把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?/h1>
2022-05-30 10:48:04趙維坤
教育研究與評論 2022年9期 關(guān)鍵詞：解題教學(xué)
摘要：教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，從而真正減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔。基于“熟悉了，簡單了，想通了，直觀了，就容易”的想法。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀椎淖龇ㄓ校焊淖兏拍疃x的表述;建立更簡易、更有力的方法，提供解題的“中巧”。教育數(shù)學(xué)40多年的研究在五個方面有重要進展：在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，進而發(fā)展出消點法;發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識基礎(chǔ)上的生長點;針對高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法;解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴};探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，開發(fā)了更智能化的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件——網(wǎng)絡(luò)畫板，使得數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動有趣。
關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué);解題教學(xué);機器證明;網(wǎng)絡(luò)畫板
我國著名數(shù)學(xué)家、計算機科學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家，中國科學(xué)院院士張景中長期關(guān)注數(shù)學(xué)教育（將其作為數(shù)學(xué)科普工作的重要組成部分），提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實踐研究。近期，趙維坤老師對張景中院士進行了訪談，請他就有關(guān)話題發(fā)表看法。本次訪談得到了張景中團隊堯剛老師、陳如燦老師、李靜老師等的支持，在此謹表謝意。
一、 從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)
趙維坤：張院士，您好！非常感謝您接受我的采訪。作為數(shù)學(xué)家，您在科研之外，為什么關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育？
張景中：我感到，關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育不是科研之外的事情。研究數(shù)學(xué)教育會遇到長期以來沒有解決甚至被認為不能解決的問題，需要長時間地研究思考。如幾何解題簡便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數(shù)學(xué)家思考過而沒有解決的問題。關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育是難度很大的科研活動。做這樣的研究，往往幾十年才能前進一步，但這一步就很有意義。由于無法預(yù)期其進展，所以我沒有將其作為項目或課題提出，而是將其作為自己選定的長期研究目標。
趙維坤：在數(shù)學(xué)教育方面，您最重要的貢獻是提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實踐研究。您致力于改造數(shù)學(xué)，提出更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)的新概念、新方法、新思路。那么，您提出教育數(shù)學(xué)的思想，是針對數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的哪些問題呢？希望起到什么樣的作用呢？
張景中：數(shù)學(xué)教育中，“教什么”往往比“怎么教”更重要。如果內(nèi)容不當，怎么教都不行。教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是長期以來被數(shù)學(xué)教育研究忽視的重要問題，即教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，亦即張奠宙先生指出的“去數(shù)學(xué)化”問題。1989年，我在15年思考探索和教學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，提出了教育數(shù)學(xué)的概念。所謂“教育數(shù)學(xué)”，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)，使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。簡單而通俗地說，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住Ｈ绻虒W(xué)內(nèi)容得到優(yōu)化了，概念變得容易理解了，解題方法改進得更好用了，再加上生動直觀的信息技術(shù)的動態(tài)演示，各種教學(xué)方法都會有更好的效果。
趙維坤：確實，很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，都有過痛苦的經(jīng)歷，都覺得數(shù)學(xué)很難，尤其是在做不出一些題目之后。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝@真的可能是數(shù)學(xué)教育中最重要的問題了，那么，基本的想法是什么？
張景中：數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年就任倫敦數(shù)學(xué)會主席時的演說中說：“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一?！薄斑^去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”
把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，基本的想法是：熟悉了就容易，盡可能把要學(xué)的新知識和學(xué)生已經(jīng)熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新;簡單了就容易，要尋求更簡單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑;想通了就容易，盡量把前后左右的知識串通起來，把道理說清楚;直觀了就容易，數(shù)形結(jié)合，動靜結(jié)合，充分利用教育信息技術(shù)提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學(xué)實驗中變抽象為具體，體驗數(shù)學(xué)之美。
為此，就要做切實的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)。基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，講的是最普適的數(shù)學(xué)事實。大道至簡，最一般的道理應(yīng)當是易于表達和理解的。因此，有可能讓“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。
趙維坤：說到基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，很多人都覺得它已經(jīng)十分成熟了，很難再變得更容易。現(xiàn)在我國的數(shù)學(xué)課程改革，乃至世界各地的數(shù)學(xué)課程改革，似乎都是通過刪減內(nèi)容、降低要求來使其變?nèi)菀?，這一點在初中的平面幾何中表現(xiàn)得特別明顯。但您卻說：“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀状笥锌蔀??！蹦敲矗窃鯓幼龅哪兀?/p>
張景中：說到對數(shù)學(xué)的改造，其實要回到一個源頭性的話題，也就是數(shù)學(xué)的起源。數(shù)學(xué)最初的研究并不是為了孩子、為了教育，而是為了解決工程、技術(shù)、科學(xué)等方面的問題。所以，數(shù)學(xué)不會自然地適用于教學(xué)。而要讓數(shù)學(xué)更適合孩子學(xué)習(xí)，就必須對數(shù)學(xué)進行加工和改造，讓它變得更容易理解和掌握。這包括改變概念定義的表述，以及建立更簡易、更有力的方法。
定義是知識學(xué)習(xí)的門檻，定義如果很難、很煩瑣，學(xué)生繼續(xù)學(xué)下去就會感到吃力。比如三角函數(shù)，學(xué)生普遍覺得難學(xué)。因為傳統(tǒng)的教材中，“三角函數(shù)”部分的內(nèi)容一下子就出現(xiàn)了sin、cos、tan、cot四個概念和有關(guān)公式。這些內(nèi)容因為涉及相似三角形的知識，到九年級才引進;學(xué)了之后還沒有得到足夠的應(yīng)用鞏固，初中課程就結(jié)束了。如果改變定義，在七年級甚至小學(xué)就能教三角函數(shù)。也就是說，這些關(guān)于三角函數(shù)的定義一開始就把門檻定得較高，需要較多的準備知識，這樣學(xué)起來就難了。20世紀70年代，我在新疆教中學(xué)數(shù)學(xué)時，用小學(xué)的面積知識引進正弦概念，學(xué)生在七、八年級就能學(xué);之后把余角的正弦叫余弦，把三角、代數(shù)、幾何相結(jié)合，學(xué)生學(xué)起來容易多了。
另外，就是簡化方法。幾何的難點可以通過創(chuàng)新的方法進行轉(zhuǎn)化。例如基于小學(xué)知識總結(jié)出的“三共定理”：共高定理、共角定理、共邊定理。這些定理易學(xué)好用，使大量幾何題變?nèi)菀琢恕葌鹘y(tǒng)的歐式幾何特別重視的全等三角形這一工具易學(xué)好用。其中，前兩個是人們熟知的古老命題，但沒有得到重視，共邊定理則是新的發(fā)現(xiàn)。一些復(fù)雜的幾何題運用共邊定理就能迎刃而解。但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年，應(yīng)周咸青博士邀請到美國合作研究幾何定理的機器證明，我提出用面積法。他問：如何把面積法轉(zhuǎn)化為計算機可執(zhí)行的算法呢？夜里，我想了一個例子，即用面積法機械地證明平行四邊形對角線相互平分，并由此認識到，原來共邊定理的作用在于消去直線的交點。幾何解題的傳統(tǒng)思路是作輔助圖形，作不出來就設(shè)法添加?xùn)|西，現(xiàn)在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡化;最后不能再簡化了，就水落石出。這樣，數(shù)學(xué)教育和人工智能就密切聯(lián)系起來了。在2021年第13屆幾何自動推理國際會議上，沃爾夫勒姆公司的一個報告詳細介紹了他們實現(xiàn)面積消點法的情形，說明這個領(lǐng)域中國人30年前的工作，仍然處于前沿。
趙維坤：您對教育數(shù)學(xué)的具體研究和教學(xué)實踐已歷經(jīng)40余年，這么多年的研究肯定有很多重要進展，您能不能簡要介紹一下這方面的進展？
張景中：回顧40多年的研究，教育數(shù)學(xué)主要在五個方面有了重要進展。
一是在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，這一基于小學(xué)知識得出的方法，把大量幾何題變?nèi)菀琢恕６?，基于我國幾位學(xué)者的共同努力，面積法已發(fā)展成為幾何定理機器證明的消點法，成為國內(nèi)外奧數(shù)培訓(xùn)的內(nèi)容，還被編入一些高校師范類專業(yè)的教材。
二是發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識基礎(chǔ)上的生長點，提出了用面積關(guān)系來定義正弦，實現(xiàn)了國際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在40多年前提出而國外未能實現(xiàn)的“提前兩年學(xué)正弦”，讓學(xué)生能夠在義務(wù)教育階段掌握三角形的作圖推理與計算。這項研究始于1974年，成果發(fā)表于1980年，并在2012年正式進入全班級、全學(xué)段教學(xué)實踐。廣州市海珠實驗中學(xué)的兩個實驗班中考數(shù)學(xué)優(yōu)秀率達到百分之百，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，負擔減輕，成績上升，入學(xué)時數(shù)學(xué)成績中下的學(xué)生畢業(yè)時也達到了優(yōu)秀。
三是針對高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法，消解了師生關(guān)于向量解幾何題不如傳統(tǒng)方法簡便的困難。由此聯(lián)系到數(shù)學(xué)與哲學(xué)大師萊布尼茲曾提出的“點如何相加”的問題，我提出了點幾何的綱要，用點的代數(shù)關(guān)系直接表達幾何性質(zhì)，用代數(shù)運算表達幾何推理。我和華中師范大學(xué)彭翕成博士合著的《點幾何解題》一書，引起不少師生的興趣。點幾何有助于串聯(lián)坐標、向量和復(fù)數(shù)，目前有待進入教學(xué)實踐。
四是解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴}。我曾經(jīng)教過微積分，做過把極限概念和實數(shù)理論變?nèi)菀椎呐?，提出了較容易理解的定義極限的方法，發(fā)現(xiàn)了能簡化實數(shù)理論的連續(xù)歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達方法，并且有成功的教學(xué)實踐案例。近幾年，我在林群院士的帶動激勵下，在這個方向開展合作研究，獲得了新的進展。我們發(fā)現(xiàn)，可以嚴謹?shù)叵纫胛⒎e分再講極限，而且可以在學(xué)習(xí)微積分之前系統(tǒng)而簡捷地解決通常認為用微積分才能解決的許多問題。我和林群院士合作出版了《減肥微積分》一書，所提出的新的微積分邏輯體系已經(jīng)通過了Coq機器檢驗，使得今后開展這方面的工作更有信心。目前也有待進一步開展教學(xué)實踐。
五是探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動有趣。我們學(xué)習(xí)了美國的動態(tài)幾何軟件——幾何畫板，經(jīng)過幾年努力，推出了更為智能化的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件——超級畫板，具有“寫畫測算編演推算”多種功能。2015年以來，我組建專業(yè)的團隊，將超級畫板進一步發(fā)展成為基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)畫板，幫助師生更輕松地進行數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)實驗。目前，網(wǎng)絡(luò)畫板注冊用戶已超過200萬，其中主要是數(shù)學(xué)教師。網(wǎng)絡(luò)畫板支持多種終端，無須安裝，支持其他教學(xué)系統(tǒng)共享，支持資源共建共享，2020年獲四川省年度科技進步獎二等獎。
趙維坤：感謝您這么系統(tǒng)地梳理和總結(jié)，讓我們對話題做一點發(fā)散和聯(lián)系。您說過“數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放”，指的是“數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)”，但是，多數(shù)人可能感受不深。結(jié)合您的教育數(shù)學(xué)思想，我覺得“解放”也可從減輕學(xué)生負擔的角度理解。那么，廣大的一線教師應(yīng)該如何從中受到啟發(fā)，真正尋求到更有效的減負路徑？
張景中：減輕負擔是教育的一個重要議題。對數(shù)學(xué)教育來說，減輕負擔最有效、最根本的一個方法，就是把數(shù)學(xué)本身變得更容易學(xué)。本來要花很多時間才能學(xué)會的內(nèi)容，現(xiàn)在花很少時間就能學(xué)會。這就真正減輕學(xué)習(xí)負擔了。
長期以來，我們在減負方面都存在一個誤區(qū)，認為減負就是刪繁就簡。我認為，這不是真正的減負。繁難的知識可能也非常重要，不能簡單刪掉或死記硬背下來。在教育數(shù)學(xué)中，我提出化繁為簡的理念，具體來說，就是提出更簡潔的概念表述方式和解決問題的方法。
我們開展教育數(shù)學(xué)實驗有十多年了，發(fā)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)本身是可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔的。比如，一道中學(xué)數(shù)學(xué)題讓學(xué)生學(xué)（解）起來比較難，因為怕加重學(xué)生的負擔，就被列入“負面清單”了。可是，如果研究出新的方法，用小學(xué)的數(shù)學(xué)知識就可以輕松解決，那就不僅減輕了負擔，而且能提高能力。也就是說，教育數(shù)學(xué)使學(xué)生本來不會的內(nèi)容現(xiàn)在會了，本來要花很多時間才能學(xué)會的內(nèi)容現(xiàn)在花很少時間就能學(xué)會。這就真正減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔。回顧40多年教育數(shù)學(xué)走過的路，這也是在對數(shù)學(xué)本身進行加工、改造和研究，即改造數(shù)學(xué)知識體系，研究更優(yōu)的解決方法，從數(shù)學(xué)里尋求更有效的減負增效的途徑。
趙維坤：我想到，吳文俊先生說過“數(shù)學(xué)是笨人學(xué)的”，陳省身先生也表達過類似的意思。這是不是說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無捷徑？和您的教育數(shù)學(xué)思想有矛盾嗎？這句話應(yīng)該如何理解呢？
張景中：我來說說我對這句話的理解。一方面，正如吳文俊先生所說：“做研究不要自以為聰明，總是想些怪招，要實事求是，踏踏實實。功夫不到，哪里會有什么靈感？”這是指學(xué)數(shù)學(xué)需要縝密的思維和嚴謹?shù)耐评淼瓤雌饋怼安惶罱j(luò)”的能力，而且，不畏困難的執(zhí)著精神有時也會給人比較“笨”的感覺。另一方面，有些領(lǐng)域要求某種天賦，例如歌唱、運動，數(shù)學(xué)則不然。有人問陳省身先生：為什么選擇研究數(shù)學(xué)？他說：我動手能力差，做物理、化學(xué)實驗都不行，只好做數(shù)學(xué)了。被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯說：任何一個正常人，只要像我這樣持續(xù)地思考，都能得出同樣的結(jié)論。我理解的吳先生的意思和陳先生、高斯的說法是一致的。
同時，數(shù)學(xué)可以變簡單。最經(jīng)典、最重要的事往往是最簡單的。“數(shù)學(xué)本身確實太難了”，關(guān)鍵不是教學(xué)方法的問題，而是從改造數(shù)學(xué)本身入手。研究如何把數(shù)學(xué)變簡單，需要老老實實地做、腳踏實地地做。當然，也需要一些方法、路徑，或者說，更重要的是一些原則、方向。那就是，觀點高一些，往問題的本質(zhì)上想;思想解放一些，不要被成見、套路束縛住;尤其不要把簡單的問題復(fù)雜化，而要反其道而行。這是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙。對數(shù)學(xué)家的已有成果，進行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，使之有更平易近人的數(shù)學(xué)概念、更簡單的邏輯結(jié)構(gòu)、更高效的解題方法，使之成為新的“經(jīng)典”的教程，使之更適宜于教與學(xué)，其實就是教育數(shù)學(xué)在做的事。
趙維坤：您的思考對我很有啟發(fā)，非常感謝！另外，我在學(xué)習(xí)您的教育數(shù)學(xué)思想時感覺到，“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住弊罱K指向“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住薄Ｎ蚁?，這不難理解：數(shù)學(xué)解題難是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難最直接、最根本的體現(xiàn)。對于數(shù)學(xué)解題，您在《走進教育數(shù)學(xué)》叢書的總序中提出過“中巧說”。也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執(zhí)行的方法，即算法。這一想法給我一種“恰到好處”的感覺：觀點較高，看透問題本質(zhì)，但不是大而無當，而是針對具體問題。您能再解釋解釋這一想法，以給一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)更多的啟示嗎？
張景中：學(xué)數(shù)學(xué)當然要解題。而數(shù)學(xué)難學(xué)，特別是幾何難學(xué)，主要也是學(xué)了知識之后仍不會解題。年復(fù)一年的考試不斷產(chǎn)生花樣翻新的題目，使學(xué)生接觸到越來越多的自己不會的題目。如何教會學(xué)生解題呢？
一種方法是收集大量問題，分成類型，傳授巧法和妙招，以備套用。我國近年出版的大量數(shù)學(xué)讀物，屬于此類。這樣做教師省心，應(yīng)付考試也有短期效果，所以頗受歡迎，流行不衰。
一種方法是強調(diào)基本知識和技能，關(guān)注一般的解題思考原則。這是數(shù)學(xué)家G.波利亞在他的一系列著作中所提倡的，也是許多數(shù)學(xué)家所贊成的?？上吆凸眩鄶?shù)教師和學(xué)生難以掌握，實效不大。
我曾在新加坡和項武義教授討論過這個問題。他把前一種方法叫作小巧，后一種方法叫作大巧。他主張教學(xué)生大巧，提倡靈活，“運用之妙，存乎一心”。但我以為，小巧一題一法，固不應(yīng)提倡;大巧法無定法，也確實太難。吳文俊先生也指出過：“不能用數(shù)學(xué)家的要求來指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)?！币髮W(xué)生掌握大巧，是想讓他們學(xué)會數(shù)學(xué)家的思維方法。這對絕大多數(shù)學(xué)生而言，不是幾年內(nèi)能做到的。而事實上，即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了大巧。
我想，出路在于提倡“中巧”。所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式。它不像小巧那么呆板瑣碎，又不像大巧那么法無定法。代數(shù)里的解方程、列方程解題，分析里的求導(dǎo)數(shù)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹，還有數(shù)學(xué)歸納法，均屬中巧。長期以來，幾何難學(xué)是因為幾何里只有小巧、大巧，而沒有中巧。我們則用面積法和消點法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧，使初等幾何方法從“四則運算雜題”的水平提高到代數(shù)方程的水平。
中巧要靠數(shù)學(xué)家研究創(chuàng)造出來，才能編入教材，教給學(xué)生。學(xué)生主要是學(xué)，而不是創(chuàng)，最多是在教師的指導(dǎo)下創(chuàng)（也就是弗賴登塔爾所說的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”）。在學(xué)習(xí)中巧的過程中，體驗數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧——至于小巧，學(xué)一點也好，但不足為法。小巧是零食，大巧是養(yǎng)生之道，中巧才是主食正餐。教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧。
二、 從計算機解幾何題，到信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)
趙維坤：最后這個比喻非常生動貼切！我想，當下一線教師，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，面對應(yīng)試的壓力以及核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，尤其需要中巧這樣的指導(dǎo)思想?，F(xiàn)在，讓我們專門來談一談您教育數(shù)學(xué)思想有關(guān)信息技術(shù)的方面，這也是您同時作為計算機科學(xué)家研究的重要方向。您把多年來在教育數(shù)學(xué)研究中發(fā)展的幾何新方法用于機器證明，并提出了消點思想，創(chuàng)建了幾何定理可讀證明自動生成的原理和方法。請您簡單介紹一下幾何定理的機器證明。
張景中：簡單地說，機器證明就是用計算機來機械化地判定數(shù)學(xué)命題的真假，判定命題為真就是給出了證明。其實，機械化的思想早就蘊含在中國古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用中了。幾何問題變化多，法無定法，技巧性強，如何找到機械化處理方法是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。吳文俊先生創(chuàng)造性地提出“吳方法”，將幾何證明問題轉(zhuǎn)換為多項式方程組的代數(shù)問題，對一大類等式型問題找到了高效率的判定算法。“吳方法”的成功讓這個領(lǐng)域活躍起來，極大地推動了幾何自動推理的研究。但是，代數(shù)法也有缺點，那就是計算過程比較復(fù)雜，人工很難檢驗其正確性并理解其幾何意義。能不能讓計算機生成較為直觀、簡單而容易理解、檢驗的解題過程，即所謂“可讀的”解答？當時，國內(nèi)外研究這個領(lǐng)域的專家認為是不可能的。
后來，我們將面積法改造成機械化算法消點法，并進一步發(fā)展成“幾何不變量”方法，對相當大的一類幾何問題可以用機器生成“可讀的”解答。該方法可以推廣拓展至非歐幾何，獲得了許多新定理，被國際同行譽為突破性的成果。
近年來，我們提出了“點幾何”，這是一種以“點”為基本運算對象的新的幾何理論體系，很多常見的幾何命題用點幾何表達，往往能得到僅有一兩行長度的簡單證明。彭翕成博士基于此發(fā)展了點幾何恒等式機械化算法，取得了良好的效果。
趙維坤：那么，機器證明會給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來哪些改變呢？
張景中：這方面的工作僅是開始，需要更多的研究和教學(xué)實踐。初步能想到的是，把機器證明的成果用于教育信息化，有助于減輕教師的負擔，提高學(xué)生的興趣。例如，用超級畫板或網(wǎng)絡(luò)畫板，在屏幕上畫一個任意三角形和三條高線，讓計算機推一推這個圖形里有什么幾何性質(zhì)。幾秒鐘后，計算機會顯示出圖中有幾百條幾何性質(zhì)，例如四條線段的比例式就能列出上百條。分析討論一下這些比例式是如何推出來的，可以分成幾類，涉及哪些幾何知識，就是很有趣的教學(xué)活動。如果沒有自動推理軟件，要組織這樣的教學(xué)活動，教師要花的時間和精力要多得多?；谧詣油评?，還可以為研究者、教師和數(shù)學(xué)愛好者提供智能性幾何解題電子詞典，對兩千多年來的初等幾何做一個相對完美的總結(jié)。這一工作工程浩大，但如果做得好，將是對科學(xué)文化事業(yè)的重要貢獻。在不久的將來，機器推理可以使數(shù)學(xué)教學(xué)場景更加智能化，如輔助教師出題、批改作業(yè)試卷等，將教師從耗時費力的機械性工作中解脫出來，從而可以更好地關(guān)注并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
00趙維坤：您的介紹讓我們看到了一個更加美好、值得期待的未來！現(xiàn)在是信息技術(shù)時代，信息技術(shù)的應(yīng)用不斷地滲透到各個領(lǐng)域。新課改以來，各版本的數(shù)學(xué)課程標準都專門提到了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》又指出：“重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動作用，改進教學(xué)方式，促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變?！边@就要求教師充分利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望。您能不能就這個話題給予一些指導(dǎo)？
張景中：教師應(yīng)當利用信息技術(shù)深度挖掘課程內(nèi)容的精神實質(zhì)，課程內(nèi)容中蘊含的思想方法、探究性素材，課程內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系等;利用信息技術(shù)對文本、圖像、聲音、動畫等進行綜合處理;注重信息技術(shù)與教學(xué)過程的深度融合，如組織好活動、落實好評價等。最終，達到豐富教學(xué)場景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望的目的。
趙維坤：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)”，這是新課標的新要求。而網(wǎng)絡(luò)畫板是您創(chuàng)立的可廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)專用軟件。請您談?wù)勚行W(xué)教師應(yīng)該如何利用網(wǎng)絡(luò)畫板開展數(shù)學(xué)實驗。
張景中：中小學(xué)教師在教學(xué)實踐中用幾次網(wǎng)絡(luò)畫板，就會親身體驗到這類動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的價值。動態(tài)幾何圖形有兩個基本特點：圖中的某些對象可以用鼠標拖動或用參數(shù)的變化直接驅(qū)動;其他沒有被拖動或直接驅(qū)動的對象會自動調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。學(xué)生可以利用其動態(tài)作圖、動態(tài)計算、動態(tài)測量以及編程功能來幫助自己理解概念，啟迪思路，探索疑問，檢驗答案，用直觀的動態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理公式。例如，自己定義函數(shù)并讓計算機執(zhí)行，有助于理解函數(shù)概念;通過作圖測量、觀察差商趨于微商（導(dǎo)數(shù)）的極限過程;等等。有些歷史上著名的實驗，例如蒲豐投針實驗，做起來很花時間，可以用計算機模擬;有些數(shù)學(xué)事實，例如正弦級數(shù)收斂于矩形波，很難想象，可以作出動態(tài)圖像來觀察?；趧討B(tài)幾何的平臺，能畫、能算、能測、能動、能變，是實驗探索得心應(yīng)手的環(huán)境。除此之外，這樣的平臺，還可以用來模擬探索物理過程和其他有趣的自然現(xiàn)象，例如單擺、布朗運動、多普勒效應(yīng)、混沌與分形等。
網(wǎng)絡(luò)畫板的特點是：（1） 上網(wǎng)就能用，無須下載安裝;（2） 適應(yīng)于Windows、蘋果、安卓多種系統(tǒng)和手機、平板、電腦各種終端;（3） 支持多種資源形態(tài)，可無縫嵌入Microsoft Office、WPS，離線斷網(wǎng)也能用;（4） 支持豐富的教學(xué)模式，適應(yīng)多樣化的教學(xué)環(huán)境;（5） 是開放性的平臺，可以與多種教學(xué)系統(tǒng)有機整合，目前已經(jīng)融入希沃、科大訊飛、天喻信息、騰訊教育、聯(lián)想、立思辰、華漁、歐帝等多家教育服務(wù)產(chǎn)品;（6） 匯聚豐富資源，共建共享統(tǒng)一管理，按教學(xué)需求組織，用起來很方便。幾年來，不少老師用網(wǎng)絡(luò)畫板創(chuàng)作了大量教學(xué)資源，供選擇使用。例如，進入網(wǎng)絡(luò)畫板網(wǎng)站可以看到，一位老師的原創(chuàng)作品已有6000多條，100條以上的有400多位老師，50條以上的有1186位老師，等等。這些作品還可以按區(qū)域、學(xué)校分類查閱，對于了解各地各校數(shù)學(xué)教學(xué)情形，相互交流，很有參考價值。
趙維坤：感謝您這么詳細的介紹！最后，想問兩個比較大的問題。作為數(shù)學(xué)家，同時也是計算機科學(xué)家，在您看來，數(shù)學(xué)在增強國家科技創(chuàng)新能力方面有著怎樣的作用？
張景中：增強國家數(shù)學(xué)實力，要重視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究，重視數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要前提。學(xué)好數(shù)學(xué)對于培養(yǎng)探索精神、思維的嚴密性、求真的執(zhí)著精神等都有重要意義?？萍紕?chuàng)新和數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切?？萍紕?chuàng)新研究的方法主要表現(xiàn)為邏輯推理、實驗觀察和計算，而這三種方法都需要數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)知識做支撐;實驗以觀察和總結(jié)自然規(guī)律為特征，涉及數(shù)據(jù)的記錄和分析，也不能沒有數(shù)學(xué)知識;至于計算，更是數(shù)學(xué)的領(lǐng)地。簡而言之，數(shù)學(xué)為科學(xué)探究提供了簡潔的語言、分析的方法與計算的工具。沒有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，想要擁有良好的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神是不可能的。
趙維坤：在數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)方面，您有什么建言？
張景中：我想，思想要再解放一些，教學(xué)方法和教材要更多地鼓勵創(chuàng)新和多樣化;要關(guān)注不同能力層次的孩子，鼓勵課外閱讀、數(shù)學(xué)編程，為基礎(chǔ)不同的學(xué)生提供多樣化的學(xué)習(xí)機會。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要完善和加強的方面，最重要的是教材的精煉提升，以及教育信息技術(shù)的普及深入，這也是教育數(shù)學(xué)努力的方向。（張景中，廣州大學(xué)計算科技研究院名譽院長。中國科學(xué)院院士，全國優(yōu)秀教師。主要從事機器證明、距離幾何、動力系統(tǒng)及教育數(shù)學(xué)方面的研究。2021年，被中國計算機學(xué)會（CCF）獎勵委員會授予“CCF終身成就獎”。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實驗學(xué)校，特級教師，正高級教師。中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會理事、學(xué)術(shù)委員。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材核心編寫人員。曾獲國家教學(xué)成果獎二等獎，江蘇省教學(xué)成果獎特等獎。）
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摘要：教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，從而真正減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔。基于“熟悉了，簡單了，想通了，直觀了，就容易”的想法。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀椎淖龇ㄓ校焊淖兏拍疃x的表述;建立更簡易、更有力的方法，提供解題的“中巧”。教育數(shù)學(xué)40多年的研究在五個方面有重要進展：在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，進而發(fā)展出消點法;發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識基礎(chǔ)上的生長點;針對高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法;解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴};探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，開發(fā)了更智能化的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件——網(wǎng)絡(luò)畫板，使得數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動有趣。
關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué);解題教學(xué);機器證明;網(wǎng)絡(luò)畫板
我國著名數(shù)學(xué)家、計算機科學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家，中國科學(xué)院院士張景中長期關(guān)注數(shù)學(xué)教育（將其作為數(shù)學(xué)科普工作的重要組成部分），提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實踐研究。近期，趙維坤老師對張景中院士進行了訪談，請他就有關(guān)話題發(fā)表看法。本次訪談得到了張景中團隊堯剛老師、陳如燦老師、李靜老師等的支持，在此謹表謝意。
一、 從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)
趙維坤：張院士，您好！非常感謝您接受我的采訪。作為數(shù)學(xué)家，您在科研之外，為什么關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育？
張景中：我感到，關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育不是科研之外的事情。研究數(shù)學(xué)教育會遇到長期以來沒有解決甚至被認為不能解決的問題，需要長時間地研究思考。如幾何解題簡便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數(shù)學(xué)家思考過而沒有解決的問題。關(guān)注和推動數(shù)學(xué)教育是難度很大的科研活動。做這樣的研究，往往幾十年才能前進一步，但這一步就很有意義。由于無法預(yù)期其進展，所以我沒有將其作為項目或課題提出，而是將其作為自己選定的長期研究目標。
趙維坤：在數(shù)學(xué)教育方面，您最重要的貢獻是提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實踐研究。您致力于改造數(shù)學(xué)，提出更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)的新概念、新方法、新思路。那么，您提出教育數(shù)學(xué)的思想，是針對數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的哪些問題呢？希望起到什么樣的作用呢？
張景中：數(shù)學(xué)教育中，“教什么”往往比“怎么教”更重要。如果內(nèi)容不當，怎么教都不行。教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是長期以來被數(shù)學(xué)教育研究忽視的重要問題，即教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，亦即張奠宙先生指出的“去數(shù)學(xué)化”問題。1989年，我在15年思考探索和教學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，提出了教育數(shù)學(xué)的概念。所謂“教育數(shù)學(xué)”，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)，使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。簡單而通俗地說，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住Ｈ绻虒W(xué)內(nèi)容得到優(yōu)化了，概念變得容易理解了，解題方法改進得更好用了，再加上生動直觀的信息技術(shù)的動態(tài)演示，各種教學(xué)方法都會有更好的效果。
趙維坤：確實，很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，都有過痛苦的經(jīng)歷，都覺得數(shù)學(xué)很難，尤其是在做不出一些題目之后。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝@真的可能是數(shù)學(xué)教育中最重要的問題了，那么，基本的想法是什么？
張景中：數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年就任倫敦數(shù)學(xué)會主席時的演說中說：“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一?！薄斑^去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”
把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，基本的想法是：熟悉了就容易，盡可能把要學(xué)的新知識和學(xué)生已經(jīng)熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新;簡單了就容易，要尋求更簡單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑;想通了就容易，盡量把前后左右的知識串通起來，把道理說清楚;直觀了就容易，數(shù)形結(jié)合，動靜結(jié)合，充分利用教育信息技術(shù)提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學(xué)實驗中變抽象為具體，體驗數(shù)學(xué)之美。
為此，就要做切實的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)。基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，講的是最普適的數(shù)學(xué)事實。大道至簡，最一般的道理應(yīng)當是易于表達和理解的。因此，有可能讓“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。
趙維坤：說到基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，很多人都覺得它已經(jīng)十分成熟了，很難再變得更容易。現(xiàn)在我國的數(shù)學(xué)課程改革，乃至世界各地的數(shù)學(xué)課程改革，似乎都是通過刪減內(nèi)容、降低要求來使其變?nèi)菀?，這一點在初中的平面幾何中表現(xiàn)得特別明顯。但您卻說：“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀状笥锌蔀??！蹦敲矗窃鯓幼龅哪兀?/p>
張景中：說到對數(shù)學(xué)的改造，其實要回到一個源頭性的話題，也就是數(shù)學(xué)的起源。數(shù)學(xué)最初的研究并不是為了孩子、為了教育，而是為了解決工程、技術(shù)、科學(xué)等方面的問題。所以，數(shù)學(xué)不會自然地適用于教學(xué)。而要讓數(shù)學(xué)更適合孩子學(xué)習(xí)，就必須對數(shù)學(xué)進行加工和改造，讓它變得更容易理解和掌握。這包括改變概念定義的表述，以及建立更簡易、更有力的方法。
定義是知識學(xué)習(xí)的門檻，定義如果很難、很煩瑣，學(xué)生繼續(xù)學(xué)下去就會感到吃力。比如三角函數(shù)，學(xué)生普遍覺得難學(xué)。因為傳統(tǒng)的教材中，“三角函數(shù)”部分的內(nèi)容一下子就出現(xiàn)了sin、cos、tan、cot四個概念和有關(guān)公式。這些內(nèi)容因為涉及相似三角形的知識，到九年級才引進;學(xué)了之后還沒有得到足夠的應(yīng)用鞏固，初中課程就結(jié)束了。如果改變定義，在七年級甚至小學(xué)就能教三角函數(shù)。也就是說，這些關(guān)于三角函數(shù)的定義一開始就把門檻定得較高，需要較多的準備知識，這樣學(xué)起來就難了。20世紀70年代，我在新疆教中學(xué)數(shù)學(xué)時，用小學(xué)的面積知識引進正弦概念，學(xué)生在七、八年級就能學(xué);之后把余角的正弦叫余弦，把三角、代數(shù)、幾何相結(jié)合，學(xué)生學(xué)起來容易多了。
另外，就是簡化方法。幾何的難點可以通過創(chuàng)新的方法進行轉(zhuǎn)化。例如基于小學(xué)知識總結(jié)出的“三共定理”：共高定理、共角定理、共邊定理。這些定理易學(xué)好用，使大量幾何題變?nèi)菀琢恕葌鹘y(tǒng)的歐式幾何特別重視的全等三角形這一工具易學(xué)好用。其中，前兩個是人們熟知的古老命題，但沒有得到重視，共邊定理則是新的發(fā)現(xiàn)。一些復(fù)雜的幾何題運用共邊定理就能迎刃而解。但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年，應(yīng)周咸青博士邀請到美國合作研究幾何定理的機器證明，我提出用面積法。他問：如何把面積法轉(zhuǎn)化為計算機可執(zhí)行的算法呢？夜里，我想了一個例子，即用面積法機械地證明平行四邊形對角線相互平分，并由此認識到，原來共邊定理的作用在于消去直線的交點。幾何解題的傳統(tǒng)思路是作輔助圖形，作不出來就設(shè)法添加?xùn)|西，現(xiàn)在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡化;最后不能再簡化了，就水落石出。這樣，數(shù)學(xué)教育和人工智能就密切聯(lián)系起來了。在2021年第13屆幾何自動推理國際會議上，沃爾夫勒姆公司的一個報告詳細介紹了他們實現(xiàn)面積消點法的情形，說明這個領(lǐng)域中國人30年前的工作，仍然處于前沿。
趙維坤：您對教育數(shù)學(xué)的具體研究和教學(xué)實踐已歷經(jīng)40余年，這么多年的研究肯定有很多重要進展，您能不能簡要介紹一下這方面的進展？
張景中：回顧40多年的研究，教育數(shù)學(xué)主要在五個方面有了重要進展。
一是在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，這一基于小學(xué)知識得出的方法，把大量幾何題變?nèi)菀琢恕６?，基于我國幾位學(xué)者的共同努力，面積法已發(fā)展成為幾何定理機器證明的消點法，成為國內(nèi)外奧數(shù)培訓(xùn)的內(nèi)容，還被編入一些高校師范類專業(yè)的教材。
二是發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識基礎(chǔ)上的生長點，提出了用面積關(guān)系來定義正弦，實現(xiàn)了國際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在40多年前提出而國外未能實現(xiàn)的“提前兩年學(xué)正弦”，讓學(xué)生能夠在義務(wù)教育階段掌握三角形的作圖推理與計算。這項研究始于1974年，成果發(fā)表于1980年，并在2012年正式進入全班級、全學(xué)段教學(xué)實踐。廣州市海珠實驗中學(xué)的兩個實驗班中考數(shù)學(xué)優(yōu)秀率達到百分之百，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，負擔減輕，成績上升，入學(xué)時數(shù)學(xué)成績中下的學(xué)生畢業(yè)時也達到了優(yōu)秀。
三是針對高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法，消解了師生關(guān)于向量解幾何題不如傳統(tǒng)方法簡便的困難。由此聯(lián)系到數(shù)學(xué)與哲學(xué)大師萊布尼茲曾提出的“點如何相加”的問題，我提出了點幾何的綱要，用點的代數(shù)關(guān)系直接表達幾何性質(zhì)，用代數(shù)運算表達幾何推理。我和華中師范大學(xué)彭翕成博士合著的《點幾何解題》一書，引起不少師生的興趣。點幾何有助于串聯(lián)坐標、向量和復(fù)數(shù)，目前有待進入教學(xué)實踐。
四是解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴}。我曾經(jīng)教過微積分，做過把極限概念和實數(shù)理論變?nèi)菀椎呐?，提出了較容易理解的定義極限的方法，發(fā)現(xiàn)了能簡化實數(shù)理論的連續(xù)歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達方法，并且有成功的教學(xué)實踐案例。近幾年，我在林群院士的帶動激勵下，在這個方向開展合作研究，獲得了新的進展。我們發(fā)現(xiàn)，可以嚴謹?shù)叵纫胛⒎e分再講極限，而且可以在學(xué)習(xí)微積分之前系統(tǒng)而簡捷地解決通常認為用微積分才能解決的許多問題。我和林群院士合作出版了《減肥微積分》一書，所提出的新的微積分邏輯體系已經(jīng)通過了Coq機器檢驗，使得今后開展這方面的工作更有信心。目前也有待進一步開展教學(xué)實踐。
五是探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動有趣。我們學(xué)習(xí)了美國的動態(tài)幾何軟件——幾何畫板，經(jīng)過幾年努力，推出了更為智能化的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件——超級畫板，具有“寫畫測算編演推算”多種功能。2015年以來，我組建專業(yè)的團隊，將超級畫板進一步發(fā)展成為基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)畫板，幫助師生更輕松地進行數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)實驗。目前，網(wǎng)絡(luò)畫板注冊用戶已超過200萬，其中主要是數(shù)學(xué)教師。網(wǎng)絡(luò)畫板支持多種終端，無須安裝，支持其他教學(xué)系統(tǒng)共享，支持資源共建共享，2020年獲四川省年度科技進步獎二等獎。
趙維坤：感謝您這么系統(tǒng)地梳理和總結(jié)，讓我們對話題做一點發(fā)散和聯(lián)系。您說過“數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放”，指的是“數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)”，但是，多數(shù)人可能感受不深。結(jié)合您的教育數(shù)學(xué)思想，我覺得“解放”也可從減輕學(xué)生負擔的角度理解。那么，廣大的一線教師應(yīng)該如何從中受到啟發(fā)，真正尋求到更有效的減負路徑？
張景中：減輕負擔是教育的一個重要議題。對數(shù)學(xué)教育來說，減輕負擔最有效、最根本的一個方法，就是把數(shù)學(xué)本身變得更容易學(xué)。本來要花很多時間才能學(xué)會的內(nèi)容，現(xiàn)在花很少時間就能學(xué)會。這就真正減輕學(xué)習(xí)負擔了。
長期以來，我們在減負方面都存在一個誤區(qū)，認為減負就是刪繁就簡。我認為，這不是真正的減負。繁難的知識可能也非常重要，不能簡單刪掉或死記硬背下來。在教育數(shù)學(xué)中，我提出化繁為簡的理念，具體來說，就是提出更簡潔的概念表述方式和解決問題的方法。
我們開展教育數(shù)學(xué)實驗有十多年了，發(fā)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)本身是可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔的。比如，一道中學(xué)數(shù)學(xué)題讓學(xué)生學(xué)（解）起來比較難，因為怕加重學(xué)生的負擔，就被列入“負面清單”了。可是，如果研究出新的方法，用小學(xué)的數(shù)學(xué)知識就可以輕松解決，那就不僅減輕了負擔，而且能提高能力。也就是說，教育數(shù)學(xué)使學(xué)生本來不會的內(nèi)容現(xiàn)在會了，本來要花很多時間才能學(xué)會的內(nèi)容現(xiàn)在花很少時間就能學(xué)會。這就真正減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔。回顧40多年教育數(shù)學(xué)走過的路，這也是在對數(shù)學(xué)本身進行加工、改造和研究，即改造數(shù)學(xué)知識體系，研究更優(yōu)的解決方法，從數(shù)學(xué)里尋求更有效的減負增效的途徑。
趙維坤：我想到，吳文俊先生說過“數(shù)學(xué)是笨人學(xué)的”，陳省身先生也表達過類似的意思。這是不是說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無捷徑？和您的教育數(shù)學(xué)思想有矛盾嗎？這句話應(yīng)該如何理解呢？
張景中：我來說說我對這句話的理解。一方面，正如吳文俊先生所說：“做研究不要自以為聰明，總是想些怪招，要實事求是，踏踏實實。功夫不到，哪里會有什么靈感？”這是指學(xué)數(shù)學(xué)需要縝密的思維和嚴謹?shù)耐评淼瓤雌饋怼安惶罱j(luò)”的能力，而且，不畏困難的執(zhí)著精神有時也會給人比較“笨”的感覺。另一方面，有些領(lǐng)域要求某種天賦，例如歌唱、運動，數(shù)學(xué)則不然。有人問陳省身先生：為什么選擇研究數(shù)學(xué)？他說：我動手能力差，做物理、化學(xué)實驗都不行，只好做數(shù)學(xué)了。被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯說：任何一個正常人，只要像我這樣持續(xù)地思考，都能得出同樣的結(jié)論。我理解的吳先生的意思和陳先生、高斯的說法是一致的。
同時，數(shù)學(xué)可以變簡單。最經(jīng)典、最重要的事往往是最簡單的。“數(shù)學(xué)本身確實太難了”，關(guān)鍵不是教學(xué)方法的問題，而是從改造數(shù)學(xué)本身入手。研究如何把數(shù)學(xué)變簡單，需要老老實實地做、腳踏實地地做。當然，也需要一些方法、路徑，或者說，更重要的是一些原則、方向。那就是，觀點高一些，往問題的本質(zhì)上想;思想解放一些，不要被成見、套路束縛住;尤其不要把簡單的問題復(fù)雜化，而要反其道而行。這是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙。對數(shù)學(xué)家的已有成果，進行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，使之有更平易近人的數(shù)學(xué)概念、更簡單的邏輯結(jié)構(gòu)、更高效的解題方法，使之成為新的“經(jīng)典”的教程，使之更適宜于教與學(xué)，其實就是教育數(shù)學(xué)在做的事。
趙維坤：您的思考對我很有啟發(fā)，非常感謝！另外，我在學(xué)習(xí)您的教育數(shù)學(xué)思想時感覺到，“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住弊罱K指向“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住薄Ｎ蚁?，這不難理解：數(shù)學(xué)解題難是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難最直接、最根本的體現(xiàn)。對于數(shù)學(xué)解題，您在《走進教育數(shù)學(xué)》叢書的總序中提出過“中巧說”。也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執(zhí)行的方法，即算法。這一想法給我一種“恰到好處”的感覺：觀點較高，看透問題本質(zhì)，但不是大而無當，而是針對具體問題。您能再解釋解釋這一想法，以給一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)更多的啟示嗎？
張景中：學(xué)數(shù)學(xué)當然要解題。而數(shù)學(xué)難學(xué)，特別是幾何難學(xué)，主要也是學(xué)了知識之后仍不會解題。年復(fù)一年的考試不斷產(chǎn)生花樣翻新的題目，使學(xué)生接觸到越來越多的自己不會的題目。如何教會學(xué)生解題呢？
一種方法是收集大量問題，分成類型，傳授巧法和妙招，以備套用。我國近年出版的大量數(shù)學(xué)讀物，屬于此類。這樣做教師省心，應(yīng)付考試也有短期效果，所以頗受歡迎，流行不衰。
一種方法是強調(diào)基本知識和技能，關(guān)注一般的解題思考原則。這是數(shù)學(xué)家G.波利亞在他的一系列著作中所提倡的，也是許多數(shù)學(xué)家所贊成的?？上吆凸眩鄶?shù)教師和學(xué)生難以掌握，實效不大。
我曾在新加坡和項武義教授討論過這個問題。他把前一種方法叫作小巧，后一種方法叫作大巧。他主張教學(xué)生大巧，提倡靈活，“運用之妙，存乎一心”。但我以為，小巧一題一法，固不應(yīng)提倡;大巧法無定法，也確實太難。吳文俊先生也指出過：“不能用數(shù)學(xué)家的要求來指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)?！币髮W(xué)生掌握大巧，是想讓他們學(xué)會數(shù)學(xué)家的思維方法。這對絕大多數(shù)學(xué)生而言，不是幾年內(nèi)能做到的。而事實上，即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了大巧。
我想，出路在于提倡“中巧”。所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式。它不像小巧那么呆板瑣碎，又不像大巧那么法無定法。代數(shù)里的解方程、列方程解題，分析里的求導(dǎo)數(shù)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹，還有數(shù)學(xué)歸納法，均屬中巧。長期以來，幾何難學(xué)是因為幾何里只有小巧、大巧，而沒有中巧。我們則用面積法和消點法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧，使初等幾何方法從“四則運算雜題”的水平提高到代數(shù)方程的水平。
中巧要靠數(shù)學(xué)家研究創(chuàng)造出來，才能編入教材，教給學(xué)生。學(xué)生主要是學(xué)，而不是創(chuàng)，最多是在教師的指導(dǎo)下創(chuàng)（也就是弗賴登塔爾所說的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”）。在學(xué)習(xí)中巧的過程中，體驗數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧——至于小巧，學(xué)一點也好，但不足為法。小巧是零食，大巧是養(yǎng)生之道，中巧才是主食正餐。教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧。
二、 從計算機解幾何題，到信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)
趙維坤：最后這個比喻非常生動貼切！我想，當下一線教師，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，面對應(yīng)試的壓力以及核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，尤其需要中巧這樣的指導(dǎo)思想?，F(xiàn)在，讓我們專門來談一談您教育數(shù)學(xué)思想有關(guān)信息技術(shù)的方面，這也是您同時作為計算機科學(xué)家研究的重要方向。您把多年來在教育數(shù)學(xué)研究中發(fā)展的幾何新方法用于機器證明，并提出了消點思想，創(chuàng)建了幾何定理可讀證明自動生成的原理和方法。請您簡單介紹一下幾何定理的機器證明。
張景中：簡單地說，機器證明就是用計算機來機械化地判定數(shù)學(xué)命題的真假，判定命題為真就是給出了證明。其實，機械化的思想早就蘊含在中國古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用中了。幾何問題變化多，法無定法，技巧性強，如何找到機械化處理方法是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。吳文俊先生創(chuàng)造性地提出“吳方法”，將幾何證明問題轉(zhuǎn)換為多項式方程組的代數(shù)問題，對一大類等式型問題找到了高效率的判定算法。“吳方法”的成功讓這個領(lǐng)域活躍起來，極大地推動了幾何自動推理的研究。但是，代數(shù)法也有缺點，那就是計算過程比較復(fù)雜，人工很難檢驗其正確性并理解其幾何意義。能不能讓計算機生成較為直觀、簡單而容易理解、檢驗的解題過程，即所謂“可讀的”解答？當時，國內(nèi)外研究這個領(lǐng)域的專家認為是不可能的。
后來，我們將面積法改造成機械化算法消點法，并進一步發(fā)展成“幾何不變量”方法，對相當大的一類幾何問題可以用機器生成“可讀的”解答。該方法可以推廣拓展至非歐幾何，獲得了許多新定理，被國際同行譽為突破性的成果。
近年來，我們提出了“點幾何”，這是一種以“點”為基本運算對象的新的幾何理論體系，很多常見的幾何命題用點幾何表達，往往能得到僅有一兩行長度的簡單證明。彭翕成博士基于此發(fā)展了點幾何恒等式機械化算法，取得了良好的效果。
趙維坤：那么，機器證明會給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來哪些改變呢？
張景中：這方面的工作僅是開始，需要更多的研究和教學(xué)實踐。初步能想到的是，把機器證明的成果用于教育信息化，有助于減輕教師的負擔，提高學(xué)生的興趣。例如，用超級畫板或網(wǎng)絡(luò)畫板，在屏幕上畫一個任意三角形和三條高線，讓計算機推一推這個圖形里有什么幾何性質(zhì)。幾秒鐘后，計算機會顯示出圖中有幾百條幾何性質(zhì)，例如四條線段的比例式就能列出上百條。分析討論一下這些比例式是如何推出來的，可以分成幾類，涉及哪些幾何知識，就是很有趣的教學(xué)活動。如果沒有自動推理軟件，要組織這樣的教學(xué)活動，教師要花的時間和精力要多得多?；谧詣油评?，還可以為研究者、教師和數(shù)學(xué)愛好者提供智能性幾何解題電子詞典，對兩千多年來的初等幾何做一個相對完美的總結(jié)。這一工作工程浩大，但如果做得好，將是對科學(xué)文化事業(yè)的重要貢獻。在不久的將來，機器推理可以使數(shù)學(xué)教學(xué)場景更加智能化，如輔助教師出題、批改作業(yè)試卷等，將教師從耗時費力的機械性工作中解脫出來，從而可以更好地關(guān)注并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
00趙維坤：您的介紹讓我們看到了一個更加美好、值得期待的未來！現(xiàn)在是信息技術(shù)時代，信息技術(shù)的應(yīng)用不斷地滲透到各個領(lǐng)域。新課改以來，各版本的數(shù)學(xué)課程標準都專門提到了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》又指出：“重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動作用，改進教學(xué)方式，促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變?！边@就要求教師充分利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望。您能不能就這個話題給予一些指導(dǎo)？
張景中：教師應(yīng)當利用信息技術(shù)深度挖掘課程內(nèi)容的精神實質(zhì)，課程內(nèi)容中蘊含的思想方法、探究性素材，課程內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系等;利用信息技術(shù)對文本、圖像、聲音、動畫等進行綜合處理;注重信息技術(shù)與教學(xué)過程的深度融合，如組織好活動、落實好評價等。最終，達到豐富教學(xué)場景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望的目的。
趙維坤：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)”，這是新課標的新要求。而網(wǎng)絡(luò)畫板是您創(chuàng)立的可廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)專用軟件。請您談?wù)勚行W(xué)教師應(yīng)該如何利用網(wǎng)絡(luò)畫板開展數(shù)學(xué)實驗。
張景中：中小學(xué)教師在教學(xué)實踐中用幾次網(wǎng)絡(luò)畫板，就會親身體驗到這類動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的價值。動態(tài)幾何圖形有兩個基本特點：圖中的某些對象可以用鼠標拖動或用參數(shù)的變化直接驅(qū)動;其他沒有被拖動或直接驅(qū)動的對象會自動調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。學(xué)生可以利用其動態(tài)作圖、動態(tài)計算、動態(tài)測量以及編程功能來幫助自己理解概念，啟迪思路，探索疑問，檢驗答案，用直觀的動態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理公式。例如，自己定義函數(shù)并讓計算機執(zhí)行，有助于理解函數(shù)概念;通過作圖測量、觀察差商趨于微商（導(dǎo)數(shù)）的極限過程;等等。有些歷史上著名的實驗，例如蒲豐投針實驗，做起來很花時間，可以用計算機模擬;有些數(shù)學(xué)事實，例如正弦級數(shù)收斂于矩形波，很難想象，可以作出動態(tài)圖像來觀察?；趧討B(tài)幾何的平臺，能畫、能算、能測、能動、能變，是實驗探索得心應(yīng)手的環(huán)境。除此之外，這樣的平臺，還可以用來模擬探索物理過程和其他有趣的自然現(xiàn)象，例如單擺、布朗運動、多普勒效應(yīng)、混沌與分形等。
網(wǎng)絡(luò)畫板的特點是：（1） 上網(wǎng)就能用，無須下載安裝;（2） 適應(yīng)于Windows、蘋果、安卓多種系統(tǒng)和手機、平板、電腦各種終端;（3） 支持多種資源形態(tài)，可無縫嵌入Microsoft Office、WPS，離線斷網(wǎng)也能用;（4） 支持豐富的教學(xué)模式，適應(yīng)多樣化的教學(xué)環(huán)境;（5） 是開放性的平臺，可以與多種教學(xué)系統(tǒng)有機整合，目前已經(jīng)融入希沃、科大訊飛、天喻信息、騰訊教育、聯(lián)想、立思辰、華漁、歐帝等多家教育服務(wù)產(chǎn)品;（6） 匯聚豐富資源，共建共享統(tǒng)一管理，按教學(xué)需求組織，用起來很方便。幾年來，不少老師用網(wǎng)絡(luò)畫板創(chuàng)作了大量教學(xué)資源，供選擇使用。例如，進入網(wǎng)絡(luò)畫板網(wǎng)站可以看到，一位老師的原創(chuàng)作品已有6000多條，100條以上的有400多位老師，50條以上的有1186位老師，等等。這些作品還可以按區(qū)域、學(xué)校分類查閱，對于了解各地各校數(shù)學(xué)教學(xué)情形，相互交流，很有參考價值。
趙維坤：感謝您這么詳細的介紹！最后，想問兩個比較大的問題。作為數(shù)學(xué)家，同時也是計算機科學(xué)家，在您看來，數(shù)學(xué)在增強國家科技創(chuàng)新能力方面有著怎樣的作用？
張景中：增強國家數(shù)學(xué)實力，要重視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究，重視數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要前提。學(xué)好數(shù)學(xué)對于培養(yǎng)探索精神、思維的嚴密性、求真的執(zhí)著精神等都有重要意義?？萍紕?chuàng)新和數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切?？萍紕?chuàng)新研究的方法主要表現(xiàn)為邏輯推理、實驗觀察和計算，而這三種方法都需要數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)知識做支撐;實驗以觀察和總結(jié)自然規(guī)律為特征，涉及數(shù)據(jù)的記錄和分析，也不能沒有數(shù)學(xué)知識;至于計算，更是數(shù)學(xué)的領(lǐng)地。簡而言之，數(shù)學(xué)為科學(xué)探究提供了簡潔的語言、分析的方法與計算的工具。沒有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，想要擁有良好的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神是不可能的。
趙維坤：在數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)方面，您有什么建言？
張景中：我想，思想要再解放一些，教學(xué)方法和教材要更多地鼓勵創(chuàng)新和多樣化;要關(guān)注不同能力層次的孩子，鼓勵課外閱讀、數(shù)學(xué)編程，為基礎(chǔ)不同的學(xué)生提供多樣化的學(xué)習(xí)機會。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要完善和加強的方面，最重要的是教材的精煉提升，以及教育信息技術(shù)的普及深入，這也是教育數(shù)學(xué)努力的方向。（張景中，廣州大學(xué)計算科技研究院名譽院長。中國科學(xué)院院士，全國優(yōu)秀教師。主要從事機器證明、距離幾何、動力系統(tǒng)及教育數(shù)學(xué)方面的研究。2021年，被中國計算機學(xué)會（CCF）獎勵委員會授予“CCF終身成就獎”。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實驗學(xué)校，特級教師，正高級教師。中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會理事、學(xué)術(shù)委員。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材核心編寫人員。曾獲國家教學(xué)成果獎二等獎，江蘇省教學(xué)成果獎特等獎。）
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