基于Lugre模型和自抗擾技術(shù)的穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

崔晨耕

（西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子工程學(xué)院，西安710000）

陀螺穩(wěn)定平臺(tái)利用陀螺感應(yīng)慣性空間轉(zhuǎn)速和平臺(tái)穩(wěn)定控制，隔離外界擾動(dòng)干擾，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)在慣性空間內(nèi)保持視軸穩(wěn)定，為相機(jī)、紅外探測(cè)器、激光器、測(cè)距儀等光學(xué)儀器提供穩(wěn)定環(huán)境，為實(shí)現(xiàn)清晰成像、測(cè)量提供一個(gè)慣性穩(wěn)定環(huán)境，已廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、無(wú)人機(jī)、車(chē)載、船載、移動(dòng)監(jiān)控、地理測(cè)繪等眾多領(lǐng)域。其中最為關(guān)鍵的技術(shù)之一是穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)，隨著載荷對(duì)應(yīng)用環(huán)境穩(wěn)定性的要求更為苛刻，對(duì)控制器的控制精度要求也越高。目前采用的控制方法主要包括PID 控制、自適應(yīng)控制、魯棒控制、滑膜控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制、自抗擾控制等。

自抗擾控制理論主要由跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)微分器、非線性組合控制律等構(gòu)成[1]。自抗擾控制器突破了線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的界限，同時(shí)打破了確定性和不確定性的界限，通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定擾動(dòng)的估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)補(bǔ)償，相比于基于誤差進(jìn)行PID 補(bǔ)償?shù)目刂撇呗?，其補(bǔ)償效率更高，突破了“基于誤差進(jìn)行補(bǔ)償”的局限。目前，自抗擾控制策略已在航空、航天、電力、交通、化工等多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用，受到多學(xué)科的廣泛關(guān)注，同時(shí)出現(xiàn)了多種改進(jìn)型自抗擾控制算法。文獻(xiàn)[2]等人針對(duì)控制系統(tǒng)的時(shí)滯問(wèn)題，提出利用自抗擾控制算法解決時(shí)滯問(wèn)題，并給出了自抗擾參數(shù)整定方法。文獻(xiàn)[3]將自抗擾控制算法應(yīng)用于永磁直線同步電機(jī)的控制中，提高電機(jī)轉(zhuǎn)速控制的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4]對(duì)自抗擾控制進(jìn)行改進(jìn)，引入濾波算法，提高陀螺穩(wěn)定平臺(tái)的控制經(jīng)度。文獻(xiàn)[5]將自抗擾控制應(yīng)用于快速反射鏡控制，提高快速反射鏡的角度跟蹤精度。

典型線性PID 控制器無(wú)法很好地克服摩擦、力矩不平衡等帶來(lái)的非線性力矩干擾，為了克服摩擦干擾，進(jìn)一步提升系統(tǒng)穩(wěn)定精度，本文運(yùn)用線性自抗擾控制器（active disturbance rejection control，ADRC），同時(shí)采用Lugre 摩擦補(bǔ)償模型，提出一種基于自抗擾技術(shù)的復(fù)合控制器。擾動(dòng)測(cè)試結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PI 控制器相比，該復(fù)合控制器具有更高的控制精度和抗擾能力。

1 控制對(duì)象模型

系統(tǒng)采用直流力矩電機(jī)作為動(dòng)力執(zhí)行機(jī)構(gòu)，將電機(jī)與平臺(tái)載荷作為一個(gè)整體對(duì)象，其等效模型如圖1所示?？刂茖?duì)象主要涉及3 個(gè)平衡方程[6]：

圖1 電機(jī)和平臺(tái)載荷等效模型Fig.1 Load equivalent model of motor and platform

式中：L表示力矩電機(jī)的電感值；R表示力矩電機(jī)的電阻值；I表示力矩電機(jī)中產(chǎn)生的電流；U表示電機(jī)輸入電壓值；J表示載荷的慣量；E表示反電動(dòng)勢(shì)；ω表示轉(zhuǎn)速；M表示輸出的扭轉(zhuǎn)力矩；Ce表示反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；Cm表示力矩系數(shù)；df表示摩擦力矩。

對(duì)電機(jī)平衡方程進(jìn)行拉氏變換，并進(jìn)行方程聯(lián)立獲得電機(jī)模型輸入輸出間的傳遞函數(shù)為

為提高伺服穩(wěn)定系統(tǒng)的響應(yīng)速度，一般會(huì)在速度控制環(huán)內(nèi)部設(shè)計(jì)電流環(huán)，電流環(huán)的響應(yīng)速度會(huì)遠(yuǎn)高于速度環(huán)，可將電流簡(jiǎn)化為一個(gè)比例環(huán)境，因此速度環(huán)的開(kāi)環(huán)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：dL表示其它未知擾動(dòng)；令f=df+dL，表示系統(tǒng)受到的內(nèi)部摩擦、外部擾動(dòng)等全部擾動(dòng)總和；令，則速度環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為

速度環(huán)控制對(duì)象可簡(jiǎn)化為如圖2所示，系統(tǒng)包含了一個(gè)積分環(huán)節(jié)，輸入端包括電機(jī)驅(qū)動(dòng)輸入、內(nèi)部摩擦和外界未知擾動(dòng)。

圖2 速度環(huán)控制對(duì)象簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)Fig.2 Simplified structure of speed loop control object

穩(wěn)定平臺(tái)主要分為兩框架穩(wěn)定結(jié)構(gòu)和三框架穩(wěn)定結(jié)構(gòu)兩類(lèi)，兩框架結(jié)構(gòu)一般包括方位軸和俯仰軸兩軸，三框架結(jié)構(gòu)一般包括方位軸、俯仰軸、橫滾軸三軸[7-9]。由于每個(gè)軸向的控制結(jié)構(gòu)基本相同，僅以其中方位軸為對(duì)象進(jìn)行建模，方位軸的速度閉環(huán)控制回路結(jié)構(gòu)框架如圖3所示。

圖3 控制回路結(jié)構(gòu)架Fig.3 Control loop structure frame

2 線性自抗擾控制器設(shè)計(jì)

在主控制回路的基礎(chǔ)上引入線性自抗擾控制器，線性自抗擾控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖中，ω0表示系統(tǒng)輸入的轉(zhuǎn)速命令值；C（s）表示速度控制器，采用經(jīng)典PI 控制器；G（s）表示被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。

圖4 線性自抗擾控制器原理圖Fig.4 Schematic diagram of linear ADRC

線性自抗擾控制器的主要原理是：當(dāng)系統(tǒng)有外部干擾輸入時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際對(duì)象和參考模型均有輸出，將實(shí)際輸出與參考模型輸出進(jìn)行作差，將輸出差值進(jìn)行等效處理后，反饋至輸入端，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的觀測(cè)和等效補(bǔ)償。與其它控制算法相比，線性自抗擾控制算法的優(yōu)勢(shì)在于在不影響系統(tǒng)原有穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，完成了對(duì)干擾力矩的觀測(cè)和補(bǔ)償[10-11]。另外，由于被控對(duì)象的實(shí)際模型中存在積分環(huán)節(jié)，線性自抗擾控制在對(duì)模型進(jìn)行逆運(yùn)算時(shí)，會(huì)帶入微分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)易將噪聲放大，從而造成系統(tǒng)振蕩，影響穩(wěn)定精度。為了解決這一問(wèn)題，引入了一個(gè)低頻濾波器，用于消除微分環(huán)節(jié)造成的高頻振蕩問(wèn)題。

擾動(dòng)觀測(cè)器（disturbance observer，DOB）是線性自抗擾控制器的核心部分，其將摩擦力矩、不平衡力矩、載體姿態(tài)擾動(dòng)等外部所有干擾因素，統(tǒng)一看作成 “擾動(dòng)總和”，將其看作為一個(gè)擴(kuò)張的狀態(tài)變量，通過(guò)對(duì)擾動(dòng)觀測(cè)器的合理設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)“總擾動(dòng)”的觀測(cè)和估計(jì)，將估計(jì)值作為補(bǔ)償量反饋至輸入端，實(shí)現(xiàn)對(duì)總擾動(dòng)的補(bǔ)償[12-13]。

首先建立系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)方程，表達(dá)式為

式中：狀態(tài)x1表示角度；狀態(tài)x2表示角速度；擴(kuò)張狀態(tài)x3表示干擾量。

可將擴(kuò)張狀態(tài)方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式為

將狀態(tài)x3表示為擾動(dòng)的擴(kuò)張狀態(tài)量，為擴(kuò)張狀態(tài)方程構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

式中：z1、z2、z3分別為擴(kuò)張狀態(tài)x1、x2、x3的觀測(cè)量，實(shí)現(xiàn)對(duì)擴(kuò)張狀態(tài)的估計(jì)。

該擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的特征方程可表示為

為保證狀態(tài)觀測(cè)器的穩(wěn)定性，需要保證其特征值是負(fù)數(shù)，由特征方程可知，只需要保證ω0為正值，則特征值則為負(fù)數(shù)。在ω0為正值的前提下通過(guò)調(diào)整其數(shù)值，即可保證觀測(cè)器穩(wěn)定的前提下，調(diào)整觀測(cè)器響應(yīng)速度，完成對(duì)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。

2.1 PD 控制器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)控制器主要由PD 控制器和干擾觀測(cè)補(bǔ)償構(gòu)成，通過(guò)干擾觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾量的估計(jì)，將干擾觀測(cè)量補(bǔ)償至系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知干擾量的補(bǔ)償，為了進(jìn)一步提升系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，控制器中同時(shí)引入PD 控制器。系統(tǒng)控制器的輸出主要由干擾觀測(cè)量和PD 控制器輸出兩部分構(gòu)成，控制器輸出可表示為[14]

式中：u表示PD 控制器，其表達(dá)式為[15]

式中：kP表示比例系數(shù)；kD表示微分系數(shù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

式中：ωc為控制系統(tǒng)的帶寬，僅需要通過(guò)調(diào)整ωc，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的調(diào)整。ωc越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越高，響應(yīng)的穩(wěn)定裕度會(huì)降低，應(yīng)保證足夠穩(wěn)定裕度的前提下，選擇合適的ωc值。

至此，控制系統(tǒng)主要僅需要調(diào)整ωc、ω0、b03 個(gè)參數(shù)，調(diào)整參數(shù)實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化，便于在實(shí)際工程中獲得應(yīng)用。

3 基于Lugre 的摩擦模型

為了進(jìn)一步提升對(duì)干擾力矩的抑制，控制方案中引入Lugre 摩擦模型進(jìn)行補(bǔ)償。Lugre 模型是在鬢毛摩擦模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，通過(guò)對(duì)摩擦模型的完善，其兼顧了摩擦的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性，能夠反應(yīng)出摩擦力矩在預(yù)滑動(dòng)狀態(tài)下的特性[16]。Lugre模型能夠同時(shí)反應(yīng)出摩擦力矩在預(yù)滑動(dòng)和滑動(dòng)兩個(gè)階段的特征，對(duì)預(yù)滑動(dòng)和滑動(dòng)之間進(jìn)行了平滑過(guò)渡，模型表達(dá)公式為[17]

為了能夠獲取摩擦力矩的具體估計(jì)值，需要辨識(shí)摩擦模型中的參數(shù)，摩擦公式中的參數(shù)主要分為靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)兩類(lèi)。其中，靜態(tài)參數(shù)主要反應(yīng)摩擦在滑動(dòng)階段的特性，動(dòng)態(tài)參數(shù)主要反應(yīng)摩擦在預(yù)滑動(dòng)階段的特性。靜態(tài)參數(shù)的辨識(shí)主要利用電機(jī)轉(zhuǎn)速與驅(qū)動(dòng)電壓之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，平臺(tái)進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩主要消耗在摩擦力矩上，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試出在不同轉(zhuǎn)速下，電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電壓值，從而擬合出平臺(tái)轉(zhuǎn)速和驅(qū)動(dòng)電壓之間的擬合曲線，利用擬合關(guān)系曲線推算出靜態(tài)參數(shù)。動(dòng)態(tài)參數(shù)反應(yīng)的是摩擦預(yù)滑動(dòng)狀態(tài)的特性，其屬于內(nèi)部變量，無(wú)法進(jìn)行直接的估算。可在預(yù)滑動(dòng)階段將系統(tǒng)近似看成彈性阻尼系統(tǒng)，利用預(yù)滑動(dòng)發(fā)生的微量角位移和驅(qū)動(dòng)力矩之間的關(guān)系對(duì)動(dòng)態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，預(yù)滑動(dòng)狀態(tài)下驅(qū)動(dòng)力矩與驅(qū)動(dòng)電壓基本成線性比例關(guān)系，可利用驅(qū)動(dòng)電壓表示電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩，利用微動(dòng)角位移與電壓之間的關(guān)系曲線實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)參數(shù)的估計(jì)。

引入Lugre 摩擦模型補(bǔ)償后的控制結(jié)構(gòu)如圖5所示，在速度控制回路的基礎(chǔ)上增加了摩擦補(bǔ)償環(huán)節(jié)，以提升系統(tǒng)擾動(dòng)的補(bǔ)償速度，提高抗擾能力。

圖5 引入Lugre 摩擦補(bǔ)償后的控制結(jié)構(gòu)Fig.5 Control structure after introducing Lugre friction compensation

4 測(cè)試結(jié)果

為了驗(yàn)證該穩(wěn)定控制方案的控制效果，對(duì)平臺(tái)進(jìn)行搖擺干擾，測(cè)試在干擾狀態(tài)下，平臺(tái)的穩(wěn)定精度。將平臺(tái)安裝于搖擺臺(tái)，對(duì)搖擺臺(tái)輸入典型的正弦干擾信號(hào)進(jìn)行測(cè)試，頻率為2 Hz，幅度為1°，驅(qū)動(dòng)搖擺臺(tái)進(jìn)行正弦搖擺晃動(dòng)。穩(wěn)定平臺(tái)分別采用典型PI 控制器和上文所述基于自抗擾的復(fù)合控制器，對(duì)比兩種控制器的干擾隔離效果，采集陀螺信號(hào)，獲得兩種控制器的穩(wěn)定殘差如圖6所示。由圖可知，基于自抗擾的復(fù)合控制器的穩(wěn)定精度明顯高于PI 控制器，與PI 控制器相比，平臺(tái)穩(wěn)定精度提升了20 dB左右。

圖6 搖擺干擾隔離測(cè)試結(jié)果Fig.6 Test results of rocking interference isolation

將搖擺臺(tái)的干擾頻率從0～3 Hz 依次增加，測(cè)試多個(gè)干擾頻率點(diǎn)下控制器的穩(wěn)定性能，不同干擾頻率下，與PI 控制隔離度相對(duì)比，復(fù)合控制器的隔離度統(tǒng)計(jì)如表1所示。由表中數(shù)據(jù)可知，在不同的頻率干擾下，基于自抗擾的復(fù)合控制器均能表現(xiàn)出較高的穩(wěn)定隔離度，驗(yàn)證了控制器在整個(gè)工作擾動(dòng)頻段內(nèi)均能保持良好的抗擾能力。

表1 PI 控制和復(fù)合控制的隔離度對(duì)比Tab.1 Comparison of isolation between PI control and compound control

為了對(duì)比基于自抗擾復(fù)合控制與PI 控制器的階躍響應(yīng)速度和穩(wěn)定收斂性，對(duì)兩種控制器分別進(jìn)行階躍響應(yīng)測(cè)試，響應(yīng)結(jié)果如圖7所示。由圖可見(jiàn)，基于自抗擾的復(fù)合控制器超調(diào)量更低，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度明顯更高，且具有較高的響應(yīng)速度。

圖7 階躍響應(yīng)測(cè)試結(jié)果Fig.7 Step response test results

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)陀螺穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定控制問(wèn)題，文中提出了一種基于Lugre 摩擦補(bǔ)償模型和自抗擾控制算法的復(fù)合控制器設(shè)計(jì)方案，首先針對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行建模，對(duì)控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行了論述，然后提出了線性自抗擾控制器的設(shè)計(jì)流程，另外為了進(jìn)一步補(bǔ)償軸系摩擦，引入Lugre 摩擦模型，并給出了模型參數(shù)辨識(shí)方法。最后，通過(guò)實(shí)際搖擺臺(tái)干擾試驗(yàn)，驗(yàn)證了該復(fù)合控制器在工作環(huán)境中的整個(gè)干擾頻段內(nèi)均具有良好的擾動(dòng)隔離能力。