求解立體幾何中截面問題的思路

吉繆明

立體幾何中的截面問題較為復雜，對同學們的空間想象和直觀想象能力有較高的要求．此類問題的常見命題形式為：（1）判斷截面的形狀；（2）求截面的周長；（3）求截面的面積．下面重點探討一下如何求解這三類截面問題．

一、判斷截面的形狀

判斷截面的形狀問題多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．判斷截面的形狀，往往需從幾何體的形狀、特點出發(fā)，找到一些線面、線線、面面的垂直和平行關系，以根據(jù)面面平行、線面垂直、線線平行等的判定定理和性質定理，確定截面的邊界線之間的關系；再根據(jù)其圖形的特征，即可判斷出截面的形狀．有時，需通過添加適當?shù)妮o助線，來尋找垂直、平行關系，

此題的難度較大，解答時需首先根據(jù)題意畫出正方體，以明確各點、線、面的位置關系，也便于根據(jù)正方體的各點、棱、面之間的位置關系判斷出截面的邊界線之間的關系．在判斷截面的形狀時，我們需通過添加輔助線，來構造出平面A1BD、平面EGPKHF，再根據(jù)線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、線面平行的判定定理進行證明，

二、求截面的周長

求立體幾何中截面的周長，需先根據(jù)所給條件和幾何體的特點，判斷出截面的形狀；然后根據(jù)幾何體中的點、線、面的位置關系求得截面的邊長、中線、高線長；最后利用平面幾何中的勾股定理、正余弦定理、點到直線的距離公式求得截面的各條邊長，從而求出截面的周長．

解答該題，首先要通過添加輔助線，將截面補充完整，已知AF、AE分別是截面與幾何體表面的交線，于是分別作AF、AE的平行線，確定H、G點的位置，那么平面AEGHF是完整的截面；然后根據(jù)正方體的特點和棱長，運用勾股定理求得截面的各條邊長；最后將所有的邊長相加，即可得到截面的周長．

首先添加輔助線，得到完整的截面AEPF；然后構造直角三角形，運用勾股定理和余弦定理求得截面AEPF的每一條邊長；最后把所有的邊長相加，所得的結果即為截面的周長．求截面的周長，需將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，在截面上運用平面幾何圖形的性質和相關定理進行運算．

三、求截面的面積

立體幾何中的截面面積問題主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．解答這類問題，需從截面的形狀著手，在判斷出截面的形狀后，往往要通過割補，將截面轉化為正方形、平行四邊形、菱形、三角形、梯形等規(guī)則的圖形，以運用正方形、平行四邊形、菱形、三角形、梯形等的面積公式來求解，

例4．正四面體ABCD的棱長為2，其外接球的球心為D，過A，B，D的平面截四面體ABCD，則所截得圖形的面積為____

由于正四面體與正方體均為中心對稱圖形，所以正四面體的外接球就是正方體的外接球，添加合適的輔助線，便可確定截面即為△ABM，再根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式進行求解即可．

由此可見，求解立體幾何中的截面問題，關鍵有兩點：（1）要根據(jù)幾何體中的線面位置關系判斷截面的形狀；（2）將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，運用平面幾何知識求截面的邊長、周長、面積．

（作者單位：江蘇省無錫市第三高級中學）