QMC方法在數(shù)量金融中的新挑戰(zhàn)分析

趙倩

摘要：在新時(shí)期環(huán)境下，我國金融領(lǐng)域的發(fā)展十分迅速，而在金融領(lǐng)域的發(fā)展中產(chǎn)生了多樣化的金融產(chǎn)品，而在金融工作開展中往往面臨諸多的金融問題，為了實(shí)現(xiàn)對此類問題的解決，金融模型的應(yīng)用十分重要，但因?yàn)榻鹑谀Ｐ痛嬖趶?fù)雜性，對很多的金融問題都不能有效解決，而QMC作為一種廣泛使用的方法也在數(shù)量金融中存在著諸多挑戰(zhàn)。文章就主要針對QMC方法在數(shù)量金融中的新挑戰(zhàn)進(jìn)行分析，希望對相關(guān)工作的研究提供參考。

關(guān)鍵詞：QMC方法;金融領(lǐng)域;數(shù)量金融;金融問題

在如今金融市場中，具有復(fù)雜性的特點(diǎn)，為了促進(jìn)其能夠有效發(fā)展，需要使用到大量個(gè)性化的金融工具，而金融模型則是對金融情況刻畫的重要手段。由于金融模型在建立中呈現(xiàn)出顯著復(fù)雜性特點(diǎn)，且易受到諸多因素的影響，使大量金融方面的問題并不可以得到顯式的求解，而QMC方法就是一種對復(fù)雜性金融問題解決的數(shù)值方法，但此方法在使用中還存在諸多的難題需要克服，而這就是本文主要研究的內(nèi)容。

一、QMC方法概述

通過傳統(tǒng)數(shù)值的積分法并不能夠?qū)Ω呔S積分問題解決，且要被積的函數(shù)還需要在光滑性方面符合要求，如梯形法使用中要求其被積函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)要在連續(xù)性方面呈現(xiàn)一定條件，而辛普森的法則要求其被積函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)要具有良好連續(xù)性。對于很多金融的問題來說，其目標(biāo)函數(shù)在光滑性方面一般都不滿足條件，且維數(shù)也往往很高，所以在對傳統(tǒng)數(shù)值的積分法使用中，不能保證使用的效果，但MC方法則能夠?qū)崿F(xiàn)對此類困難的克服。此MC方法公式為：

在上式中，只要相應(yīng)的積分存在，可通過強(qiáng)大數(shù)的定律獲?。?/p>

這說明I^n（f）為I（f）強(qiáng)結(jié)合的估計(jì)，且說明MC的方法具有十分廣泛適用范圍，進(jìn)一步若存在I（f2），則I^n（f）估計(jì)量均方根的誤差是：

在上式內(nèi)，σ2=I（f2）-I（f）2，表明了此MC 方法于概率意義誤差中具有O（n-1/2）收斂階，并不對維數(shù)d產(chǎn)生依賴。若d>4的話，此MC方法具有收斂的速度比梯形法則收斂速度要快。若d>8，此MC方法的收斂速度比辛普森的法則收斂速度要快。盡管MC方法可以對維數(shù)的災(zāi)難等相關(guān)問題實(shí)現(xiàn)有效克服，但同樣其還存在一定的缺陷需要解決，主要體現(xiàn)在它只存在概率意義中誤差界，和傳統(tǒng)數(shù)值積分存在確定誤差界不一樣;它對全部類型被積的函數(shù)，不管此函數(shù)是不是光滑，此MC方法具有一樣的收斂階，當(dāng)面對一些呈現(xiàn)出更加光滑特性的函數(shù)，使用此MC方法不能得到更高收斂階，若使用傳統(tǒng)數(shù)值的積分就能夠滿足要求;計(jì)算機(jī)對理想化隨機(jī)點(diǎn)列很難生成，往往只能對偽隨機(jī)的點(diǎn)列生成。

二、高維和間斷對QMC方法產(chǎn)生的影響

（一）高維對QMC方法產(chǎn)生的影響

大量金融問題的維數(shù)都會(huì)超過上千的情況，比較常見的有期權(quán)定價(jià)的問題等，基于QMC法O（n-1（log n）d）收斂階分析，此QMC法是不利于對高維問題解決的，這主要是即使對較為適中性維數(shù)來說，此QMC法其收斂階中（log n）d對數(shù)項(xiàng)亦可能十分大。如d=8時(shí)，想要達(dá)到n-1（log n）d<n-1/2的情況，要求n不低于1029×1.79，而實(shí)際中此數(shù)量級(jí)樣本量很難得到實(shí)現(xiàn)。但通過眾多的實(shí)證研究得知，即使金融問題達(dá)到數(shù)百維，此QMC的方法還是比MC的方法要優(yōu)越得多，面對此種情況，很多學(xué)者也進(jìn)行了合理解釋。

一些學(xué)者闡述了在對一些加權(quán)的函數(shù)類中，以QMC法對其維數(shù)災(zāi)難的相關(guān)問題實(shí)現(xiàn)有效解決;還存在一種解釋則是基于有效維數(shù)概念的。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)在諸多高維的金融問題中存在較低有效的維數(shù)，在加入函數(shù) f后可以對其寫成兩部分的內(nèi)容，也就是 fL和 fH，且fL與fH呈現(xiàn)出正交的關(guān)系，且fH具有的方差其實(shí)只占到f方差極小的比例，fL維數(shù)是有效的維數(shù)。因?yàn)橐痪S投影是低偏差的序列，和前幾維的投影比其隨機(jī)序列具有更好均勻性，但其后幾維的投影存在均勻性的不理想，所以當(dāng)存在較小的有效維數(shù)時(shí)，此QMC的方法能夠?qū)L很好處理，也許它并不能夠?qū)?fH很好處理，但此函數(shù)并不會(huì)對整體的誤差存在較大貢獻(xiàn)，這也就說明了 QMC的方法為什么能夠?qū)Φ陀行У木S數(shù)金融問題成功處理。

因?yàn)镼MC的方法效率遭受維數(shù)影響，大量研究嘗試借助減小有效的維數(shù)對QMC效率提升。尤其對金融的問題，通過合適路徑模擬法能夠?qū)栴}有效維數(shù)減小。在一些研究中，表明了一些路徑的模擬法比標(biāo)準(zhǔn)路徑的模擬法存在更好表現(xiàn)效果，如布朗橋方法和主成分的分析方法等，但它們都存在相同缺陷，其并非對目標(biāo)的函數(shù)特征實(shí)施充分考慮，則它們的效率還是對問題實(shí)際特性產(chǎn)生依賴。

（二）間斷對QMC方法產(chǎn)生的影響分析

上文所提路徑的模擬方法，只是出于對有效維數(shù)減小的目的，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)具有的光滑性同樣對QMC的方法效率產(chǎn)生制約。在一些研究中，面對不連續(xù)的函數(shù)提出一種OT法（正交變換法），這也表明路徑模擬法實(shí)現(xiàn)對間斷性的特征顯著的影響，且還通過對一類路徑的模擬法設(shè)計(jì)，讓間斷的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對QMC法的“友好性”。

面對諸多的金融問題，如期權(quán)定價(jià)以及Greeks計(jì)算等，涉及一個(gè)或多個(gè)數(shù)量不光滑結(jié)構(gòu)，對他們主要進(jìn)行兩種常見類型的歸納，一種是間斷結(jié)構(gòu)，表示為I{ψ≥0}，還有一種是折褶結(jié)構(gòu)，表示為max（ψ（x），0），且ψ（x）代表Rd中連續(xù)性的函數(shù)，此研究表明了目標(biāo)函數(shù)具有不光滑性對QMC法效率產(chǎn)生了影響。一些研究中提出QMC法的性能發(fā)生退化現(xiàn)象，主要是因?yàn)楸环e的函數(shù)自身呈現(xiàn)間斷點(diǎn)或者在光滑性方面存在不足而造成的;還在一些研究中觀察出，折褶的結(jié)構(gòu)通過ANOVA的分解會(huì)呈現(xiàn)出光滑的低階項(xiàng)情況，且其光滑性會(huì)對路徑模擬法的使用較為依賴。對金融的應(yīng)用方面，一些研究使用路徑模擬法對間斷結(jié)構(gòu)改變，從而獲取QMC的友好型間斷點(diǎn);一些研究中對相關(guān)數(shù)值分析結(jié)果表明，對變換后間斷結(jié)構(gòu)來說，此QMC法效率得到了顯著的提升，但在研究中還普遍存在方法局限性的問題，往往只對單個(gè)間斷的結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)實(shí)施考慮，并未結(jié)合多個(gè)間斷的結(jié)構(gòu)以及多個(gè)的折褶結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)全面考慮與綜合分析，而這也意味著對具多個(gè)數(shù)量非光滑的結(jié)構(gòu)奇異期權(quán)，此OT方法就得不到有效使用。面對此類缺陷，就需要針對多個(gè)數(shù)量非光滑的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出一種路徑模擬的方法，即QR法。此QR法能夠按照非光滑的結(jié)構(gòu)重要性實(shí)施變換，讓比較重要非光滑的結(jié)構(gòu)對更少變量依賴，提供一種度量、非光滑習(xí)慣結(jié)構(gòu)的重要性指標(biāo)，基于此，可以對此類非光滑的結(jié)構(gòu)重要性實(shí)施排序，后變換處理，通過數(shù)值結(jié)果分析此方式對非光滑的結(jié)構(gòu)變換，能夠?qū)MC的方法效率實(shí)現(xiàn)顯著提升。

三、QMC方法在數(shù)量金融中的降維和間斷處理

（一）QMC方法在數(shù)量金融中的降維處理

對布朗運(yùn)動(dòng)初始生成的矩陣Ao給定，把收益函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立性標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)變量寫成，表示為z=（z1，...，zd）T～ N（0，Id）的G（z）函數(shù)，并用H（A0z）代表。面對任意的正交陣U情況，通過E[G（z）]=B[G（Uz）]能夠得知，被積函數(shù)對G（z）或者G（Uz）選擇具有等價(jià)性。對連續(xù)光滑性G（z）目標(biāo)函數(shù)考慮，如何找到一個(gè)正交的矩陣U讓QMC法來對G（Uz）函數(shù)的效率實(shí)現(xiàn)盡可能提升，是需要重點(diǎn)研究的內(nèi)容。

如果G（z）被積函數(shù)是一線性的函數(shù)，則LT方法不斷在任意點(diǎn)展開均能夠?qū)瘮?shù)線性的結(jié)構(gòu)抓住，所選擇正交陣ULT能夠把截?cái)嗟木S數(shù)降到1維。但是如果G（z）被積函數(shù)是一較為復(fù)雜性、非線性的函數(shù)，則LT方法于若干個(gè)數(shù)量給定點(diǎn)展開信息的話，可能并不會(huì)對被積函數(shù)重要結(jié)構(gòu)很好解釋。而對G（z）復(fù)雜性被積函數(shù)，一些學(xué)者提出了一個(gè)匹配的策略，也就是對G（z）函數(shù)選擇某點(diǎn)Taylor的展開式當(dāng)作G（z）原函數(shù)匹配的函數(shù)。具體來說，此函數(shù)表示為G1（z）=G（zo）+▽G（zo）T（z-z0），zo∈Rd，此函數(shù)可當(dāng)作G（z）函數(shù)的匹配性函數(shù)。一些學(xué)生提出了QR方法，能夠直接用在較簡單函數(shù)G（z），且求得出一個(gè)正交的方陣U，讓使G1{Uz}截?cái)嗟木S數(shù)得到顯著降低，把正交的方陣U用在原函數(shù)的G（z）中，其效果主要對匹配的函數(shù)G（z）和原函數(shù)的G（z）中接近程度較為依賴。

（二）QMC方法在數(shù)量金融中的間斷處理

在對非光滑的結(jié)構(gòu)重要性實(shí)施排序和變換后，盡管按照此方式實(shí)現(xiàn)非光滑的結(jié)構(gòu)變換，能夠有效促進(jìn)QMC的方法效率提升，但其間斷點(diǎn)依然存在。這就說明完成變換的間斷性結(jié)構(gòu)還可能對QMC的方法效率產(chǎn)生一定的影響，因此另一種對QMC的方法效率提升的策略是對目標(biāo)的函數(shù)間斷點(diǎn)移除?，F(xiàn)階段，諸多光滑化的方法在MC的方法或其他領(lǐng)域中普遍使用。在通過pathwise法對敏感性的參數(shù)估算時(shí)，其收益函數(shù)間斷點(diǎn)往往會(huì)使此方法發(fā)生失效，為了對pathwise法使用，可以通過條件的期望來對此類間斷點(diǎn)移除，從而獲取一個(gè)光滑性無偏的估計(jì);一些研究提出通過對敏感性的參數(shù)計(jì)算來實(shí)現(xiàn)核估計(jì)，其能夠?qū)g斷點(diǎn)收益函數(shù)進(jìn)行處理，但此核光滑的技術(shù)所獲取有偏的估計(jì)，且實(shí)際操作中很難對其估計(jì)的誤差把握;面對障礙期權(quán)的定價(jià)問題情況，一些研究在障礙的條件下來對標(biāo)的的資產(chǎn)演變過程實(shí)施條件的抽樣，獲取一個(gè)光滑無偏的估計(jì);一些人員針對亞式的期權(quán)提出一種條件的MC法，此種方法以收益函數(shù)為基礎(chǔ)關(guān)于股票的價(jià)格幾何性平均值條件具有的期望存在閉合的解。關(guān)于光滑技術(shù)以及路徑模擬的方法結(jié)合的QMC法是很少的，一些研究根據(jù)障礙期權(quán)進(jìn)行一種結(jié)合了LT法條件抽樣的模式引入，且還把此方法向Heston的模型推廣。

通過對諸多方法綜合分析，提出一種VPO的光滑化法，并和此光滑化法以及一些路徑的模擬法結(jié)合，來對帶有間斷的結(jié)構(gòu)金融問題進(jìn)行解決。此方法和條件MC的方法存在不同，在本文中所提出VPO的光滑化法不需事先對條件期望計(jì)算，但其VPO的光滑化法要求此被積函數(shù)間斷的結(jié)構(gòu)符合相應(yīng)條件。對存在的一些金融方面問題，通過設(shè)計(jì)出合適路徑模擬的方法對此類條件滿足，但并非全部路徑模擬的方法都符合VPO的光滑化法所需條件。為了使此光滑化的方法對常見金融問題適用，就要對QR法實(shí)施修正，稱作MQR法，此MQR法可以如QR法一樣按照間斷結(jié)構(gòu)重要性實(shí)施處理，且它能夠和VPO的光滑化法結(jié)合，此兩種方法結(jié)合可以對間斷點(diǎn)消除，且還能夠?qū)τ行ЬS數(shù)雙重效果減小。

四、QMC方法在數(shù)量金融中的應(yīng)用分析

（一）普通QMC方法在多期收入的保證價(jià)格應(yīng)用

在多期收入C（0）保證價(jià)格中，“多期”主要在數(shù)學(xué)方面體現(xiàn)出路徑的依賴，也就是要求模擬成η（t）整個(gè)的路徑，此時(shí)要對w（t）和N（t）增量的獨(dú)立性考慮，將T[0，T]時(shí)間區(qū)間等分作J份，其步長為dt=T/J，表示為0<dt<…<Jdt=T，dW（j）=w（t）-（t-dt）-N（0，dt），生成出dw（j）估計(jì)為：dw（j）=，且Z-N（0，1），同理可得dw（j）=、dN（j）=N（t）-N（t-dt）～P（λdt），其中dN（k）=P。在dN（k）的生成中，Pλdt-P（λt）在生成出dW（j）與dN（k）之后，會(huì)再生成出InK（1）-N（μ，σ2），后將三個(gè)數(shù)量隨機(jī)向相關(guān)公式帶入，得到C（0）公式內(nèi)顯著性水平α置信的區(qū)間。

（二）條件QMC方法在多期收入的保證價(jià)格應(yīng)用

對X目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式表示為Xi=（η·（t）-γ）+，進(jìn)而進(jìn)一步對E（Xt|Wt），歐式的看漲期權(quán)馬爾可夫的性質(zhì)在任意的時(shí)刻價(jià)格是：

結(jié)合標(biāo)的Sto（t）其服從幾何的布朗運(yùn)動(dòng)，最終能夠得到顯著性的水平α置信的區(qū)間。

（三）應(yīng)用結(jié)果分析

所給定的參數(shù)值置信區(qū)間的長度幾乎不存在區(qū)別，但在動(dòng)態(tài)化參數(shù)值下，期置信的區(qū)間長度情況如表1。

從表1分析可得，普通QMC法具有模擬的精確度是最差的，對偶的變量法及控制的變量法具有相似的精確度，且控制的變量法要略好一點(diǎn)，條件QMC法具有最高的精確度。而之所以出現(xiàn)這樣的情況，是因?yàn)闂l件QMC法對條件期望解析解進(jìn)行使用，數(shù)值的解精度即使再高也不可能比解析解更高。但即使有解析解的存在，此條件期望的解析解存在此前提條件也是很難實(shí)現(xiàn)的。因此能夠看出，得到條件期望解析公式其實(shí)并非易事?？刂频淖兞糠ㄆ潆y點(diǎn)主要是控制變量的均值解析求解，其復(fù)雜的程度是沒有QMC法高的，對偶的變量法是最簡單的，而精確度只比控制的變量法略差，和普通的QMC法相比有所改善。

對多期收入的保證價(jià)格各參數(shù)給定，各QMC法都能夠?qū)ζ鋽?shù)值解有效階段，將顯著性的水平是 a=0.05置信區(qū)間的長度當(dāng)作評(píng)價(jià)的指標(biāo)，得出普通QMC法置信區(qū)間的長度是最大的，對偶的變量法以及控制的變量法稍次之，而條件QMC法是最小的，且普通的QMC法具有最差的精確度，條件QMC法具有最好的精確度。

五、結(jié)語

綜上所述，在數(shù)量金融中QMC方法得到了廣泛使用，但在QMC方法的使用中還存在諸多的難題與挑戰(zhàn)，常見高維和間斷情況，為了確保QMC方法能夠有效使用，就需要根據(jù)針對其存在的難題與挑戰(zhàn)積極進(jìn)行解決方法的探索，確保其方法效果充分發(fā)揮。

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（作者單位：俄羅斯圣彼得堡理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院）