Hardy空間上的Volterra型積分算子

胡 蓉

(1.四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000；2.武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

Volterra型積分算子在各類全純函數(shù)空間上的有界性和緊性問(wèn)題一直受到學(xué)者們的廣泛研究[1-12]。POMMERENKE首先刻畫(huà)了Jb在單位圓盤上Hardy空間H2上的有界性[1]；之后ALEMAN等研究了Jb在單位圓盤上Hardy空間、Bergman空間上的有界性和緊性問(wèn)題[2-4]。單位球上的相關(guān)結(jié)論首先是HU在文獻(xiàn)[5]中給出Jb在混合范數(shù)空間Hp,q(φ)上的有界性和緊性刻畫(huà)；接著LI等研究了Jb和Ib在單位球上Bergman空間、Bloch空間以及Hardy空間(p=2時(shí))上的有界性和緊性問(wèn)題[6-8]；AVETISYAN等給出了Jb和Ib在單位球上Hardy空間Hp到Hq(0

1 基本定義

記Bn為n上的單位球，H(Bn)表示Bn上的全純函數(shù)全體。任意b∈H(Bn)，Volterra型積分算子Jb及其伴侶算子Ib定義如下：

R(Ibf)(z)=Rf(z)b(z)z∈Bn

(1)

定義1設(shè)0

的函數(shù)構(gòu)成的全體為Hardy空間，記為Hp。

定義2H∞為H(Bn)中有界函數(shù)全體構(gòu)成的函數(shù)空間，且‖f‖H∞=sup{|f(z)|:z∈Bn}。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 面積定理及容許極大函數(shù)

任意ξ∈Sn，γ>1，容許進(jìn)近區(qū)域(也稱為Korányi區(qū)域)Γγ(ξ)定義為：

(2)

下面定理為著名的Calderón面積定理，原始定理見(jiàn)文獻(xiàn)[5,13]，后文將用到的以下版本見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

定理A 任意0

容許極大函數(shù)及其有界性結(jié)論如下[14]：

任意γ>1，f在Bn上連續(xù)，Sn上的容許極大函數(shù)Mγf定義為

定理B任意0

‖M(f)‖L p(Sn)≤C‖f‖H p

2.2 可分序列和格

對(duì)Bn中點(diǎn)列{ak}，若存在δ>0，使得任意不同兩點(diǎn)間的Bergman度量β(ai,aj)≥δ，則稱{ak}是可分的。關(guān)于單位球中δ-格的性質(zhì)[14]：任意0<δ<1，存在正整數(shù)N，可找到Bn中點(diǎn)列{ak}滿足，(a)同Bn=∪kD(ak,δ)；(b)集合D(ak,δ/4)兩兩互不相交；(c)Bn中的任意點(diǎn)z至多包含在N個(gè)集合D(ak,4δ)中。我們稱滿足上述性質(zhì)的點(diǎn)列{ak}為δ-格。

2.3 Khinchine和Kahane不等式

令φk(t)為Rademacher函數(shù)[15]。著名的Khinchine不等式[15]和Kahane不等式[15]如下：

定理C0

定理DX為Banach空間，0

2.4 序列Tent空間

的c={ck}所構(gòu)成。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)不同γ對(duì)應(yīng)的Γγ(ξ)所生成的Tent空間在等價(jià)的擬范數(shù)下相同，故我們?cè)赥ent范數(shù)中將不同γ對(duì)應(yīng)的Γγ(ξ)均表示為Γ(ξ)。

下面是關(guān)于序列Tent空間的對(duì)偶性[11]和分解定理[11]：

3 主要結(jié)果及證明

作為本文的主要結(jié)論，下面我們將給出Volterra型積分算子Ib的有界性和緊性的等價(jià)刻畫(huà)。首先給出算子Ib有界和緊的必要條件。

引理1設(shè)0

(a)若Ib:Hp→Hq為有界算子，則

(b)若Ib:Hp→Hq為緊算子，則

證明任意z∈Bn，令函數(shù)

顯然，‖fz‖H p=1，且在Bn的任意緊子集上當(dāng)|z|→1時(shí)fz一致收斂到0。根據(jù)Hardy空間上徑向?qū)?shù)的增長(zhǎng)估計(jì)以及(1)式可得：

又因?yàn)?/p>

從而

結(jié)論(a)得證。再根據(jù)|z|→1時(shí)fz的一致收斂性可證得結(jié)論(b)成立。

定理1設(shè)0

(a)算子Ib:Hp→Hp有界當(dāng)且僅當(dāng)b∈H∞，且

‖Ib‖H p→H p≈‖b‖H∞

(b)若0

(c)若0

證明(a)必要性由引理1以及最大模原理可得,且有

下面證明充分性。由定理A及(1)式可得：

即有‖Ib‖H p→H p≤C‖b‖H∞，從而根據(jù)b∈H∞可得Ib有界。

(c)0

其中

代入Ft的表達(dá)式，并對(duì)t從0到1積分，再結(jié)合Fubini定理，可得

利用定理D，并結(jié)合Fubini定理，可得

再利用定理C，可得

(3)

取任意

由(2)式及H?lder不等式可得

再結(jié)合(3)式可得

對(duì)μk所有可能的分解取下確定，并利用序列Tent空間的對(duì)偶性有

等價(jià)于

又因?yàn)門ent空間不依賴于區(qū)域Γγ(ξ)所對(duì)應(yīng)γ的選取，故由上式可得

再根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]中引理3，有

定理2設(shè)0

證明充分性顯然成立，故只需證必要性。

當(dāng)0

當(dāng)00且充分小，Z={ak}為Bn中的δ-格，記

(4)

設(shè){φk(t)}為Rademacher函數(shù)列，在(4)式中用{λkφk(t)}替換{λk}，并利用定理1中同樣的證明方法，可得

≤Cεq

根據(jù)ε的任意性，可得

這意味著b=0。定理得證。

4 結(jié)語(yǔ)

本文借助調(diào)和分析中的面積法和序列Tent空間的分解，給出對(duì)所有指標(biāo)0