣化的數學活動創(chuàng)設，為學生提供較好的培養(yǎng)推理能力的環(huán)境。

探究性數學活動的展開能夠為學生提供多種思維路徑，如預測、猜想、聯(lián)想、驗證與歸納總結等。與以往的教學模式相比，數學活動的創(chuàng)設可以在發(fā)揮學生主體性的基礎上，為其提供豐富的推理能力鍛煉途徑。教師在數學活動的創(chuàng)設中，還應考慮學生的整體學習情況，通過引入代數運算的專題內容與思維訓練內容，使學生站在代數運算的性質研究的角度，通過猜想、驗證或者親自實踐的方式去驗證。如表2所示。

教師在引入某月日歷信息的過程中，設置相應的數學問題，使學生結合日歷信息進行思考、討論、驗證與總結歸納。

教師可設置如下問題：

日歷中19日之前代表星期三、星期四、星期五的數字之和與“10”存在哪些關系？

這個關系在其他數字結構中是否成立？代數應該如何表示？

這個關系在其他月份的日歷中成立嗎？原因或者根據是什么？

這些數字還具有哪些關系？能否用代數進行表示？

在設置相關問題的基礎上，教師可引導學生觀察表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的數字，并從直覺上嘗試說明它們之間具有何種聯(lián)系。隨后，在學生進行實踐探究的基礎上，教師可提供相應的解決方法指導，通過數字之間的關系探究并根據變化規(guī)律猜想等，引導學生運用代數運算的相關方法進行驗證與表示。如表3所示。

從表3可以看出，若用a表示表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的中間數字，9個數字的和=9a，那么9個數字可以依次以a為因素進行表示。

在后續(xù)的學生代數推理能力培養(yǎng)過程中，教師可引入有關現實生產生活的問題，引導學生以代數運算的思維進行猜想、驗證與歸納總結，在此基礎上培養(yǎng)學生的推理能力。

3.基于理論應用培養(yǎng)學生的代數推理能力

數形結合模式一般由理論概念與數學圖形當作集合體，學生在學習時除了需要從理論概念出發(fā)以外，還要學會以幾何概念解釋理論部分的內容或者進行實際應用。

初中階段的代數運算在理論概念與結構上難度為中等，教師在培養(yǎng)學生代數運算能力的過程中，可通過數形結合的方式，使學生在思維推理、運算猜想和后續(xù)的總結歸納階段，運用多種數學工具解決實際問題，并在解決問題的過程中鍛煉代數推理能力。

比如，實數a、b在數軸上的位置關系如圖1所示，試比較a、b的大小。

要使學生深刻理解“正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小”，教師應帶領學生結合理論與圖形進行推理，可按照“因為……所以……”的思維模式，使學生在解題中嘗試結合原理說明答案的來源和依據。

解題步驟為：根據數軸中a、b的位置可判斷出，因為a為負數，小于零，所以a在該環(huán)節(jié)的教學中，重點在于如何培養(yǎng)學生熟練應用所學知識的能力。數學課涉及的題型較多，對學生的審題能力、理論應用能力和判斷能力等有較高要求。在對學生代數運算思維的培養(yǎng)中，教師應結合不同題型，使學生根據題型的特點思考如何運用所學知識。

四、結語

綜上，代數部分的數學理論內容對學生的思維推理能力具有一定要求，教師應創(chuàng)新教學方式，幫助學生深入學習代數理論知識，重視對學生的學科綜合素養(yǎng)培育，確保學生在學習中逐步提高思維推理能力。

（作者單位：江蘇省南京東山外國語學校）

責任編輯：劉衛(wèi)紅