閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的案例研究

歐紅霞 嚴虹

［摘? 要］ 文章以“等差數(shù)列的前n項和”為例，分析如何有效地將閱讀材料融入高中數(shù)學教學，并談一談在閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考，以期通過研究為其他閱讀材料融入高中數(shù)學教學提供啟示.

［關(guān)鍵詞］ 閱讀材料；高中數(shù)學教學；案例研究；等差數(shù)列的前n項和

[?]引言

閱讀材料是教科書的重要組成部分，2019年版高中數(shù)學人教A版教材（以下簡稱“新教材”）設(shè)有“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”和“信息技術(shù)應(yīng)用”等閱讀材料欄目. 章建躍教授指出：“在高中數(shù)學教材中設(shè)置‘閱讀材料欄目，為學生提供豐富的具有思想性、實踐性、挑戰(zhàn)性的，反映數(shù)學本質(zhì)的選學材料，拓展學生的數(shù)學活動空間，發(fā)展學生‘做數(shù)學‘用數(shù)學的意識.”［1］《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）指出：“要注重數(shù)學文化的滲透，注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合；要不斷引領(lǐng)學生感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.”［2］ 這些內(nèi)容可選擇閱讀材料作為載體來實現(xiàn).

但由于閱讀材料不是教材正文內(nèi)容，它常常被師生忽略，導致其教育教學功能未得到充分發(fā)揮，而且單獨講授教材中的閱讀材料是不可行的，所以考慮將閱讀材料融入教學，使得課堂教學更有品質(zhì). 那么，如何有效地將閱讀材料融入教學呢？邵光華教授指出：“使用新教材時需要特別關(guān)注新增內(nèi)容. 新教材注重數(shù)學文化的滲透，在題目背景設(shè)置和‘閱讀與思考板塊中都有所體現(xiàn)，作為教師應(yīng)更深入地了解相關(guān)歷史和背景.”［3］因此，本研究結(jié)合新教材中一則新增的閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”，并以“等差數(shù)列的前n項和”為例分析上述問題，最后談一談閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考.

[?]“等差數(shù)列的前n項和”內(nèi)容的閱讀材料的文本分析

“等差數(shù)列的前n項和”內(nèi)容的閱讀材料的相關(guān)信息如表1所示：

該閱讀材料先對數(shù)列求和問題的發(fā)展歷程進行了簡單介紹，然后對劉徽如何發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式的過程進行了探討分析，最后在文末講述了沈括創(chuàng)造的“隙積術(shù)”以及分析了楊輝把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問題［4］.

等差數(shù)列的求和方法“倒序相加法”是歷史傳承下來的巧妙方法，學生往往覺得它“巧妙”但“想不到”. 而實際上，“倒序相加法”是在深入理解等差數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)上得到的. 教材編寫者為了使教師和學生意識到這一點，在教材中設(shè)置了上述閱讀材料.

[?]教學案例研究

閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”不僅具有數(shù)學教育價值，而且有利于把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，與《新課標》中的“把握數(shù)學本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學”這一理念是相吻合的. 此外，這則閱讀材料為教材中的“思考”（即如何避免分類討論）提供了豐富的數(shù)學文化背景（垛積術(shù)）. 因此，將這樣的閱讀材料融入數(shù)學課堂教學，可以更好地發(fā)揮其探究和德育功能；同時，學生學習數(shù)學家的成果有利于理清數(shù)學思想方法的由來.基于此，設(shè)計如下案例.

（一）教學目標及教學重難點

1. 教學目標

（1）結(jié)合古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法，通過猜想到證明，掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導方法，并能簡單應(yīng)用.

（2）親歷公式的探索發(fā)現(xiàn)過程，體驗探索的成功與快樂，滲透特殊到一般、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化等思想，積累基本活動經(jīng)驗，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

（3）通過應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式解決良馬和駑馬15日所行里數(shù)問題，體會“倒序相加法”誕生的曲折過程，感受數(shù)學家的探索精神和創(chuàng)新意識.

2. 教學重難點

教學重點：等差數(shù)列的前n項和公式.

教學難點：等差數(shù)列的前n項和公式的推導.

（二）教學過程

基于上述對閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”的文本分析，以及對教學目標和教學重難點的制定，設(shè)計了如下教學流程（如圖1所示）：

1. 創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

【問題情境】

我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽（圖2）在《九章算術(shù)》注文中的“盈不足”章給出的第19問是一個等差數(shù)列問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安三千里（里是我國市制長度單位，1里=500 m）.良馬初日行一百九十三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里. 良馬先至齊，復還迎駑馬.”

注：原問為“幾何日相逢及各行幾何？”

【教師活動】

創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置引導性問題并讓學生先計算良馬15日所行里數(shù)：

（1）記良馬15日所行里數(shù)為S，請學生列式計算S；

（2）待大部分學生解答完成后，給出劉徽的計算方法為S=193×15+（1+14）××13，學生對比劉徽的計算方法后產(chǎn)生困惑.

【學生活動】

（1）列式計算：

S=193+（193+13）+（193+13×2）+（193+13×3）+…+（193+13×14）=[][15個193]+13×（1+2+3+…+14）=15×193+13×105=4260.

（2）發(fā)現(xiàn)1+2+3+…+14與相等，通過計算可驗證，但大部分學生對于二者能聯(lián)系起來是存在困惑的.

設(shè)計意圖：借助劉徽求等差數(shù)列的求和方法創(chuàng)設(shè)情境，學生不僅能學到古代數(shù)學家求數(shù)列和的思想方法，而且通過計算并對比數(shù)學家的計算方法后產(chǎn)生困惑，從而激發(fā)學生探索知識的興趣.

2. 探究歸納，初獲猜想

南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”.例如，求圖3“圭垛”中的格點個數(shù)總和，楊輝認為雖然圭垛的形狀與三角形相似，但要用梯形的面積公式計算，即S==28.

【教師活動】

（1）介紹數(shù)學家楊輝的成就并展示“圭垛”圖片，結(jié)合圖形分析的結(jié)構(gòu)，引導學生從“形”的角度理解上述情境中的1+2+3+…+14=（1+14）×.

（2）結(jié)合兩位數(shù)學家的計算方法，引導學生猜想S=1+2+3+…+（n-1）+n=？

【學生活動】

（1）結(jié)合梯形面積公式，從“形”的角度進行分析，消除困惑.

（2）通過分析兩位數(shù)學家的計算方法，將S看成是上底為1，下底為n，高為n的梯形，并結(jié)合梯形面積公式猜想得到S=.

設(shè)計意圖：借助楊輝處理“圭垛”中的格點總數(shù)問題完成：①從“形”的角度，幫助學生理解情境中的困惑——1+2+3+…+14=（1+14）×；②為猜想得出S=1+2+3+…+（n-1）+n=奠定基礎(chǔ)：引導學生對兩個特殊的等差數(shù)列求和結(jié)果進行分析、比較和歸納，從特殊到一般，猜想出上述一般結(jié)果，培養(yǎng)學生合作交流的意識以及合情推理和運算的能力；③為后續(xù)借助梯形面積公式的形象記憶等差數(shù)列前n項和的兩個公式做好鋪墊.

3. 演繹推理，證明猜想

問題1：數(shù)學講究嚴謹，大膽猜想得出的結(jié)論還需要細致證明，剛才的猜想正確嗎？又該如何證明？

【教師活動】

（1）引導、啟發(fā)學生用分析法來貫通思路，要證S=，即證2S=n（1+n）（提示：2S可看成2個S相加，n（1+n）可看成n個（1+n）相加），讓學生完成證明.

（2）引導學生思考以下兩個問題：

①證明過程會用到等差數(shù)列的哪條性質(zhì)？

②證明過程有何特點？（注：教師巡視，觀察是否有學生想到將第二個S寫成S=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1.若沒有，教師要對學生的證明過程進行適當引導，讓學生感受到“倒序”后的計算簡潔、直觀.）

【學生活動】

（1）通過獨立思考、合作交流、討論推演，給出證明：

S=1+2+3+…+（n-1）+n①，

S=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1②，

①+②：2S=n（1+n）.

所以S=.

（2）思考、交流和討論：

①等差數(shù)列的性質(zhì)：若｛an｝為等差數(shù)列，m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則a+a=a+a.

②發(fā)現(xiàn)證明過程的巧妙之處，提煉出“倒序相加法”的操作技能和思想.

設(shè)計意圖：結(jié)合閱讀材料和教科書提出一個可能發(fā)現(xiàn)“倒序相加法”的思想：①使學生認識到研究問題的一般思路為“探索—歸納—猜想—證明”；②在“2S可看成2個S相加，n（1+n）可看成n個（1+n）相加”這樣的啟發(fā)下，想到用“倒序相加法”求1+2+3+…+（n-1）+n，展現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的“觸類旁通”“靈感”等要素，為學生分析問題和解決問題做出示范［5］；③為“倒序相加法”推廣到一般的等差數(shù)列求和埋下了伏筆，同時揭示了該方法的根源所在——等差數(shù)列的性質(zhì)，讓學生認識到定義、性質(zhì)的重要性，這是一切數(shù)學推理的源泉，同時培養(yǎng)學生演繹推理的能力；④講解1+2+3+…+（n-1）+n是為了得出等差數(shù)列前n項和“公式2”的另一種推導方法，讓學生意識到所有的等差數(shù)列求和問題都可以轉(zhuǎn)化為求1+2+3+…+（n-1）+n.

4. 方法推廣，獲得公式

問題2：能將上述方法推廣到“求首項為a，公差為d的等差數(shù)列｛a｝的前n項和S”嗎？

問題3：若將通項公式a=a+（n-1）d代入“公式1”，又能得出什么表達式呢？

【教師活動】

（1）對學生的推導過程進行完善、板演，并總結(jié).

（2）引導學生將a=a+（n-1）d代入“公式1”得出“公式2”：S=na+d.

【學生活動】

（1）通過小組合作交流，完成推導：

S=a+a+a+…+a+a①，

S=a+a+a+…+a+a②，

①+②：2S=n（a+a）.

所以S=.

得到等差數(shù)列｛a｝的前n項和“公式1”：S=.

（2）將a=a+（n-1）d代入“公式1”得出“公式2”：S=na+d.

設(shè)計意圖：將“倒序相加法”推廣至一般的等差數(shù)列求和問題中，體現(xiàn)特殊到一般的數(shù)學思想方法，使得等差數(shù)列｛a｝的前n項和公式的推導比較自然，也符合學生的認知規(guī)律，發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng)；將“公式1”變形得到“公式2”，有助于學生在后續(xù)的學習中正確選擇公式.

5. 公式剖析，外化于形

結(jié)合數(shù)學家楊輝求“圭垛”中格點個數(shù)的方式（借助梯形面積公式），分析等差數(shù)列的前項和公式的結(jié)構(gòu).

公式1：S=

公式2：S=na+d

設(shè)計意圖：通過閱讀楊輝借助梯形面積公式計算“圭垛”格點總數(shù)問題，獲得一般啟示：借助梯形面積公式，幫助學生形象記憶等差數(shù)列求和公式，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，發(fā)展學生的直觀想象核心素養(yǎng).

6. 公式應(yīng)用，傳道解惑

問題4：回到剛才的情境中，

（1）現(xiàn)在同學們知道數(shù)學家劉徽是如何計算的嗎？用的是哪個等差數(shù)列求和公式，請指出相應(yīng)的基本量. （注：S=193×15+（1+14）××13）

（2）請同學們利用等差數(shù)列求和公式計算出S.

問題5：結(jié)合情境中計算S的過程，請同學們思考“如果不從‘公式1出發(fā)，你能用其他方法得到‘公式2嗎？”

【教師活動】

（1）引導學生用等差數(shù)列求和公式解決問題4和問題5.

（2）結(jié)合劉徽計算的過程提示學生將S=a+a+a+…+a+a化為S=a+（a+d）+（a+2d）+…+［a+（n-2）d］+［a+（n-1）d］，進而化為S=na+［1+2+3+…+（n-1）］d進行思考分析.

【學生活動】

（1）學生解答：

①有2種預設(shè)：

預設(shè)1：學生發(fā)現(xiàn)劉徽使用的是等差數(shù)列前n項和“公式2”（S=na+d，其中a=193，n=15，d=13）；

預設(shè)2：學生發(fā)現(xiàn)劉徽使用的是等差數(shù)列前n項和“公式1”（S=，其中n=14，a=1，a=14）. （注：學生計算的僅是1+2+3+…+14=（1+14）×）

②計算S：

方法1：S=97+

97-1×

+

97-2×

+

97-3×

+…+

97-14×

=15×97+×

-

=1402.5；

方法2：S=97+

97-1×

+

97-2×

+

97-3×

+…+

97-14×

==1402.5.

（2）學生由S=a+a+a+…+a+a得S=a+（a+d）+（a+2d）+…+［a+（n-2）d］+［a+（n-1）d］=na+［1+2+3+…+（n-1）］d=na+d.

設(shè)計意圖：通過計算S，學會應(yīng)用公式解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)；從另一個角度獲得“公式2”，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng)；這則閱讀材料使學生意識到等差數(shù)列的求和方法——“倒序相加法”是歷史上數(shù)學家通過探索并傳承下來的.

7. 歸納小結(jié)，內(nèi)化理解

通過本堂課的學習，你有什么收獲？

設(shè)計意圖：通過師生共同小結(jié)，完善本節(jié)課的知識脈絡(luò)，發(fā)揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，培養(yǎng)學生歸納和概括的能力.

8. 布置作業(yè)，拓展延伸

課后作業(yè)：

（1）請完成表格（表2）填寫，并寫出計算過程.

（2）完成情境中的原問題：“良馬和駑馬幾何日相逢及各行幾何？”

（3）閱讀與思考：請同學們課后再一次閱讀教材中的材料——中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法，并查閱相關(guān)資料.

①了解數(shù)學家劉徽、沈括、楊輝的數(shù)學成就；

②在文獻的查閱過程中，收集數(shù)學名著（例如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》等）中的數(shù)列問題1—2個，并嘗試解答.

設(shè)計意圖：“作業(yè)（1）”是對教材課后練習題呈現(xiàn)形式的改編，采用表格形式是為了突出五個基本量“知三求二”的關(guān)系，通過公式的正用和逆用，著重強調(diào)公式的選擇，滲透方程思想，進一步發(fā)展學生的運算能力和邏輯推理素養(yǎng)；“作業(yè)（2）”和“作業(yè)（3）”為學生提供了更大的思維發(fā)展空間，把課內(nèi)知識延伸到課外去：學生通過自主查閱資料，了解我國數(shù)學家的輝煌成就，感悟數(shù)學家的聰明才智；同時通過課后查閱文獻、收集數(shù)學名著中的數(shù)列問題并解答，在查閱中拓寬視野，在解答中提升思維.

[?]閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考

閱讀材料編入教材的出發(fā)點有兩個：一是使教學內(nèi)容更具彈性，教師可根據(jù)學生的情況在教學中適當融入閱讀材料，有助于教師進行創(chuàng)造性教學；二是有助于學生理解教材正文，理清知識的來龍去脈. 因此，閱讀材料融入高中數(shù)學教學是有必要的.

1. 閱讀材料融入高中數(shù)學教學，發(fā)揮導學功能

數(shù)學教材中有很多揭示數(shù)學知識發(fā)展歷程的閱讀材料，并蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，例如人教A版新教材必修第一冊“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”敘述了函數(shù)概念產(chǎn)生和發(fā)展的背景以及“對數(shù)的發(fā)明”中蘊含著對數(shù)的思想方法等.教師在教學中應(yīng)注重這類閱讀材料與高中數(shù)學教學的融合，課前應(yīng)讓學生自主學習，充分發(fā)揮閱讀材料在課前的導學功能. 《新課標》指出：“高中數(shù)學教學提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展. ”［2］例如本文創(chuàng)設(shè)情境時，學生通過獨自思考、自主學習、合作交流等多種方式學習教材中的閱讀材料，重溫數(shù)學家劉徽解決等差數(shù)列求和的歷史，結(jié)合楊輝求“圭垛”面積的方法，獲得等差數(shù)列求和的啟示，使得“倒序相加法”的學習更加自然，通過這樣的方式將閱讀材料融入數(shù)學教學可將閱讀材料的導學功能發(fā)揮出來.

2. 閱讀材料融入高中數(shù)學教學，發(fā)揮德育功能

教材中數(shù)學史類的閱讀材料可挖掘出豐富的數(shù)學德育元素，例如人教A版新教材必修第二冊“祖暅原理與柱體、椎體的體積”中除了對數(shù)學家祖暅及其原理的介紹外，還指出祖暅給出的原理要比其他國家的數(shù)學家早一千多年，這蘊含著愛國主義精神.教師可通過此類閱讀材料德育元素的挖掘，再加以教學長期浸潤來引導學生學習，激發(fā)學生的民族自尊心和凝聚力，努力使學生形成為國家和民族振興而努力學習的志向［6］. 又例如本研究的閱讀材料中介紹了數(shù)學家沈括的成就——隙積術(shù)，以及數(shù)學家楊輝的成就——楊輝三角，將這則閱讀材料融入教學，讓學生感受我國數(shù)學家的輝煌成就以及他們的探索精神和創(chuàng)新意識. 長期將閱讀材料融入高中數(shù)學教學，提高數(shù)學課堂品質(zhì)的同時，閱讀材料指向下的高中數(shù)學教學也完全可以成為數(shù)學教育中落實“立德樹人”根本任務(wù)的一條途徑［7］.

3.閱讀材料融入高中數(shù)學教學，發(fā)揮探究功能

人教A版新教材設(shè)有“探究與應(yīng)用”閱讀材料欄目，這類閱讀材料為師生開展探究性教學活動提供了素材，而探究性教學活動可以加深學生對知識的理解和體驗［8］，《新課標》也將“數(shù)學建模和數(shù)學探究活動”作為高中數(shù)學課程內(nèi)容四條主線之一［2］. 例如人教A版新教材必修第一冊“探究與發(fā)現(xiàn)”中的閱讀材料——利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，教學中教師就可以借助這則閱讀材料開展探究性活動，利用單位圓來研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從數(shù)學知識的系統(tǒng)性而言，這有利于學生從整體上把握三角函數(shù)的性質(zhì).又例如本研究借助數(shù)學家楊輝求“圭垛”格點總數(shù)的方法設(shè)置“問題串”，探究一般的等差數(shù)列前n項和公式，最后回到求“圭垛”格點總數(shù)問題，聯(lián)系梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項和的兩個公式. 無疑，將具有探究性的閱讀材料融入高中數(shù)學教學，學生的“四基”會得到進一步鞏固，“四能”也會獲得進一步提升［9］.

總之，閱讀材料是數(shù)學教學中應(yīng)重視的良好素材，閱讀材料指向下的高中數(shù)學教學使得數(shù)學課堂更具品質(zhì). 教師應(yīng)積極將其融入教學，在構(gòu)建優(yōu)質(zhì)數(shù)學課堂的過程中充分發(fā)揮它的教育教學功能.

參考文獻：

［1］? 章建躍. 普通高中數(shù)學課程標準教材的研究與編寫［J］.課程·教材·教法，2005（01）：45-50.

［2］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 邵光華，張妍. 人教A版高中數(shù)學新教材特色分析及使用建議［J］. 課程·教材·教法，2019（12）：109-114.

［4］? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第二冊［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［5］? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書教師教學用書數(shù)學選擇性必修第二冊［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［6］? 徐永忠. “閱讀材料”教學現(xiàn)狀分析與建議［J］. 數(shù)學通報，2004（04）：13-14.

［7］? 王鑫，汪曉勤，鄒佳晨. 高中數(shù)學教科書閱讀材料“對數(shù)的發(fā)明”使用現(xiàn)狀及啟示［J］. 數(shù)學教學，2018（08）：1-5+29.

［8］? 宋磊. 重視教材閱讀材料 提升數(shù)學核心素養(yǎng)——閱讀材料“橢圓的一種應(yīng)用”引發(fā)的探究課［J］. 數(shù)學通訊，2020（10）：21-24+39.

［9］? 張鵬. 重視數(shù)學閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學教育——以《普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）》為例［J］. 數(shù)學教學通訊，2020（09）：8-10.