小學(xué)具，“深”學(xué)習(xí)

[摘? 要] 對(duì)于一部分已經(jīng)“會(huì)”的學(xué)生，學(xué)具操作變成了“滯后”的工具，完全體會(huì)不出它的價(jià)值所在。但若能深度挖掘這些簡(jiǎn)單學(xué)具的作用，把“單一”變“多元”，不僅能有效地把難以傳授的知識(shí)或難以解決的問(wèn)題更直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生理解知識(shí)，更能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)具;深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

新的課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。現(xiàn)在越來(lái)越多的課堂引入了直觀學(xué)具的教學(xué)，主要因?yàn)樗鼈兊谋憩F(xiàn)直觀，有助于理解算理，有助于思維，有益于問(wèn)題解決。因此，發(fā)揮學(xué)具作用到極致，不僅體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)方式的豐富與轉(zhuǎn)變上，同時(shí)也促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)方式，為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注入了生機(jī)與活力，提升了教師的專業(yè)素養(yǎng)。

一、挖掘?qū)W具本身的趣味性、直觀性、多樣性

學(xué)生伸手或跳一跳就能摘到的桃子，教師絕不要代勞，尤其是規(guī)律性的知識(shí)，一定是借助大量的操作自己“悟”出的。

學(xué)具操作：學(xué)具片（正方形片、圓片等）

課例1? 蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“和的奇偶性”

筆者讓學(xué)生用自己的方式先探索兩個(gè)數(shù)相加的奇偶性，就有學(xué)生用手上的正方形片擺出了這樣的圖示（圖1）。

這僅僅驗(yàn)證了1+1=2（奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)）;1+2=3（奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)）;2+2=4（偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)）。筆者借機(jī)問(wèn)：這個(gè)正方形片還能表示其他數(shù)相加的和的奇偶性嗎？學(xué)生思考后紛紛擺了出來(lái)（圖2）。

學(xué)生們從中發(fā)現(xiàn)偶數(shù)是一對(duì)一對(duì)出現(xiàn)的，奇數(shù)是有1個(gè)單個(gè)的。偶數(shù)和偶數(shù)相加，會(huì)“配對(duì)成功”;但是偶數(shù)和奇數(shù)相加，會(huì)有1個(gè)多出的;而奇數(shù)和奇數(shù)相加，原本兩個(gè)多出的合在一起正好“配成一對(duì)”。

此時(shí)，筆者再次做了延伸：這個(gè)規(guī)律適用于任意非0自然數(shù)的相加嗎，學(xué)生想到如下情況（圖3）。

知識(shí)的習(xí)得絕非是刻意地告知，如果教學(xué)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只是通過(guò)一串串枯燥的數(shù)據(jù)列舉去理解，學(xué)生的感觸是不深的，因?yàn)椤皼](méi)有反例”去被動(dòng)接受這些規(guī)律，所以沒(méi)有從根本上理解規(guī)律。但若通過(guò)正方形學(xué)具片的大量操作，借助學(xué)具的直觀性和可插入性，學(xué)生則能非常直觀地理解規(guī)律的本質(zhì)，真正地理解，就能真正地接納。

課例2? 蘇教版一年級(jí)上冊(cè)“數(shù)數(shù)”

筆者讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)出數(shù)“10個(gè)小朋友”的方法，有學(xué)生擺出10個(gè)圓片來(lái)表示數(shù)“10”。

筆者問(wèn)學(xué)生如何數(shù)的？能畫出你數(shù)的過(guò)程嗎？學(xué)生出現(xiàn)了兩種數(shù)的方法和過(guò)程（圖4、圖5）。

這是第一次出現(xiàn)群數(shù)，是學(xué)生自發(fā)引起的一種“數(shù)數(shù)”的思維：遇到數(shù)量多、又有一定排列規(guī)律的物體時(shí)，自主產(chǎn)生了群數(shù)。學(xué)生根據(jù)排列方式的不同，想出了兩種數(shù)法。圖5數(shù)的過(guò)程是多元化的：縱向看，2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù);橫向看，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)。學(xué)生在邊圈邊數(shù)的過(guò)程中就能感受到觀察方向的不同。也為后續(xù)學(xué)習(xí)乘法，對(duì)“5個(gè)2相加”“2個(gè)5相加”意義上的理解做鋪墊。

二、發(fā)掘操作過(guò)程中的有效性、建構(gòu)性、獨(dú)創(chuàng)性

學(xué)具操作強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，讓學(xué)生知其然更知其所以然。

學(xué)具操作：磁性圓片

課例3? 蘇教版一年級(jí)上冊(cè)“求未知加數(shù)”

教材中教學(xué)求加法算式中的未知加數(shù)，一方面是進(jìn)一步鞏固10的分與合的知識(shí)以及有關(guān)10的加減法計(jì)算，為學(xué)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法做準(zhǔn)備;另一方面是讓學(xué)生初步感受方程的思想，為五年級(jí)學(xué)習(xí)方程做鋪墊。

教材（圖6）是呈現(xiàn)10個(gè)格子的盒子，里面放了8個(gè)蘋果，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖意提出問(wèn)題：再放幾個(gè)能放滿？

參看五年級(jí)下冊(cè)教材（圖7），學(xué)生對(duì)方程的理解是通過(guò)天平的平衡與否去理解等式與方程。曹一鳴教授提出的代數(shù)思維框架中，在“代數(shù)作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言”中就提到了“用等價(jià)的符號(hào)表示處理公式、表達(dá)式、方程、不等式”。感受“=”兩邊的量（式）之間平等、對(duì)稱、平衡、等價(jià)的關(guān)系。由此可見(jiàn)，通過(guò)天平平衡與否去理解不等式、等式，能更直觀有效地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

教學(xué)時(shí)，筆者把教材直接呈現(xiàn)10格的盒子稍做改動(dòng)，改為出示兩堆圓片，讓學(xué)生思考：怎樣能一眼看出紅藍(lán)圓片哪個(gè)多一些（圖8）？

學(xué)生想出了兩種辦法（圖9、圖10）。

第一種是用“一一對(duì)應(yīng)”的方法去比較;第二種想到了擺到同樣的10格的格子里。學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)第二種方法不僅能一眼看出誰(shuí)多誰(shuí)少，還能一眼看出各自的數(shù)量。

此時(shí)教師進(jìn)一步提問(wèn)：如果把它們分別放在天平兩邊，你們覺(jué)得哪頭會(huì)往下沉？

學(xué)生畫出了如圖11的圖示。

另外，學(xué)生還想出了多種方法（圖12）。

知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)，既需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，還需要教師對(duì)教材的整體把握和深度解讀。教材只呈現(xiàn)了一道求未知加數(shù)的等式，讓學(xué)生根據(jù)給定的圖示去思考“盒子里應(yīng)該放幾個(gè)，括號(hào)里就填幾”。如果只是像這樣以陳述性的方式去傳授知識(shí)，學(xué)生是難以主動(dòng)介入和自主建構(gòu)不等式、等式、方程的知識(shí)框架的。

三、觸發(fā)學(xué)具背后思維的敏捷性、發(fā)展性、變通性

通常，學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)或在教師指導(dǎo)下接受知識(shí)，其主動(dòng)性較差，然而“自我轉(zhuǎn)換”需要學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行信息的加工，這也是學(xué)生“學(xué)會(huì)”的重要標(biāo)志。因此，教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)信息的自我轉(zhuǎn)換。如何讓每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷“真學(xué)習(xí)”呢？

學(xué)具操作：小棒

課例4? 蘇教版一年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)10”

本節(jié)課兩次利用小棒進(jìn)行深度教學(xué)。

片段1：借助“十進(jìn)制”理解“10”

筆者讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)對(duì)“10”這個(gè)數(shù)的理解時(shí)，有學(xué)生就擺出了10根小棒。接著筆者又帶領(lǐng)學(xué)生把板貼的小棒數(shù)好10根后捆成一捆。

通過(guò)1根和1捆小棒，觸發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：1根小棒可以用“1”來(lái)表示，“1捆”小棒也可以用“1”來(lái)表示（圖13）。

學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)一個(gè)是“1根”，一個(gè)是“1捆”，1捆其實(shí)就是10根。

然而，筆者在實(shí)驗(yàn)班級(jí)教學(xué)中都沒(méi)看到學(xué)生直接用“1捆”表達(dá)“10”的，都是拆成單根去擺，這主要源于學(xué)生在生活中缺乏對(duì)“1捆”的感受，對(duì)“十進(jìn)制計(jì)數(shù)”更是陌生。再者受之前學(xué)習(xí)的影響（所有數(shù)數(shù)的情況都是單個(gè)排列，沒(méi)有組合排列），學(xué)生不會(huì)想到用這種簡(jiǎn)明的方式去表達(dá)，因此需要教師去引導(dǎo)。筆者先通過(guò)圖示對(duì)比兩個(gè)“1”：一個(gè)是“1根（一）”，一個(gè)是“1捆（十）”，單位不同，讓學(xué)生對(duì)“位值制”有了初步感覺(jué)，如果統(tǒng)一單位都用“根（一）”來(lái)計(jì)數(shù)，后者就是10根（一）。其次通過(guò)觀察教師的操作、讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，切實(shí)感受到原來(lái)10個(gè)一是可以“捆成”1個(gè)十的，學(xué)生對(duì)“十進(jìn)制”的理解水到渠成。

片段2：通過(guò)“數(shù)線”理解“10”

經(jīng)歷了第一環(huán)節(jié)，學(xué)生用10個(gè)不同的物體來(lái)表示“10”后，筆者把原本“豎向”1根1根擺放表示“10”的小棒進(jìn)行“橫向”擺放，同時(shí)設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的問(wèn)題：第一個(gè)層次，讓學(xué)生感受到每向后延伸1根小棒，就產(chǎn)生一個(gè)數(shù)，越往后，小棒數(shù)越多，數(shù)也越大，這個(gè)層次是讓學(xué)生對(duì)“數(shù)線”的“前”“后”有直觀的感覺(jué)：“數(shù)線”越往前數(shù)越小，越往后數(shù)越大（圖14）。

第二個(gè)層次，理解一小段可以用“1”來(lái)表示，那么多大的一段可以用“10”來(lái)表示？學(xué)生通過(guò)用胳膊比畫，理解從第1個(gè)數(shù)數(shù)到第10個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)“10”表示第10根小棒;或者從起點(diǎn)到10這么長(zhǎng)的一段（十根），感悟基數(shù)詞與序數(shù)詞不同，同時(shí)聚焦對(duì)“數(shù)線”上的“10”更深一層的理解（圖15）。

第三個(gè)層次，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著小棒的增多，后面還應(yīng)該有更大的數(shù)，筆者在第10根小棒的右端，畫上了一個(gè)箭頭——“數(shù)線”，由此產(chǎn)生（圖16）。

一些中高年級(jí)的學(xué)生對(duì)“數(shù)線”上找相應(yīng)的小數(shù)、分?jǐn)?shù)存在困難，其主要原因在于第一次接觸這條抽象的直線時(shí)就不知道“數(shù)線”上每個(gè)數(shù)的意義和產(chǎn)生的由來(lái)。因此在第一次出現(xiàn)這條“數(shù)線”時(shí)，筆者就發(fā)揮小棒的作用：每一根小棒與每一根小棒的相連，讓學(xué)生直觀看到了數(shù)的延續(xù)，由此能在頭腦中展開(kāi)想象，初步建立“數(shù)線”的模型。這樣，學(xué)生在動(dòng)手操作、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，同時(shí)也在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生的實(shí)踐操作伴隨著問(wèn)題的發(fā)生與解決，數(shù)學(xué)思維自然植入其中，學(xué)具操作成為知識(shí)與思維融合的媒介，成為感性向理性升華的橋梁。教師應(yīng)致力于改變以往簡(jiǎn)單學(xué)具的簡(jiǎn)單操作，發(fā)揮學(xué)具操作的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)具操作成為促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的平臺(tái)，讓學(xué)生在“動(dòng)手做”的歷程中凸顯思維軌跡，提高思維能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

作者簡(jiǎn)介：王玉蓉（1986—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾榮獲全國(guó)新媒體和學(xué)科融合競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。