層層深入,步步遞進(jìn),深化理解

李鑫華 時(shí)光

[摘 ?要] 研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)不能局限于教材例題，更要注重知識(shí)的拓展與延伸. 文章從一道“好題”的縱深與橫寬兩個(gè)維度的拓展，以層層深入的問題，引發(fā)學(xué)生的思維逐層遞進(jìn)，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解，獲得數(shù)學(xué)思想的目的，并養(yǎng)成善于反思的習(xí)慣.

[關(guān)鍵詞] 問題;好題;生長

教材呈現(xiàn)的例題，都是經(jīng)過精挑細(xì)選的，體現(xiàn)的是核心知識(shí)，具備言簡意賅的特點(diǎn)，但受篇幅的限制，很多問題并沒有展開. 教師作為學(xué)生與教材的協(xié)調(diào)者，可將教材中的例題有選擇性地加以補(bǔ)充與拓展，在強(qiáng)化知識(shí)前后聯(lián)系的基礎(chǔ)上，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生不僅獲得知識(shí)層面的理解，還能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?]本題分析

原題：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-5，0）與（5，0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之積為-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：該題題意明確，表述簡潔、流暢，容易理解，符合“好題”的標(biāo)準(zhǔn). 說它好，主要體現(xiàn)在：從問題本身來看，它包含了重要的斜率與軌跡內(nèi)容，體現(xiàn)了知識(shí)的聯(lián)系性，解決方法自然具有多樣化的特點(diǎn)，該題本身具備“生長”的特征;從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的角度來觀察，該題相當(dāng)自然，處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，具有一定的挑戰(zhàn)性，具備促進(jìn)學(xué)生思維生長的能力. 分析該題后，容易得出點(diǎn)M的軌跡方程為+=1（x≠±5）.

[?]層層深入，縱深生長

章建躍認(rèn)為：數(shù)學(xué)“好題”不僅能體現(xiàn)出知識(shí)間的互相聯(lián)系，還具備良好的生命力與自我生長力[1]. 顯然，該題具備一道“好題”的基本特征. 但從哪些方面體現(xiàn)出了該題的生命力呢？如何促進(jìn)該題的有序生長呢？它又能生長出什么內(nèi)容呢？筆者從縱深層面將該題進(jìn)行了以下變化，通過層層深入的問題，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

問題1：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-5，0）與（5，0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之積為，求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題1在原題的基礎(chǔ)上，只是將兩直線的斜率之積由-變?yōu)?，?duì)學(xué)生來說難度不大，可作為學(xué)生思維活動(dòng)的熱身題，讓學(xué)生的思維從低起點(diǎn)開始逐步前進(jìn).

問題2：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之積為k（k是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

此時(shí)，問題難度稍增，需對(duì)常數(shù)k進(jìn)行討論，學(xué)生的思維也隨著問題的變化而逐層遞進(jìn).

問題3：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之商為k（k是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題4：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之和為k（k是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題5：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，兩直線的斜率之差為k（k是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

觀察問題2至問題5，題干條件并未發(fā)生明顯變化，只是兩直線斜率間的關(guān)系有所變化，分別以積、商、和、差進(jìn)行討論，雖只是一字之差，但解決問題的方法卻發(fā)生了較大變化. 如問題4的實(shí)質(zhì)就是將“距離”換成了“斜率”，我們?cè)撛趺磳⑿甭兽D(zhuǎn)化成周長、面積等概念呢？而點(diǎn)M的活動(dòng)軌跡又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？順著學(xué)生思維的生長點(diǎn)，從以上這些“枝干”出發(fā)，又生長出了以下“枝葉”.

問題6：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，已知△ABM的周長為C（C>4a，且為常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題7：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點(diǎn)M相交，已知△ABM的面積為S（S>0，且為常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡方程.

隨著探究的逐漸深入，問題6與問題7已然觸及斜率與軌跡的深層次關(guān)系.

至此，原題的縱深挖掘也差不多了，學(xué)生對(duì)原題及其變化中的知識(shí)間的聯(lián)系已經(jīng)有了較為深刻的認(rèn)識(shí). 那么，原題的教學(xué)潛能就止于此了嗎？答案必然是否定的，因?yàn)槌丝v深外，知識(shí)還有橫向發(fā)展的能力.

[?]步步遞進(jìn)，橫寬生長

“好題”的生長并非單一的模式，需要從多個(gè)角度著手，以不同的思維方式去挖掘其內(nèi)涵. 這種具有一定寬度的生長方式，對(duì)學(xué)生而言，具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，因此要放在有序生長的后面進(jìn)行拓展. 當(dāng)然，橫向生長并非無緣無故而來，同樣具備步步遞進(jìn)、由淺入深、拾級(jí)而上的規(guī)律[2]. 例如原題，可以繼續(xù)進(jìn)行以下變化，以拓寬學(xué)生的視野，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系.

問題8：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-5，0）與（5，0），點(diǎn)M為橢圓+=1的任意點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），k·k是不是定值？若是，請(qǐng)求出k·k的值.

在解決問題8的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考“若點(diǎn)A，B在y軸上，又會(huì)是怎樣的？”由此引出了下一個(gè)問題.

問題9：假設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（0，-5）與（0，5），點(diǎn)M為橢圓+=1的任意點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），此時(shí)k·k是不是定值？若是，請(qǐng)求出k·k的值.

問題8與問題9具備一定的共性，根據(jù)這種特征的一般形式，再引出以下問題.

問題10：如果點(diǎn)A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

問題11：如果點(diǎn)A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

經(jīng)思考，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)k·k均有定值，問題10與問題11的結(jié)論分別為k·k=-，k·k=-. 為了活躍學(xué)生的思維，還可將直線AB設(shè)為過原點(diǎn)的直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B，由此又引出新的問題.

問題12：如果橢圓+=1（a>b>0）與過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

問題13：如果橢圓+=1（a>b>0）與過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

隨著“枝葉”的繁茂，學(xué)生的思維寬度越來越廣，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，教師還可以提出更寬泛的問題供學(xué)生思考，例如將以上問題中的“橢圓”換為“雙曲線”等. 觀察本題的生長路線，主要是“縱深”與“橫向”兩個(gè)方面，隨著主干的生長，衍生出了新的“枝葉”. 學(xué)生的思維隨著低起點(diǎn)、小步子的臺(tái)階呈螺旋式上升，并獲得從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

[?]教學(xué)反思

解決原題時(shí)，雖然容易獲得方程+=1，但不少學(xué)生卻將“x≠±5”這個(gè)條件遺漏了，導(dǎo)致解題過程不完整. 作為教師，不僅要重視這個(gè)問題，還要幫助學(xué)生獲得勤于反思的習(xí)慣，避免同樣的問題再次出現(xiàn). 針對(duì)原題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面著手進(jìn)行反思：

1. 反思知識(shí)儲(chǔ)備，完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)

出現(xiàn)漏解的主要原因，一般是知識(shí)體系還不夠完整，學(xué)生尚無法系統(tǒng)地建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 想要增加并完善學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，可以應(yīng)用糾錯(cuò)筆記等方式，將易錯(cuò)題進(jìn)行歸類、分析，以不斷完善學(xué)生的認(rèn)知.

原題設(shè)方程為點(diǎn)斜式時(shí)，先要考慮直線斜率是否存在;同樣，遇到集合問題時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮空集的現(xiàn)象;遇到關(guān)于函數(shù)y=ax2+bx+c類問題時(shí)，先要考慮最高次項(xiàng)的系數(shù)是不是存在零的情況，等等. 如此，才能不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)全覆蓋的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 反思解題過程，優(yōu)化解題程序

同一個(gè)問題，若從不同的角度去分析，可能會(huì)出現(xiàn)多種不同的解決方法. 教學(xué)時(shí)，除了幫助學(xué)生理清通法通解外，還要盡可能地發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生從多種解法中，自主分析每種解法的優(yōu)劣性，以優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的解題程序，形成擇優(yōu)解題的習(xí)慣[3].

例如：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1，若過點(diǎn)P（2，1）作一條弦，點(diǎn)P恰好平分這根弦，求該弦所在的直線方程.

此問存在多種解決方法，分別有：①聯(lián)立直線方程與橢圓方程;②用“點(diǎn)差法”獲得直線斜率;③用“交軌法”獲得結(jié)論;④通過畫圖，從直觀圖像中獲得結(jié)論，等等. 通過對(duì)這些解題方法的逐一探索，學(xué)生不僅能獲得最簡單的解題過程，還能優(yōu)化解題程序，選擇最便捷的解題方案.

3. 反思解題方法，提煉數(shù)學(xué)思想

高考試題千變?nèi)f化，“題海戰(zhàn)術(shù)”必然解決不了問題. 只有在解題中學(xué)會(huì)不斷總結(jié)、提煉與反思，才能獲得解題的精髓——數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)思想方法一旦形成，則能突破思維定式的干擾，跳出“題?！?，獲得融會(huì)貫通、舉一反三的解題能力.

總之，教材中呈現(xiàn)的例題固然好，但就題論題進(jìn)行教學(xué)，只能讓學(xué)生的思維浮于表面，難以達(dá)到深層次的理解與應(yīng)用. 而在例題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行縱橫兩方面的拓展與延伸，不僅可以避免“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來的疲倦感，達(dá)到“減負(fù)增效”的教學(xué)效果，還能激發(fā)學(xué)生的探究欲，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生自主厘清知識(shí)間的聯(lián)系，達(dá)到深化理解、靈活應(yīng)用的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?章建躍. 發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益——“第六屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動(dòng)”總結(jié)暨大會(huì)報(bào)告 [J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2] ?喬治·波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解研究和講授[M]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

[3] ?任長松. 探究式學(xué)習(xí)：學(xué)生知識(shí)的自主建構(gòu)——從兩個(gè)探究案例引發(fā)的思考[J]. 課程·教材·教法，2004（01）：37-42.