中考中三角形面積問題的解決策略

龔輝

三角形的面積問題因變化多端、解法多樣，經(jīng)常出現(xiàn)在中考試卷上。三角形面積問題又經(jīng)常與動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合，產(chǎn)生兩大難點(diǎn)：一是導(dǎo)致了圖形的不確定性，考查分類思想以及對(duì)動(dòng)態(tài)圖形的想象和處理能力;二是會(huì)引入?yún)?shù)，考查含參坐標(biāo)或含參線段的運(yùn)算。倘若三角形的底和高均含參數(shù)，則三角形面積的代數(shù)式會(huì)呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系，中考時(shí)常?？勺鲞M(jìn)一步的研究，如最值問題、取值范圍和定值問題等。下面選取中考試卷中的幾道典型試題從三個(gè)角度進(jìn)行剖析。

一、直接利用面積公式

例1 （2020·山東濟(jì)南）如圖1，拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C。在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0

（1）求拋物線的表達(dá)式及C點(diǎn)坐標(biāo);

（2）連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，連接AM、OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1=2S2，求m的值。

【解析】（1）用待定系數(shù)法即可求解，易得y=-x2+2x+3，C（0，3）。

（2）∵E（m，0），

則M（m，-m2+2m+3）。

設(shè)直線BM的表達(dá)式為y=kx+b，

則[-m2+2m+3=km+b，0=3k+b，]

解得[k=-m-1，b=3m+3，]

故直線BM的表達(dá)式為

y=（-m-1）x+3m+3，

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3m+3，

故點(diǎn)N（0，3m+3），則ON=3m+3。

∵S1=[12]AE×yM=[12]×（m+1）×（-m2+2m+3），

∴2S2=ON·xM=（3m+3）×m

=S1=[12]×（m+1）×（-m2+2m+3），

解得m=-2±[7]或-1。

又∵0

∴m=[7]-2。

【點(diǎn)評(píng)】第（2）問中△AEM和△MON，均有一條邊是軸上線段（線段AE和ON）。求這樣的三角形面積，主要的解題策略就是直接運(yùn)用三角形的面積公式，用含參線段得到關(guān)于面積的方程后求解。本題的難點(diǎn)是含參表達(dá)式、含參坐標(biāo)和含參線段之間的轉(zhuǎn)化與運(yùn)算。

二、利用相似三角形轉(zhuǎn)化比例

例2 （2016·江蘇蘇州）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=[22]，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF。若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為（ ）。

A.2 B.[94] C.[52] D.3

【解析】連接AC，如圖3，易得S△ABC=4。

∵S四邊形ABCD=6，

∴S△ADC=2。

由E、F為AD、CD的中點(diǎn)，

可得EF∥AC，

∴△DEF∽△DAC，

∴S△DEF=[14]S△DAC=[12]。

∵S△BEF=S四邊形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△FED，

易知S△ABE+S△BCF=[12]S四邊形ABCD=3，

∴S△BEF=[52]。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】直接用三角形面積公式求△BEF的面積有一定的難度，因此考慮面積割補(bǔ)法：S△BEF=S四邊形BEDF-S△DEF。在計(jì)算△DEF的面積時(shí)，連接AC可達(dá)到一舉兩得的效果：一方面得到了等腰直角△ABC，另一方面可以構(gòu)造三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到S△DEF=[12]。我們總結(jié)的解題策略是：當(dāng)直接用面積公式求解困難時(shí)，不妨用面積割補(bǔ)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化;在求解時(shí)還可以優(yōu)先尋找相似三角形，利用面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)求解。

三、利用同底等高模型轉(zhuǎn)移比例

例3 （2020·四川成都）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）。

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）如圖4，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求[S1S2]的最大值。

【解析】（1）將A（-1，0），B（4，0），C（0，

-2）分別代入y=ax2+bx+c，得a=[12]，b=[-32]，c=-2，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=[12]x2-[32]x-2。

（2）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+n，將B（4，0），C（0，-2）代入，可得k=[12]，n=-2，∴直線BC的表達(dá)式為y=[12]x-2。

如圖5，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AK⊥x軸，交BC的延長線于點(diǎn)K，∴AK∥DG，∴△DFE∽△AKE，

∴[DFAK]=[DEAE]，

∴[S1S2]=[S△BDES△ABE]=[DEAE]=[DFAK]。

∵xA=xk=-1，∴yk=[-52]，即AK=[52]。

設(shè)點(diǎn)D（m，[12]m2[-32]m-2），

則DF=[-12]m2+2m。

∴[S1S2]=[-15]m2[+45]m=[-15]（m-2）2[+45]。

∴當(dāng)m=2時(shí)，[S1S2]有最大值，為[45]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的第（2）問有兩個(gè)難點(diǎn)：一是點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)，需要引入?yún)?shù)，如D的坐標(biāo)為（m，[12]m2[-32]m-2），DF=[-12]m2+2m等;二是兩個(gè)三角形的面積比該如何計(jì)算？觀察兩個(gè)三角形在圖形中的位置特征，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有一條邊是公共邊（同高模型，可命名為“共邊三角形”），如圖6中AD為△ABD和△ACD的“共邊”，關(guān)于面積的結(jié)論是[S△ABDS△ACD]=[BDCD]（如本題中的[S1S2]=[DEAE]），然后通過作高的方法將斜向線段改為軸向線段（即本題中[DEAE]=[DFAK]），方便與坐標(biāo)建立聯(lián)系，從而得到關(guān)于面積比的二次函數(shù)。

綜上可知，中考關(guān)于面積的問題通常有三條解決途徑可供選擇，由于題目背景、圖形類型、設(shè)問方法等變化較多，需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷整理、提煉和總結(jié)，形成行之有效的解題策略，從而在解題時(shí)游刃有余。