例談三類函數(shù)零點(diǎn)問題的解法

王庚申

函數(shù)零點(diǎn)問題的難度一般不大，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，此類問題側(cè)重于考查同學(xué)們對(duì)零點(diǎn)概念的理解以及運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的熟練程度．本文主要探討下列三類函數(shù)零點(diǎn)問題及其解法．

一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f（x）=0時(shí)x的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，往往有三種思路：一是數(shù)形結(jié)合，通過分析函數(shù)的圖象，確定函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；二是運(yùn)用方程思想，令函數(shù)f（x）=0，通過解方程求得方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；三是運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理，若在定義域[a，b]內(nèi)f（a）f（b）<0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，再結(jié)合函相等，但本題中k≠k+1，故不能取等號(hào)．

解答本題，需先根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)，建立方程；然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

二、已知零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍

若已知函數(shù)零點(diǎn)的所區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍，往往需首先根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象中交點(diǎn)的位置，建立關(guān)于參數(shù)的方程，或根據(jù)零點(diǎn)存在性定理建立關(guān)于參數(shù)的不等式．有時(shí)題目中會(huì)給出更多的約束條件，此時(shí)需結(jié)合函數(shù)的圖象來逐步縮小或確定函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，建立關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式來求得參數(shù)的取值范圍．

三、求零點(diǎn)的和

求零點(diǎn)的和問題是一類常見題目，但是較為復(fù)雜．通常需根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱軸等明確并畫出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置，據(jù)此建立各個(gè)零點(diǎn)之間的關(guān)系式，從而求得零點(diǎn)之和，

求幾個(gè)零點(diǎn)的和，往往要靈活運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)，以明確函數(shù)的周期、對(duì)稱軸等．同時(shí)，要運(yùn)用方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想來輔助解題．

總之，解答函數(shù)零點(diǎn)問題，需根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，將函數(shù)的零點(diǎn)與方程、圖象上的交點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來，靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程的性質(zhì)，零點(diǎn)存在性定理來解題．