MATLAB 在常微分方程課程教學(xué)中的應(yīng)用

李 政，李希敏

（桂林師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計算機(jī)技術(shù)系，廣西桂林 541199）

常微分方程課程是大學(xué)數(shù)學(xué)等相關(guān)專業(yè)的核心課程，其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，很多與變化率相關(guān)的問題都可以用微分方程來解決。如：魚的捕撈、傳染病的傳播預(yù)測、人口增長的預(yù)測等[1]。在實際的課程教學(xué)中存在幾個急需解決的問題：一是很多的方程求解步驟煩瑣冗長，得到的解復(fù)雜，無法了解解的性質(zhì)；二是大部分方程可以證明其有解，卻無法求出精確的解，需要求方程的數(shù)值解，而數(shù)值解的計算量大，無法在課堂上完成，影響教學(xué)的完整性；三是繪制向量場是求方程近似解與研究方程解的性質(zhì)的重要手段，但是向量場的繪制計算量大，手工繪制的向量場誤差大，影響了對解的研究。本文以MATLAB 為工具，切實解決常微分方程課程教學(xué)中存在的這些問題。

一、MATLAB 的特點

MATLAB 是世界著名的數(shù)學(xué)軟件之一，它在符號運算與數(shù)值計算方面功能強(qiáng)大。MATLAB 可以進(jìn)行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于科學(xué)計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。矩陣是MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位，其指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，用MATLAB 來解數(shù)學(xué)問題要比用C、FORTRAN 等語言完成相同的事情簡單方便，MATLAB 同時吸收了像Maple 等軟件的優(yōu)點，成為一個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。

二、利用MATLAB 求微分方程的解析解并繪制積分曲線

很多微分方程的求解過程十分冗長，同時需要進(jìn)行各種復(fù)雜的變換處理，給微分方程的應(yīng)用帶來很大的麻煩，耗費了教師大量的課堂時間。利用MATLAB 可以快速求出方程的解析解，同時繪制積分曲線，便于對解的情況進(jìn)行研究。

例1：求微分方程的特解，并畫出積分曲線。

分析：在MATLAB 中可以調(diào)用函數(shù)dsolve（）求微分方程的通解和特解，其調(diào)用的一般格式為：dsolve（＇eq1，eq2…＇，＇cond1，cond2，…＇）。用fplot（）函數(shù)來繪制積分曲線圖，其調(diào)用格式為fplot（f，xinterval）。其中用Dy，D2y 分別表示y 的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)。MATLAB 求解的步驟如下：

syms x y；%定義x，y 為符號變量（便于求導(dǎo)）；y＝dsolve（＇D2y＋4*Dy＋29*y＝0＇，＇y（0）＝0＇，＇Dy（0）＝15＇，＇x＇）；%求解此微分方程在初始條件下的特解，得到結(jié)果如下：

這里exp 是常數(shù)e，再調(diào)用fplot（）繪制函數(shù)圖像[2]：

得到積分曲線如圖1 所示。

圖1 方程的積分曲線

整個求解過程簡單快速，并能精確地繪制出積分曲線，便于分析研究解的情況，節(jié)省大量的時間，可以提高課堂效率。

三、利用MATLAB 求微分方程的數(shù)值解

（一）微分方程的數(shù)值解的定義

設(shè)y（x）是初值問題的解：

y（x）的存在區(qū)間是[a，b]，令a＝x0＜x1＜x2＜…xn＝b，hk＝xk＋1-xk且h＝（b-a）／n，把h 稱為步長。假定y（x）的表達(dá)式很難求得，但是可以利用數(shù)值方法求得y（x）在點xk的值y（xk）的近似值，記為yk，也就是y（xk）≈yk，從而求得一組點集：（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），稱為微分方程的數(shù)值解。

（二）歐拉折線法求微分方程的數(shù)值解

歐拉折線法的核心是利用差分來近似微分，簡單地說是以直代曲，在很小的局部把曲線看成直線。根據(jù)歐拉折線法可以得到方程的數(shù)值解：

設(shè)節(jié)點為a＝x0＜x1…xn＝b，初值問題歐拉折線法為：

分析：可以看到，例2 的初值問題是無法找到方程的解析解的，利用歐拉折線在MATLAB中實現(xiàn)求方程的數(shù)值解如下：

可以看到，利用MATLAB 能快速求出微分方程的數(shù)值解，并繪制數(shù)值解的散點圖（見圖2），從而觀察到解的大致圖像。但是，在這里要注意：一般數(shù)值解的范圍比較?。ㄔ谶@里我們設(shè)定的間是［1，1.4］），否則誤差會比較大。

圖2 方程數(shù)值解的散點

四、利用MATLAB繪制微分方程的向量場

通過向量場可以近似積分曲線，還可根據(jù)向量場本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)，它是微分方程課堂教學(xué)中的重點內(nèi)容，可是在教學(xué)過程中向量場的繪制往往占用教師很多的時間。如果向量場中向量的繪制數(shù)量太少，就會看不到積分曲線的性質(zhì)與特征，這時可以利用MATLAB 繪制向量場，提高課程教學(xué)的效率。

分析：定義一個生成向量場數(shù)據(jù)的函數(shù)：

利用MATLAB 的quiver 函數(shù)繪制向量場，quiver 調(diào)用格式：quiver（X，Y，U，V）在由X和Y 指定的笛卡爾坐標(biāo)上繪制具有定向分量U 和V 的箭頭。

繪制向量場過程如下：

結(jié)果如圖3 所示：

圖3 向量場與積分曲線

通過向量場與積分曲線的對比，可以看到向量場近似方程的解，從而加深學(xué)生對向量場與積分曲線之間關(guān)系的了解，突出教學(xué)重點，提高課堂教學(xué)的效率。

五、結(jié)語

把MATLAB 強(qiáng)大的符號運算能力、精確的數(shù)值計算與豐富的繪圖功能應(yīng)用到常微分方程的課堂教學(xué)中，解決教學(xué)中求方程的解析解難、求數(shù)值解計算量大、繪制向量場不精確等問題，可以提高常微分方程課堂教學(xué)效率，促進(jìn)微分方程在實際中的應(yīng)用。