基于代數(shù)運(yùn)算的“冪指對(duì)”函數(shù)單元教學(xué)思考

陳燕

[摘 ?要] 從代數(shù)運(yùn)算的角度來看，冪運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算就是AB=C（A>0，A≠1）中的三個(gè)量有兩個(gè)為常量，求另一個(gè)未知量的方程;冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)則是三個(gè)量中一個(gè)為常量，關(guān)于另兩個(gè)變量所得的結(jié)果. 文章正是以此整體構(gòu)建“冪指對(duì)”函數(shù)的單元教學(xué). 首先通過比較不同版本教材的編排方式，確定單元知識(shí)內(nèi)容及結(jié)構(gòu)，并從知識(shí)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)等角度分析單元教學(xué)內(nèi)容;其次依托學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，從“運(yùn)算”和“函數(shù)”兩個(gè)方面預(yù)設(shè)單元教學(xué)難點(diǎn);最后根據(jù)教材、學(xué)情、課標(biāo)等分析單元教學(xué)目標(biāo)，整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)過程.

[關(guān)鍵詞] 代數(shù)運(yùn)算;“冪指對(duì)”函數(shù);單元教學(xué);教學(xué)思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[1]（以下簡稱《課標(biāo)》）指出“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平的達(dá)成并不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)”，強(qiáng)調(diào)“教師不僅要關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)”. 這就需要教師從傳統(tǒng)的課時(shí)教學(xué)中跳出來，立足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，整體把握并設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容. 在這樣的背景下，單元教學(xué)再次受到學(xué)界重視，并借此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

所謂單元教學(xué)，是依據(jù)課標(biāo)、學(xué)情等對(duì)教材內(nèi)容按一定的任務(wù)驅(qū)動(dòng)、邏輯結(jié)構(gòu)組織形成相對(duì)完整的教學(xué)單元，對(duì)其進(jìn)行整體分析并設(shè)計(jì)一個(gè)單元的教學(xué)過程. 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（簡稱“冪指對(duì)”函數(shù)）是描述增長或衰退現(xiàn)象的三種重要數(shù)學(xué)模型，積累學(xué)習(xí)具體函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以幫助學(xué)生形成研究函數(shù)的一般方法，奠定進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 本文基于對(duì)課標(biāo)、教材、學(xué)情等的分析，根據(jù)“冪指對(duì)”函數(shù)三者間的內(nèi)在聯(lián)系，如在研究方法、蘊(yùn)含的思想方法、重點(diǎn)提升的核心素養(yǎng)等方面的共性，將其作為單元教學(xué)的內(nèi)容，并從代數(shù)運(yùn)算的角度整體構(gòu)建單元教學(xué).

[?]對(duì)比分析不同版本教材，確定單元內(nèi)容及知識(shí)結(jié)構(gòu)

新課程理念要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀，創(chuàng)造性地使用教材，而不是按部就班“教教材”. 從過去的“一綱一本”到現(xiàn)在的“一標(biāo)多本”，雖然教材均按照知識(shí)邏輯、學(xué)生心理特點(diǎn)等進(jìn)行編排，但在知識(shí)內(nèi)容、編排方式等方面也是各具特色. 本文選取人民教育、湖南教育和江蘇鳳凰教育三個(gè)出版社出版的高中數(shù)學(xué)新教材（簡稱人教A版、湘教版和蘇教版）中有關(guān)“冪指對(duì)”函數(shù)的章節(jié)，整體比較如表1所示.

由表1，三版教材的“冪指對(duì)”函數(shù)內(nèi)容分別涉及2章、1章、3章. 人教A版中冪函數(shù)與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)隸屬不同章節(jié)，沒有更好地突出“冪指對(duì)”函數(shù)內(nèi)容的完整性;湘教版將其作為一個(gè)單元整體討論，雖關(guān)注到單元知識(shí)的完整性，但單元課時(shí)量相對(duì)較多;蘇教版將指數(shù)與對(duì)數(shù)、“冪指對(duì)”函數(shù)的概念與性質(zhì)及其應(yīng)用分為三個(gè)獨(dú)立的單元，且三個(gè)單元分別屬于教材的第四章、第六章和第八章，內(nèi)容并不連續(xù). 考慮知識(shí)的連續(xù)性和完整性，以及單元的課時(shí)量，本文研究的“冪指對(duì)”函數(shù)單元內(nèi)容包括：指數(shù)冪及其運(yùn)算，對(duì)數(shù)及其運(yùn)算，“冪指對(duì)”函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

在編排順序上，三版教材均是“冪函數(shù)—指數(shù)函數(shù)—對(duì)數(shù)函數(shù)”，不同的是指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的教學(xué)順序. 其中人教A版將冪函數(shù)作為一般函數(shù)概念與性質(zhì)的下位學(xué)習(xí)，以此為基礎(chǔ)研究其他函數(shù). 故冪函數(shù)的學(xué)習(xí)安排在指數(shù)冪之前，雖然考慮到《課標(biāo)》只要求通過五個(gè)特殊的冪函數(shù)圖像理解它們的變化規(guī)律，且圖像的形成過程也不需要有理數(shù)指數(shù)冪的概念，但嚴(yán)格來說不符合知識(shí)的邏輯性[2]. 而其余兩個(gè)版本都是先學(xué)習(xí)指數(shù)冪，再學(xué)習(xí)冪函數(shù). 本文從整體上考慮指數(shù)冪和對(duì)數(shù)及其之間的關(guān)系是“冪指對(duì)”函數(shù)的研究基礎(chǔ)，故在單元教學(xué)順序上先研究指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算，再研究“冪指對(duì)”函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，單元知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提，不僅要理解知識(shí)內(nèi)容，還要挖掘其中滲透的育人價(jià)值，但僅從單個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解數(shù)學(xué)很難全面而深入地發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的育人價(jià)值. 下面以單元知識(shí)內(nèi)容為載體，從單元知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、滲透的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等角度具體分析.

1. 單元知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)

本單元內(nèi)容是以冪、指數(shù)和對(duì)數(shù)為研究對(duì)象，先研究其運(yùn)算性質(zhì)，再研究“冪指對(duì)”函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)，代數(shù)運(yùn)算貫穿整個(gè)研究過程.

“冪指對(duì)”函數(shù)作為描述增長或衰退現(xiàn)象的三種基本數(shù)學(xué)模型，從乘方及其逆運(yùn)算（開方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算）發(fā)展而來，同時(shí)也是溝通乘法、除法、乘方與加法、減法、乘法等基本數(shù)學(xué)運(yùn)算的橋梁. 基于此，從代數(shù)運(yùn)算的角度看本單元的教學(xué)內(nèi)容，整體按照“運(yùn)算—背景—概念—圖像—性質(zhì)”的順序建立相應(yīng)的研究體系.

2. 蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

本單元的核心內(nèi)容是先用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)描述客觀世界中的變量關(guān)系和規(guī)律，再抽象出函數(shù)概念，類比一般函數(shù)的研究方法探究其圖像與性質(zhì)，然后借此分析和解決實(shí)際問題等過程，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、類比和函數(shù)思想. 在具體的教學(xué)內(nèi)容中，如整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪，再到無理數(shù)指數(shù)冪的推廣，蘊(yùn)含著逼近和極限思想;“冪指對(duì)”函數(shù)的概念、性質(zhì)的歸納過程，滲透著從特殊到一般的思想;利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化化歸的思想等. 因此，本單元以數(shù)形結(jié)合、類比和函數(shù)思想為主，轉(zhuǎn)化化歸、特殊到一般、逼近和極限思想等為輔.

3. 滲透的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

單元知識(shí)為載體、數(shù)學(xué)思想方法為橋梁是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、切實(shí)發(fā)揮數(shù)學(xué)育人價(jià)值的支撐點(diǎn). 本單元類比一般函數(shù)的研究方法，研究特殊的“冪指對(duì)”函數(shù)，從一般到特殊，發(fā)展演繹推理能力;在“冪指對(duì)”函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的探究過程中，則從特殊到一般，發(fā)展合情推理能力. 一般到特殊，再從特殊到一般，重點(diǎn)提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 通過具體的實(shí)例得到函數(shù)關(guān)系式，并對(duì)其進(jìn)行歸納、概括，抽象出“冪指對(duì)”函數(shù)的概念;借助具體函數(shù)的圖像歸納、性質(zhì)概括等過程，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算研究，以及利用此運(yùn)算研究函數(shù)圖像和性質(zhì)等過程，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要媒介.

[?]全面了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，預(yù)設(shè)單元教學(xué)的重難點(diǎn)

從知識(shí)整體結(jié)構(gòu)來看，本單元主要包括運(yùn)算（指數(shù)冪、對(duì)數(shù)）和函數(shù)（“冪指對(duì)”）兩方面的內(nèi)容，即指數(shù)和對(duì)數(shù)的概念、運(yùn)算性質(zhì)，以及“冪指對(duì)”函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)是本單元的教學(xué)重點(diǎn). 下面分別從這兩方面分析學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以及需通過單元學(xué)習(xí)達(dá)到的目標(biāo)，根據(jù)兩者的差距預(yù)設(shè)本單元學(xué)習(xí)過程中學(xué)生可能遇到的困難.

（1）從運(yùn)算內(nèi)容來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過實(shí)數(shù)、整數(shù)指數(shù)冪等相關(guān)知識(shí). 在研究指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的過程中，需要明確擴(kuò)充的原則是使“指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)成立”，再借助平方根、立方根等知識(shí)研究有理數(shù)指數(shù)冪，類比有理數(shù)逼近無理數(shù)的過程，將有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪. 此過程中，有理數(shù)指數(shù)冪可以看成n次方根，擴(kuò)充過程中有實(shí)際意義支撐，相對(duì)容易理解. 而實(shí)數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)充，雖然可以類比有理數(shù)拓展到無理數(shù)的過程，但無理數(shù)的產(chǎn)生有實(shí)際數(shù)學(xué)背景支撐，而無理數(shù)指數(shù)冪則很難有實(shí)際數(shù)學(xué)背景，所以對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充過程的理解，學(xué)生可能存在一定的困難.

（2）從函數(shù)內(nèi)容來看，《課標(biāo)》指出“可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖像和代數(shù)運(yùn)算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì)”，即從定性和定量兩個(gè)角度進(jìn)行研究. 初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了從定性（直觀感知圖像）的角度認(rèn)識(shí)具體函數(shù)（如一次、二次、反比例等函數(shù)）的性質(zhì);高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，“冪指對(duì)”函數(shù)作為一般函數(shù)的下位學(xué)習(xí)，遵循一般到特殊的研究方法，能更好地幫助學(xué)生理解和記憶. 但在實(shí)際問題抽象幾個(gè)函數(shù)關(guān)系式，歸納概括“冪指對(duì)”函數(shù)的概念，以及根據(jù)特殊的函數(shù)圖像歸納一般性質(zhì)的探索過程中，學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)“變化中的不變性”，故此過程對(duì)學(xué)生來說存在一定的難度. 再者，“冪指對(duì)”函數(shù)特殊的代數(shù)背景決定了代數(shù)運(yùn)算的方法貫穿整個(gè)研究過程，而從代數(shù)運(yùn)算角度發(fā)現(xiàn)并嚴(yán)格驗(yàn)證“冪指對(duì)”函數(shù)蘊(yùn)含的規(guī)律也是學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中較為缺乏的.

[?]全面把握《課標(biāo)》，分析單元教學(xué)目標(biāo)，整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)過程

單元教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置不僅與單元教學(xué)內(nèi)容的分析有關(guān)，也和學(xué)情、教材內(nèi)容等要素有密切聯(lián)系. 本文借助《課標(biāo)》設(shè)置“學(xué)習(xí)目標(biāo)+內(nèi)容要求+學(xué)業(yè)要求”的結(jié)構(gòu)分析單元教學(xué)目標(biāo)，以“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等行為動(dòng)詞劃分水平層次[3]. 單元教學(xué)目標(biāo)的分析是整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)過程的必備基礎(chǔ). 當(dāng)然，在教學(xué)的具體實(shí)施過程中還需要將單元目標(biāo)具體化、可操作化到課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，再依據(jù)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)[4]. 但本文只是從整體上設(shè)計(jì)單元教學(xué)過程，因此沒有涉及課時(shí)教學(xué)目標(biāo)及過程的分析.

1. 單元教學(xué)目標(biāo)的確定

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本單元的要求，確定“冪指對(duì)”函數(shù)的單元教學(xué)目標(biāo)為：

（1）借助根式的概念認(rèn)識(shí)有理數(shù)指數(shù)冪的拓展過程;類比有理數(shù)逼近無理數(shù)的過程，用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪;了解指數(shù)冪的拓展過程，并掌握其運(yùn)算性質(zhì).

（2）借助指數(shù)冪運(yùn)算理解對(duì)數(shù)概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道換底公式能將任意底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸思想方法.

（3）通過具體實(shí)例，畫出函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x的圖像，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù). 通過對(duì)冪函數(shù)的研究，體會(huì)從“背景—概念—圖像—性質(zhì)”研究具體函數(shù)的方法.

（4）通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的背景，理解其概念，并借助描點(diǎn)法或計(jì)算工具畫出特殊指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)研究具體函數(shù)的一般思路和數(shù)形結(jié)合思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

（5）通過具體實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并借助描點(diǎn)法或計(jì)算工具畫出特殊對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像;類比研究指數(shù)函數(shù)的過程探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以此解決一些實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

（6）通過比較同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，知道它們互為反函數(shù).

2. 基于代數(shù)運(yùn)算的“冪指對(duì)”函數(shù)單元教學(xué)過程

乘方即n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，其結(jié)果叫做冪，如23=8，符號(hào)抽象化為AB=C（A>0，且A≠1）. 如圖2所示，本單元正是以乘方運(yùn)算AB=C（A>0，且A≠1）為腳手架，從運(yùn)算（指數(shù)冪、對(duì)數(shù)）和函數(shù)（冪指對(duì)）兩個(gè)階段構(gòu)建教學(xué)過程，其中運(yùn)算又作為函數(shù)階段的知識(shí)基礎(chǔ).

（1）第一階段（運(yùn)算）.

在乘方運(yùn)算AB=C（A>0，且A≠1）中，給定三個(gè)量中的兩個(gè)，那么等式AB=C成為關(guān)于另一個(gè)量（未知量）的方程，具體可得三個(gè)方程：①23=x;②x3=8;③2x=8. 其中方程①是已學(xué)過的乘方運(yùn)算，方程②和③則是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算（開方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算）. 在此以方程②和③為基礎(chǔ)，構(gòu)建指數(shù)冪、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程.

從方程②出發(fā)，先研究n次根式，以此將整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，研究有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)r>s，當(dāng)正數(shù)a>1（或0as（或ar

①對(duì)于任意的正數(shù)a和正數(shù)u，若a>1（或01（或0

②對(duì)于任意的正數(shù)a和負(fù)數(shù)u，若a>1（或01）.

以此分析有理數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的推廣過程，既幫助學(xué)生了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握其運(yùn)算性質(zhì)，也為研究冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)做必要的知識(shí)準(zhǔn)備.

從方程③出發(fā)，將符號(hào)化問題抽象為一般問題：在等式ax=b（a>0，且a≠1）中，已知a，b，如何求x？以此定義與方程中x對(duì)應(yīng)的數(shù)，并用logab表示. 該過程從“乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算”“對(duì)應(yīng)”和“數(shù)的表示”三個(gè)角度分析了對(duì)數(shù)概念，揭示了對(duì)數(shù)概念的本質(zhì);借助指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系，可以根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)探究并推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和“化繁為簡”的思想推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式.

（2）第二階段（函數(shù)）.

在等式AB=C（A>0，且A≠1）中，如果只確定三個(gè)量中的一個(gè)為a，那么等式AB=C成為關(guān)于另外兩個(gè)量（未知量）的關(guān)系式. 若將兩個(gè)未知量分別看成自變量x或因變量y，則可得六個(gè)關(guān)系式：①y=ax;②ay=x;③y=xa;④ya=x;⑤xy=a;⑥yx=a. 對(duì)自變量x和常量a的范圍加以限制，使得六個(gè)關(guān)系式都滿足高中所學(xué)的函數(shù)定義.

首先，從它們之間的關(guān)系來看，①式和②式、③式和④式、⑤式和⑥式在形式上互為反函數(shù)（注意自變量x和常量a的取值范圍）. 但《課標(biāo)》只要求知道對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即①式和②式互為反函數(shù)，對(duì)其他情況則無具體要求. 事實(shí)上，借助反函數(shù)關(guān)系也不失為一個(gè)理解函數(shù)圖像和性質(zhì)的好方法，但高中學(xué)段重點(diǎn)研究的是具有基礎(chǔ)性作用的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，故對(duì)其他函數(shù)關(guān)系不作要求.

其次，從各自關(guān)系式出發(fā)，有：①式、②式分別對(duì)應(yīng)著兩種不同的函數(shù)模型（指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）;④式可以轉(zhuǎn)化為y=x，即③式和④式對(duì)應(yīng)著一種函數(shù)模型（冪函數(shù)）;⑤式利用對(duì)數(shù)及其換底公式可以轉(zhuǎn)化為y=，⑥式可以轉(zhuǎn)化為y=a，兩式均是復(fù)合函數(shù). 為此，本單元將研究①式、②式以及③式和④式兩式對(duì)應(yīng)的三個(gè)函數(shù)模型. 正是這樣的代數(shù)背景決定了可以用代數(shù)運(yùn)算的方法研究它們. 而當(dāng)a=-1，a=1或a=2時(shí)，③式是學(xué)生接觸過的函數(shù)，故先研究這一函數(shù)模型，可為其他函數(shù)的研究提供過程、思路以及方法上的指導(dǎo).

其一，對(duì)于冪函數(shù)而言，通過觀察五個(gè)特殊冪函數(shù)的圖像歸納概括其性質(zhì)后，可借助冪運(yùn)算基本不等式驗(yàn)證冪函數(shù)的性質(zhì). 對(duì)于一般的非零實(shí)數(shù)α，冪函數(shù)y=xα在x>0時(shí)才有意義，且對(duì)于在（-∞，0）有定義的冪函數(shù)，根據(jù)其奇偶性，也只需要研究x>0的圖像和性質(zhì)即可，故對(duì)于冪函數(shù)y=xα主要關(guān)心其在x>0時(shí)的圖像和性質(zhì).

①對(duì)任意的α>0和兩正數(shù)a>b，有0α=0，1α=1，aα>bα，可知當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)圖像恒過（0，0）和（1，1）兩點(diǎn)，在（0，+∞）有意義且遞增.

②對(duì)任意的α<0和兩正數(shù)a>b，有aα

其二，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）而言，利用代數(shù)運(yùn)算也可得到函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖像之間的一些關(guān)系.

①根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的定義可得指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域.

②由a0=1，log1=0可知指數(shù)函數(shù)圖像恒過（0，1），對(duì)數(shù)函數(shù)圖像恒過（1，0）.

③由冪運(yùn)算基本不等式可得：對(duì)任意的a>1和r>s，有ar>as;對(duì)任意的a<1和r>s，有ar1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)0

④由a-x=，可知函數(shù)y=ax與函數(shù)y=的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

⑤由y=ax可得x=logay，設(shè)（r，s）是y=ax圖像上的一點(diǎn)，則有s=ar，r=logas，即（r，s）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)（s，r）在函數(shù)y=logax的圖像上;反之也對(duì). 以此利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).

[?]結(jié)束語

“冪指對(duì)”函數(shù)單元內(nèi)容按照“運(yùn)算—背景—概念—圖像—性質(zhì)”的路徑安排學(xué)習(xí)，突出了運(yùn)算在函數(shù)研究中的基礎(chǔ)性作用，讓學(xué)生形成關(guān)注定性方法的同時(shí)，更要從定量的角度認(rèn)識(shí)具體函數(shù)性質(zhì)的嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣. 按照函數(shù)研究的一般方法，“冪指對(duì)”函數(shù)單元應(yīng)包括函數(shù)應(yīng)用這一內(nèi)容，即整體上呈現(xiàn)“總—分—總”的結(jié)構(gòu)，但考慮到單元課時(shí)量，將函數(shù)應(yīng)用作為另一單元內(nèi)容，呈現(xiàn)的則是“總—分”的結(jié)構(gòu). 本單元內(nèi)容按“先給‘森林，再見‘樹木”的思路設(shè)計(jì)，首先通過乘方運(yùn)算AB=C（A>0，且A≠1）中的兩個(gè)量或一個(gè)量的確定，引出指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及“冪指對(duì)”函數(shù)模型，讓學(xué)生整體感知本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即先見“森林”;其次根據(jù)“冪指對(duì)”函數(shù)單元的整體結(jié)構(gòu)，根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)、指數(shù)冪與冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)之間的聯(lián)系組織并安排教學(xué)，感知整體與局部以及局部間的關(guān)系，即根據(jù)“森林”再見“樹木”. 通過這樣的方式構(gòu)建“冪指對(duì)”函數(shù)單元教學(xué)，能更好地實(shí)現(xiàn)“整體大于局部之和”的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] ?章建躍. 用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究“冪指對(duì)”函數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（10）：1-11.

[3] ?章建躍. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（13）：5-12.

[4] ?劉春艷. 聚焦核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)——以高中“平面向量的運(yùn)算”單元為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（07）：49-53.