連續(xù)變量Einstein-Podolsky-Rosen 糾纏態(tài)光場在光纖信道中分發(fā)時(shí)糾纏的魯棒性*

趙豪 馮晉霞2)? 孫婧可 李淵驥2) 張寬收2)

1)(山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

2)(山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

Einstein-Podolsky-Rosen 糾纏態(tài)光場是實(shí)現(xiàn)基于光纖的連續(xù)變量量子信息處理的重要量子光源,其在光纖信道分發(fā)時(shí)會(huì)與信道相互作用發(fā)生解糾纏,影響量子信息處理的性能.本文利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)分析了Einstein-Podolsky-Rosen 糾纏態(tài)光場在單通道和雙通道光纖信道分發(fā)方案中,其初始態(tài)的關(guān)聯(lián)正交分量對(duì)稱性、模式對(duì)稱性、純度和光纖信道額外噪聲對(duì)傳輸距離、糾纏態(tài)光場的糾纏特性及魯棒性的影響.在單通道和雙通道方案中,光纖信道的額外噪聲都會(huì)引起糾纏態(tài)光場的解糾纏,隨著噪聲的增大,傳輸距離迅速減小.要保持Einstein-Podolsky-Rosen 糾纏態(tài)光場在光纖損耗信道中的糾纏魯棒性,雙通道方案比單通道方案對(duì)初始態(tài)的關(guān)聯(lián)正交分量對(duì)稱性和純度方面的要求更為苛刻.而且單光纖噪聲通道分發(fā)方案對(duì)模式對(duì)稱性參數(shù)不敏感,模式對(duì)稱性參數(shù)變化不會(huì)引起解糾纏,也不影響最大傳輸距離和糾纏魯棒性特征;在雙光纖噪聲通道分發(fā)時(shí),模式不對(duì)稱參數(shù)降低會(huì)減小最大傳輸距離,并出現(xiàn)糾纏突然死亡.

1 引言

連續(xù)變量量子糾纏態(tài)光場以其可以確定性產(chǎn)生、效率高的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于量子信息處理、量子通信網(wǎng)絡(luò)及量子精密測量等領(lǐng)域[1?3].Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)糾纏態(tài)光場作為一種兩組份的量子糾纏態(tài)光場,是以上量子協(xié)議和方案中采用的重要量子光源[4?6].而在這些協(xié)議或方案中,EPR 糾纏態(tài)光場不可避免地會(huì)與環(huán)境相互作用引起解糾纏甚至糾纏突然死亡(entanglement sudden death,ESD).連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場對(duì)環(huán)境損耗敏感,會(huì)影響到量子協(xié)議的實(shí)現(xiàn).因而研究連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場與環(huán)境相互作用時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)過程,在實(shí)際應(yīng)用中尤為重要.

任何量子系統(tǒng)都不可避免與周圍環(huán)境有相互作用,這樣的系統(tǒng)就是開放量子系統(tǒng).開放量子系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)過程一直是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.2004 年,美國羅切斯特大學(xué)的Yu 和Eberly[7]發(fā)現(xiàn)在兩原子系統(tǒng)中糾纏可以在有限的時(shí)間內(nèi)完全消失,這種現(xiàn)象被稱為ESD.之后,他們[8]進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并不是所有量子態(tài)都會(huì)發(fā)生ESD,它依賴于量子系統(tǒng)的初始狀態(tài).2007 年,巴西里約熱內(nèi)盧聯(lián)邦大學(xué)的Almeida 等[9]利用全光學(xué)裝置證實(shí)了即使每個(gè)系統(tǒng)的環(huán)境誘導(dǎo)的衰減是漸近的,量子糾纏也會(huì)發(fā)生ESD.西班牙巴塞羅那大學(xué)的Vidal和Tarrach[10]提出了糾纏魯棒性的概念,用于評(píng)估量子系統(tǒng)中糾纏穩(wěn)定性的保持能力.2009 年,巴西圣保羅大學(xué)的Ceolho 和Barbosa 等與他們德國馬普所的合作者在理論和實(shí)驗(yàn)上研究了在連續(xù)變量系統(tǒng)中兩組份和三組份糾纏的解糾纏[11,12],并對(duì)兩組份EPR 糾纏在理想損耗通道的糾纏魯棒性做出了詳細(xì)分析[13].2017 年,山西大學(xué)鄧曉瑋等[14]研究了三組份Greenberger-Horne-Zeilinger 糾纏態(tài)光場在自由空間信道中的解糾纏行為.2021 年,該研究小組又研究了EPR 量子導(dǎo)引在自由空間信道的ESD 現(xiàn)象[15].以上兩項(xiàng)工作中的噪聲信道采用電光調(diào)制器為光場加入額外噪聲起伏的方式模擬完成.相比較于自由空間信道,光纖信道可以與現(xiàn)有的經(jīng)典光纖通信系統(tǒng)高度兼容,成本也較低,是構(gòu)建城域量子通信網(wǎng)絡(luò)的最佳選擇[16?18].關(guān)于光纖信道與連續(xù)變量量子糾纏相互作用的動(dòng)力學(xué)過程的研究是重要且必要的.光纖信道并非理想損耗通道,信道中除了真空起伏引起的損耗外還存在額外噪聲,因此稱之為光纖噪聲通道[19,20].到目前為止,關(guān)于EPR 量子糾纏態(tài)光場在光纖噪聲信道中分發(fā)時(shí)的解糾纏及糾纏魯棒性等糾纏動(dòng)力學(xué)方面的研究未見報(bào)道.

本文首先分析了連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中分發(fā)的方案,并比較了分別在雙通道和單通道方案中,EPR 糾纏態(tài)光場與光纖信道相互作用時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)過程及其魯棒性,研究了EPR糾纏態(tài)光場的初始態(tài)關(guān)聯(lián)正交分量對(duì)稱性、模式對(duì)稱性、純度及光纖信道額外噪聲對(duì)傳輸距離、EPR糾纏態(tài)光場的解糾纏特性及魯棒性的影響.

2 理論分析

EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中分發(fā)傳輸?shù)姆桨溉鐖D1 所示,圖1(a)表示Charlie 處有一個(gè)EPR糾纏源,Charlie 采用兩個(gè)光纖信道分別將糾纏光束a 和b 發(fā)送給Alice 和Bob,稱之為雙通道方案.圖1(b)表示Charlie 處有1 個(gè)EPR 糾纏源,Charlie 與Alice 處于本地,Alice 保留糾纏光束a,Charlie 采用單個(gè)光纖信道將糾纏光束b 發(fā)送給Bob,稱之為單通道方案.

圖1 EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道的分發(fā)方案 (a)雙通道方案;(b)單通道方案Fig.1.Distribution scheme of EPR entangled state over optical fiber: (a) Dual-channel scheme; (b) single-channel scheme.

EPR 糾纏態(tài)光場的協(xié)方差矩陣為

在雙通道方案中,EPR 糾纏光束a 和b 分別在光纖信道分發(fā),光纖信道中由于損耗會(huì)引入真空噪聲.在量子協(xié)議中,EPR 糾纏態(tài)光場傳輸時(shí)一般需要攜帶與其頻率相同且相位一致的本底振蕩(local oscillator,LO)光,以便EPR 糾纏態(tài)光場來檢測和應(yīng)用.EPR 糾纏態(tài)光場與LO 光一般以偏振復(fù)用的方式耦合進(jìn)入光纖,又由于LO 光的功率一般較EPR 糾纏態(tài)光場的功率強(qiáng)1—2 個(gè)數(shù)量級(jí),因此它會(huì)與光纖中的聲子相互作用產(chǎn)生聲導(dǎo)波布里淵散射(guided acoustic wave Brillouin scattering,GAWBS),引起光纖信道中的布里淵散射場.經(jīng)過光纖信道傳輸后的糾纏光束分別記為a'和b',其光學(xué)模式分別可以寫為

式中,ηa(b)表示糾纏光束a(b)在光纖信道中的總的傳輸效率,,其中T表示光纖的耦合效率,La(b)表示糾纏光束a(b)在光纖信道中的傳輸距離,α為光纖傳輸損耗系數(shù);表示糾纏光束a(b)在光纖信道中傳輸時(shí)由GAWBS 現(xiàn)象引入的布里淵散射場.EPR 糾纏光束a 和b 的正交振幅和相位分量起伏分別表示為和,光纖信道中由損耗引入的真空噪聲起伏分量分別為,光纖中GAWBS 效應(yīng)引入的額外噪聲起伏分量為.因此,經(jīng)過光纖信道傳輸后的EPR 糾纏光束a'和b'的正交振幅分量起伏和正交相位分量起伏分別可以表示為

單通道方案中,EPR 糾纏光束a 保留在本地,糾纏光束b 在光纖信道分發(fā),此時(shí)ηa=1.

1)初始EPR 糾纏光束是一個(gè)理想的雙模壓縮態(tài).可以用r表示其壓縮因子.因此,EPR 糾纏光束的協(xié)方差矩陣公式(1)又可以表示為

其中協(xié)方差矩陣中的元素可以表示為s=(e?2r+e2r)/2,c=(e2r?e?2r)/2.

理想的雙模壓縮態(tài)光場經(jīng)過光纖傳輸后的協(xié)方差矩陣可以寫為

其中A=[ηas+(1?ηa)(Wa+1)]I,B=[ηbs+(1?ηb)(Wb+1)]I,C=分別表示經(jīng)過光纖傳輸以后EPR 糾纏光束a'和b'各自的協(xié)方差矩陣以及兩光束之間的關(guān)聯(lián)矩陣.I=,Z=.Wa(b)表示LO 光在光纖中由于激發(fā)GAWBS 效應(yīng)而引起的額外噪聲,Wa(b)==ηa(b)PLOεLa(b),其中PLO表示耦合進(jìn)入光纖中的LO 光的功率,ε為光纖中的布里淵散射系數(shù).

根據(jù)(5)式的協(xié)方差矩陣,計(jì)算經(jīng)過光纖傳輸后的EPR 糾纏態(tài)光場的部分轉(zhuǎn)置正定(positive partial transposition,PPT)判據(jù),它是連續(xù)變量量子糾纏的充分必要判據(jù)[21].當(dāng)WPPT<1 時(shí),經(jīng)過光纖傳輸后的EPR糾纏態(tài)光場的兩個(gè)模存在糾纏,此時(shí)EPR 糾纏態(tài)在光纖信道中具有魯棒性,不會(huì)發(fā)生解糾纏現(xiàn)象.因此,通過PPT 值可以衡量EPR 糾纏態(tài)光場經(jīng)過光纖信道傳輸后其糾纏特性及魯棒性的變化情況.光纖信道可以分為只有損耗沒有額外噪聲的光纖損耗信道和有損耗、額外噪聲Wa(b)存在的噪聲信道.而初始糾纏態(tài)光場的魯棒特性是可以通過產(chǎn)生的初始糾纏態(tài)光場的兩個(gè)模式在任意光纖傳輸距離下均會(huì)保持糾纏特性,即對(duì)?La(b),WPPT(La,Lb)<1來判斷,此時(shí)為完全魯棒態(tài);除了完全魯棒態(tài)區(qū)域,對(duì)于任意單個(gè)模式在任意光纖傳輸距離下保持糾纏特性,即對(duì)?La(b),WPPT(La(b),Lb(a)=0)<1,則為部分魯棒態(tài);對(duì)于單個(gè)模式或兩個(gè)模式在光纖中傳輸?shù)揭欢ň嚯x時(shí),即在部分損耗下出現(xiàn)解糾纏,則為脆弱態(tài);當(dāng)初始態(tài)可分離時(shí),它在光纖傳輸中自然保持著可分離的狀態(tài),則為可分態(tài).

2)初始EPR 糾纏光束是關(guān)聯(lián)正交分量不對(duì)稱的非純態(tài)雙模壓縮.通常實(shí)驗(yàn)制備的EPR 糾纏光束會(huì)由于產(chǎn)生過程中存在聲子噪聲等非關(guān)聯(lián)噪聲,導(dǎo)致糾纏態(tài)的兩個(gè)關(guān)聯(lián)正交分量非對(duì)稱性而且其純度不純等特征,這類EPR 糾纏光束與理想的雙模壓縮態(tài)在光纖信道中傳輸時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)演化并不相同.

糾纏態(tài)的兩個(gè)關(guān)聯(lián)正交分量具有非對(duì)稱性,于是EPR 糾纏光束的協(xié)方差矩陣公式(1)中的子矩陣可以表示為σab=,其中γ=(e2r+δ?e?2r)/2,δ即由經(jīng)典的非關(guān)聯(lián)噪聲引起的附加項(xiàng).κ值的變化范圍從0 到1,表示糾纏態(tài)的兩個(gè)關(guān)聯(lián)正交分量的非對(duì)稱性.當(dāng)κ=1 時(shí),表示糾纏態(tài)的兩個(gè)正交分量之間具有完全對(duì)稱性.EPR 糾纏態(tài)純度的定義為:μ=e2r/(e2r+δ),μ=1 時(shí)表示系統(tǒng)不存在非關(guān)聯(lián)噪聲,此時(shí)EPR 糾纏光束純度最大.因此,關(guān)聯(lián)正交分量不對(duì)稱且非純態(tài)EPR糾纏態(tài)光場的協(xié)方差矩陣可以表示為

其中α=(e?2r+e2r+δ)/2.

該糾纏態(tài)光場經(jīng)過光纖傳輸后的協(xié)方差矩陣可以寫為

其中,A1=[ηaα+(1?ηa)(Wa+1)]I,B1=[ηbα+(1?ηb)(Wb+1)]I,C1=分 別表示經(jīng)過光纖信道傳輸以后EPR 糾纏光束a'和b'各自的協(xié)方差矩陣以及兩光束之間的關(guān)聯(lián)矩陣.

根據(jù)(10)式表示的協(xié)方差矩陣,可計(jì)算出經(jīng)過光纖傳輸后的EPR 糾纏態(tài)光場的PPT 值為

通過設(shè)置初始糾纏態(tài)光場的關(guān)聯(lián)正交分量的非對(duì)稱性參數(shù)κ和糾纏純度μ,可以模擬輸入光纖信道的初始EPR 糾纏態(tài)光場類型不同時(shí),其在光纖信道中的糾纏動(dòng)力學(xué)演化特性及對(duì)信道的魯棒性.當(dāng)小于1 時(shí),表明EPR 糾纏態(tài)經(jīng)過光纖信道傳輸后具有魯棒性,沒有發(fā)生解糾纏現(xiàn)象.通過設(shè)置ηa和ηb的取值,可比較其在單通道方案(ηa≤1,ηb=1)和雙通道方案(ηa≤1,ηb≤1)中的解糾纏行為、魯棒性特征隨著光纖信道傳輸距離的動(dòng)力學(xué)演化過程.

3)初始EPR 糾纏光束是模式間不對(duì)稱的雙模壓縮態(tài).模式間的不對(duì)稱主要是EPR 糾纏光束的兩個(gè)模(a 模和b 模)之間引入的經(jīng)典損耗不同所導(dǎo)致的,這種不對(duì)稱的特征較為常見,甚至在有些量子協(xié)議中需要對(duì)EPR 糾纏光束中的一束進(jìn)行操控,從而引起兩個(gè)模式的不對(duì)稱,因此,有必要討論初始態(tài)模式不對(duì)稱的EPR 糾纏光束在光纖中的傳輸特性.EPR 糾纏態(tài)光束模式間的不對(duì)稱性可以認(rèn)為是EPR 糾纏光束中一個(gè)模式a 引入了經(jīng)典損耗,因此,這個(gè)模式可以等效為透射率為η的分束器模型.此時(shí),初始EPR 糾纏態(tài)光束的協(xié)方差矩陣公式可以表示為

該糾纏態(tài)光場經(jīng)過光纖傳輸后的協(xié)方差矩陣可以寫為

其中,A2=[ηaη(α?1)+(1?ηa)Wa+1]I,B2=[ηbα+(1?ηb)(Wb+1)]I,C2=分別表示經(jīng)過光纖傳輸以后EPR 糾纏光束a'和b'各自的協(xié)方差矩陣以及兩光束之間的關(guān)聯(lián)矩陣.

根據(jù)(15)式表示的協(xié)方差矩陣,可計(jì)算出經(jīng)過光纖傳輸后的EPR 糾纏態(tài)光場的PPT 值為

通過設(shè)置初始糾纏態(tài)光場的模式間的非對(duì)稱性參數(shù)η,模擬當(dāng)輸入光纖信道的初始EPR 糾纏態(tài)光場為模式間的不對(duì)稱EPR 糾纏態(tài)時(shí),其在光纖信道中的糾纏動(dòng)力學(xué)演化特性及對(duì)信道的魯棒性.當(dāng)小于1 時(shí),表明EPR 糾纏態(tài)經(jīng)過光纖信道傳輸后具有魯棒性,沒有發(fā)生解糾纏現(xiàn)象.通過方程(16)—(18),可以分析該類型EPR 糾纏態(tài)分別經(jīng)過單通道和雙通道光纖信道傳輸方案后的解糾纏行為、魯棒性特征隨著光纖信道傳輸距離的動(dòng)力學(xué)演化過程.

3 結(jié)果及討論

當(dāng)初始EPR 糾纏光束是一個(gè)理想的雙模壓縮態(tài)時(shí),根據(jù)(6)—(8)式可以計(jì)算EPR 糾纏光束經(jīng)過光纖信道傳輸后的PPT 值.由于實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)制備出糾纏度為–5 dB 的EPR 糾纏光束,之后的理論計(jì)算均設(shè)置–5 dB 糾纏度的EPR 糾纏光束為初始態(tài),以便為后續(xù)實(shí)驗(yàn)提供依據(jù).EPR 糾纏態(tài)的糾纏度為–5 dB,對(duì)應(yīng)的壓縮因子r=0.576.光纖的耦合效率T=0.85,在1550 nm 處的光纖傳輸損耗系數(shù)α=0.2 dB/km,根據(jù)糾纏光束a(b)通過的光纖信道傳輸距離La(b)可以計(jì)算出光纖總的傳輸效率ηa(b),光纖中布里淵散射系數(shù)ε=0.35 W–1·m–1.由于在光纖信道中傳輸時(shí),在相同的傳輸距離下LO 光功率是決定光纖信道中額外噪聲大小的主要因素,因此,本文討論了在不同LO 光功率注入光纖信道時(shí)EPR 糾纏態(tài)的傳輸特性,如圖2 所示.

圖2 理想EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的傳輸特性 (a) LO 光功率為0 mW;(b) LO 光功率為0.05 mW;(c) LO 光功率為0.1 mW;(d) LO 光功率為0.2 mWFig.2.Transmission characteristics of ideal EPR entangled state over optical fiber channel:(a) The power of the LO is 0 mW;(b) the power of the LO is 0.05 mW;(c) the power of the LO is 0.1 mW;(d) the power of the LO is 0.2 mW.

圖2 中橫坐標(biāo)是糾纏光束a 和b 分別通過光纖信道的傳輸距離La和Lb,縱坐標(biāo)是經(jīng)過光纖信道傳輸后EPR 糾纏態(tài)的PPT 值.圖2(a)表示光纖信道中注入LO 光功率為0 時(shí)的情況,此時(shí)光纖信道可以看作一個(gè)理想的損耗信道,不存在額外噪聲.從圖2(a)可以看出,隨著光纖信道距離La和Lb的無限增加,EPR 糾纏光束具有魯棒性,PPT值始終小于1,不發(fā)生解糾纏.圖2(b)—(d)分別表示光纖信道中注入LO 光功率為0.05,0.1 與0.2 mW 時(shí)的情況,此時(shí)光纖信道是一個(gè)噪聲信道,由于信道中存在LO 光場進(jìn)而引起了額外噪聲.可以看出,EPR 糾纏態(tài)會(huì)在光纖噪聲信道中傳輸時(shí)會(huì)發(fā)生解糾纏,隨著LO 光功率的增加,發(fā)生解糾纏的傳輸距離減小.也就是說,EPR 糾纏態(tài)在光纖中可傳輸?shù)木嚯x隨著LO 光功率的增加而迅速減小.此時(shí)討論的為雙通道傳輸方案,LO 光功率為0.05,0.1 與0.2 mW 時(shí),EPR 糾纏光束在雙光纖通道中傳輸?shù)目偩嚯x分別為40,29.56 與21.26 km.當(dāng)傳輸距離繼續(xù)增加時(shí),EPR 糾纏態(tài)發(fā)生解糾纏.根據(jù)(6)—(8)式也可以計(jì)算EPR 糾纏光束中一束b 經(jīng)過光纖信道傳輸?shù)膯瓮ǖ婪桨傅腜PT 值,此時(shí)ηa=1 .計(jì)算可得,在單通道方案下,EPR 糾纏光束在光纖損耗信道傳輸時(shí),EPR 糾纏光束具有魯棒性,不發(fā)生解糾纏,與雙通道方案保持一致;在光纖噪聲信道傳輸時(shí),LO 光功率增加為0.05,0.1 和0.2 mW 時(shí),EPR 糾纏光束在光纖中傳輸距離分別為30.36,23.35 和17.49 km.在兩種方案中,通過降低LO 光功率均可實(shí)現(xiàn)EPR 糾纏態(tài)在光纖中傳輸更長的距離.但在實(shí)驗(yàn)中,并不能無限降低LO 光功率.目前,當(dāng)LO 光功率為0.1 mW時(shí),用于探測傳輸后EPR 糾纏光束量子起伏特性的平衡零拍探測(balanced homodyne detection,BHD)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)散粒噪聲基準(zhǔn)可以達(dá)到高于電子學(xué)噪聲10 dB,此時(shí)才會(huì)避免電子學(xué)噪聲對(duì)BHD系統(tǒng)測量的噪聲功率譜產(chǎn)生影響.繼續(xù)降低LO 光功率,需要更高增益、更低噪聲的探測裝置.

當(dāng)初始EPR 糾纏光束是關(guān)聯(lián)正交分量不對(duì)稱的非純態(tài)雙模壓縮時(shí),根據(jù)(11)—(13)式計(jì)算了該類EPR 糾纏光束經(jīng)過光纖信道傳輸后的值,如圖3 所示.計(jì)算中所用參數(shù)除上述提及外,LO光功率取值為0.1 mW.圖3(a)和圖3(b)分別表示單通道和雙通道傳輸方案,橫坐標(biāo)為EPR 糾纏光束的關(guān)聯(lián)正交分量非對(duì)稱性參數(shù)κ,縱坐標(biāo)為EPR 糾纏光束的糾纏純度μ,圖中不同顏色區(qū)域表示在相應(yīng)的κ和μ參數(shù)下,EPR 糾纏光束在光纖信道中可以傳輸?shù)淖畲髠鬏斁嚯x,此時(shí)對(duì)應(yīng)的傳輸后的EPR 糾纏光束的值等于1.可以看出,EPR 糾纏光束在兩種傳輸方案中都會(huì)發(fā)生解糾纏,且雙通道方案傳輸總距離較長.當(dāng)κ=1 時(shí),表示初始EPR 糾纏態(tài)的關(guān)聯(lián)正交分量相等時(shí),在兩種方案中糾纏純度的變化對(duì)傳輸距離影響較小;隨著κ值的下降,糾纏純度的變化對(duì)傳輸距離的影響越來越大.由于LO 光功率在光纖信道引入額外噪聲,此時(shí)光纖信道為噪聲信道,在兩種傳輸方案中,EPR 糾纏光束在傳輸一定距離后均發(fā)生解糾纏,不具有魯棒性.當(dāng)μ=1 時(shí),表示初始EPR 糾纏態(tài)為純態(tài)時(shí),在兩種方案中關(guān)聯(lián)正交分量非對(duì)稱性的變化對(duì)傳輸距離均有較大的影響;隨著μ值的下降,κ值的變化對(duì)傳輸距離影響越來越大.當(dāng)μ值下降到小于等于0.6 時(shí),初始EPR 糾纏態(tài)光場已經(jīng)為可分態(tài),不具有糾纏特性.

圖3 關(guān)聯(lián)正交分量不對(duì)稱的EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的傳輸特性 (a)單光纖通道;(b)雙光纖通道Fig.3.Transmission characteristics of EPR entangled state with asymmetric quadratures over optical fiber channel:(a) Single-fiberchannel situation;(b) dual-fiber-channel situation.

當(dāng)初始EPR 糾纏光束是模式間不對(duì)稱的雙模壓縮態(tài)時(shí),根據(jù)(16)—(18)式計(jì)算EPR 糾纏光束經(jīng)過光纖信道傳輸?shù)闹?研究其模式不對(duì)稱參數(shù)η對(duì)EPR 糾纏光束傳輸特性的影響,如圖4所示.圖4(a)和圖4(b)分別表示單通道和雙通道傳輸方案,橫坐標(biāo)為光纖傳輸距離,縱坐標(biāo)為EPR糾纏光束的不對(duì)稱參數(shù)η,圖中不同顏色區(qū)域表示不同的值,紅色曲線表示值等于1.

圖4 模式不對(duì)稱的EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的傳輸特性 (a)單光纖通道;(b)雙光纖通道Fig.4.Transmission characteristics of EPR entangled state with asymmetric modes over optical fiber channel:(a) Single-fiber-channel situation;(b) dual-fiber-channel situation.

從圖4(a)可以看出,單通道方案中EPR 糾纏態(tài)光束中的一束在光纖信道中的最大傳輸距離為23.35 km,且最大傳輸距離并不隨著η的變化發(fā)生變化.也就是說,對(duì)EPR 糾纏態(tài)光束保留在本地的一束進(jìn)行操控并引入透射系數(shù)η時(shí),不會(huì)改變另一束的最大傳輸距離,EPR 糾纏態(tài)光束也不會(huì)發(fā)生解糾纏行為,但兩束光之間的糾纏度會(huì)隨著η的減小而降低.圖4(b)雙通道方案中EPR 糾纏態(tài)光束在光纖信道兩臂的最大傳輸總距離為29.54 km,但雙通道方案中值對(duì)η敏感,隨著η的減小,EPR 糾纏態(tài)光束在光纖中的最大傳輸距離迅速減小,還會(huì)引起ESD 現(xiàn)象.因此,雙通道方案盡管傳輸距離較長,但是對(duì)該類初始EPR 糾纏態(tài)的要求較高.例如,當(dāng)傳輸距離為23 km 時(shí),在雙通道方案中,值隨著η的降低而增加,當(dāng)η的值降低到0.387 以下時(shí),值就大于1,發(fā)生解糾纏;而在單通道方案中,值隨著η的降低而增加,但始終小于1,不會(huì)發(fā)生解糾纏.這對(duì)基于光纖信道傳輸?shù)拈L距離點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的量子通信協(xié)議具有重要的意義.如果在本地操控量子態(tài)中的一束,比如在量子離物傳態(tài)、量子導(dǎo)引等量子協(xié)議方案中,對(duì)其中的一束量子態(tài)進(jìn)行操控,從而提高量子離物傳態(tài)或者量子導(dǎo)引的性能,這時(shí)候單通道方案就是一種理想的方案,對(duì)本地的量子態(tài)操控不會(huì)引起傳輸距離的減小.而如果采用雙通道方案的話,對(duì)其中一束操控必然會(huì)降低其傳輸距離甚至?xí)鸺m纏突然死亡.

在量子密鑰分發(fā)方案中,通常會(huì)將本底光與EPR 糾纏光束通過時(shí)分復(fù)用等方法耦合進(jìn)入光纖信道,從而可以大幅降低本底光在光纖信道中引入的額外噪聲[22,23],此時(shí)可近似認(rèn)為光纖信道為損耗通道,于是有Wa(b)=0.利用(11)—(13)式計(jì)算<1,?La(b)與<1,?La(b)的情況,可以計(jì)算出在不同κ和μ的情況下,經(jīng)過任意長度的光纖信道傳輸后EPR 糾纏態(tài)的糾纏特性演化,如圖5 所示.圖5(a)中區(qū)域I 表示經(jīng)過任意長度的光纖信道傳輸?shù)腅PR 糾纏態(tài)為完全魯棒態(tài),在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的EPR 糾纏態(tài)光場在單通道方案或雙通道方案中均不會(huì)發(fā)生解糾纏,與圖2(a)的結(jié)論完全一致.圖5(a)中區(qū)域II 表示經(jīng)過任意長度的光纖信道傳輸?shù)腅PR 糾纏態(tài)為部分魯棒態(tài),這個(gè)區(qū)域內(nèi)的糾纏態(tài)光場在單通道方案中不會(huì)發(fā)生解糾纏現(xiàn)象,而在雙端通道方案中會(huì)發(fā)生解糾纏;圖5(b)為在區(qū)域II 任取一點(diǎn)(μ=0.6,κ=0.4)時(shí),EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的傳輸特性.從圖5(b)可以看出,只是單光纖通道傳輸時(shí),EPR 糾纏態(tài)光場可以在光纖信道中傳輸而不發(fā)生解糾纏,光纖信道的距離為100 km,且繼續(xù)增加傳輸距離至104km,EPR 糾纏態(tài)光場仍具有魯棒性,理論計(jì)算表明傳輸距離可以無限增加但不破壞其魯棒性;而在雙光纖通道傳輸時(shí),傳輸距離約在幾十千米處就發(fā)生了解糾纏.區(qū)域II 的所有點(diǎn)均具有這樣的特性,因此,區(qū)域II 部分魯棒態(tài)的特性說明單通道方案對(duì)初始EPR 糾纏態(tài)的純度要求更低一些,并不一定是理想的EPR 糾纏態(tài)才能滿足其在光纖信道的魯棒性傳輸,關(guān)聯(lián)正交分量不對(duì)稱的EPR 非純態(tài)利用單通道方案也可以實(shí)現(xiàn)其在光纖信道的魯棒性傳輸.圖5(a)中區(qū)域III 表示經(jīng)過任意長度的光纖信道傳輸?shù)腅PR 糾纏態(tài)為脆弱態(tài),這個(gè)區(qū)域內(nèi)的EPR 糾纏態(tài)光場在單通道方案或雙通道方案中都會(huì)發(fā)生解糾纏.圖5(c)為在區(qū)域III 任取一點(diǎn)(μ=0.6,κ=0.3)時(shí),EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的傳輸特性.從圖5(c)可以看出,在傳輸距離約20 km 時(shí),EPR 糾纏態(tài)光場就發(fā)生解糾纏,不具有魯棒性.區(qū)域III 的所有點(diǎn)均具有這樣的特性.圖5(a)中區(qū)域IV 表示EPR糾纏態(tài)為可分態(tài),當(dāng)μ值下降到小于等于0.6 時(shí),初始EPR 糾纏態(tài)光場不管在光纖信道傳輸與否都是可分態(tài),不具有糾纏特性.

圖5 EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中的魯棒性 (a) 0≤μ≤1,0≤κ≤1;(b) μ=0.6,κ=0.4;(c) μ=0.6,κ=0.3Fig.5.Robustness of EPR entangled state over optical fiber channel:(a) 0≤μ≤1,0≤κ≤1;(b) μ=0.6 ,κ=0.4;(c)μ=0.6,κ=0.3.

4 結(jié)論

本文研究了連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場在光纖信道中分發(fā)時(shí)EPR 糾纏態(tài)光場與光纖信道相互作用時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)過程及其魯棒性.分析比較了3 種類型初始EPR 糾纏態(tài)光場分別在單光纖通道和雙光纖通道分發(fā)時(shí)的不同情況,從光纖信道傳輸距離、糾纏態(tài)光場的解糾纏特性以及魯棒性等方面進(jìn)行討論.并研究了光纖信道的額外噪聲對(duì)糾纏態(tài)光場的影響,在單通道和雙通道方案中光纖信道的額外噪聲都會(huì)引起糾纏態(tài)光場的解糾纏,隨著噪聲的增大,傳輸距離迅速減小.要保持EPR 糾纏態(tài)光場在光纖損耗信道中的糾纏魯棒性,雙通道方案比單通道方案對(duì)初始態(tài)的關(guān)聯(lián)正交分量對(duì)稱性和純度方面的要求更為苛刻.而且單光纖噪聲通道分發(fā)方案對(duì)模式對(duì)稱性參數(shù)不敏感,模式對(duì)稱性參數(shù)變化不會(huì)引起解糾纏,也不影響最大傳輸距離和糾纏魯棒性特征;在雙光纖噪聲通道分發(fā)時(shí),模式不對(duì)稱參數(shù)降低會(huì)減小最大傳輸距離,并出現(xiàn)糾纏突然死亡.本文的結(jié)果為基于光纖連續(xù)變量的量子信息處理,如實(shí)現(xiàn)基于光纖的量子通信、構(gòu)建城域量子網(wǎng)絡(luò)等相關(guān)工作奠定了基礎(chǔ).