數(shù)學(xué)理科試題(適用于全國卷)

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

一、選擇題

A. (-2,+∞) B. (-∞,2) C.AD.B

解題思路因?yàn)锳=(-3,+∞)，所以A∪B=A，故選C.

3．若函數(shù)y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數(shù)，且圖象與兩坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為( ).

A.3 B.3或1 C.3或-1 D.-1

解題思路由于函數(shù)y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數(shù)，所以a2-2a-2=1.又冪函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，所以a2-3a-4≤0，解得a=3或a=-1，故選C.

4．為貫徹落實(shí)黨中央關(guān)于黨史學(xué)習(xí)教育的總體部署，今年4月，教育部在中小學(xué)部署開展了“從小學(xué)黨史 永遠(yuǎn)跟黨走”主題教育活動.某校開展了學(xué)黨史讀書活動，學(xué)生積極參加，現(xiàn)對該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書時間進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果繪制成頻率分布直方圖，如圖1，則該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書的平均時間(單位：小時)為( ).

圖1

A.11.6 B.11.20 C.11.25 D.11.30

解題思路由題意得頻率之和為1，即(0.1+a+0.4+0.25+0.1)×1=1，解得a=0.15，則學(xué)黨史讀書時間的平均數(shù)為9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6(小時)，故選A.

解題思路依題意，得

故選B.

6.已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)+m的圖象不經(jīng)過第二象限，則m的取值范圍為( ).

A.m<-ln2 B.m≤-ln2

C.m>ln2 D.m≥ln2

解題思路由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知函數(shù)f(x)在(-2，+∞)單調(diào)遞增，若函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，則ln(0+2)+m≤0，解得m≤-ln2.

故選B.

7．已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，a9=64，則a5=( ).

A.8 B.-8 C.10 D.±8

故選A.

圖2

A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤

解題思路1 由題知兩條漸近線方程為4x±3y=0，設(shè)P(x0,y0)，則lPP1:3x+4y-3x0-4y0=0，lPP2:3x-4y-3x0+4y0=0.

故選D.

11．由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞增，后3個數(shù)字保持遞減”(如五位數(shù)“12543”，前3個數(shù)字“125”保持遞增，后3個數(shù)字“543”保持遞減)的概率是( ).

C.(-1,1) D.(-1,+∞)

由g(x)與f(x)互為反函數(shù)，得

即ea-1=a，構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ex-1-x，求導(dǎo)得φ′(x)=ex-1-1，當(dāng)x<1時φ′(x)<0，當(dāng)x>1時φ′(x)>0，所以φ(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

二、填空題

綜上該展開式中含x2項的系數(shù)為46.

14．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且b2>a2+c2，sinB=sinC.設(shè)△ABC的面積為S，若4bS=a(b2+c2-a2)，則A=____．

解題思路由4bS=a(b2+c2-a2)，得2abcsinB=2abccosA，即sinB=cosA.

由b2>a2+c2，得cosB<0，即B為鈍角.

又sinB=sinC，所以cosA=cos2A.

圖3

三、解答題

17.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-1(n∈N*).

(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求an.

解題思路(1)當(dāng)n=1時，得a1=1.當(dāng)n>2時，Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.所以an=2an-1.所以{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n-1.

(2)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≥0)，則T1=b1=2，T2=4+d，T3=6+3d.

所以Tn=n2+n.

所以Wn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.

故2Wn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.

兩式相減，得

-Wn=20+21+22+…+2n-1-n·2n

=2n-1-n·2n.

所以Wn=(n-1)·2n+1.

18．新冠病毒變異株奧密克戎導(dǎo)致歐美多國新冠病例數(shù)激增，為全球抗疫帶來新的挑戰(zhàn).某市防疫部門為保障該市的防疫物資質(zhì)量，聯(lián)合質(zhì)檢部分對該市甲、乙兩家口罩生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行檢查，分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類口罩中隨機(jī)抽取了100個作為樣本，并以樣本的一項關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測依據(jù).

已知該質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下：

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)等級次品二等品一等品二等品三等品次品

根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布表和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布直方圖(如圖4，其中a>0).

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)頻數(shù)2184814162

(1)為確?？谡质褂谜叩姆酪甙踩裕灼髽I(yè)將所有次品口罩銷毀，并將一、二、三等品的售價分別定為2元、1元、0.5元.一名顧客隨機(jī)購買了甲企業(yè)銷售的2個口罩，記其支付費(fèi)用為X元，用頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)如果你是某學(xué)校的后勤采購人員，需要為學(xué)校師生采購口罩，請你根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，自定標(biāo)準(zhǔn)，對甲、乙兩企業(yè)口罩質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較，來決定購買哪個企業(yè)生產(chǎn)的口罩.

隨機(jī)變量X的分布列為：

X11.522.534P1361919161314

(2)答案不唯一，參考如下:

①以口罩的合格率(非次品的占有率)為標(biāo)準(zhǔn)，對甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較，由圖表可知，(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)×5=1，得a=0.008，所以乙企業(yè)的樣本中次品的頻率為(a+0.020)×5=0.14，則合格率約為0.86，甲企業(yè)口罩的合格率約為0.96，所以甲企業(yè)口罩的合格率高于乙企業(yè)口罩的合格率，故認(rèn)為甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高，故采購甲企業(yè)的口罩.

②以口罩中一等品的概率為標(biāo)準(zhǔn)，對甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較，根據(jù)圖表可知，甲企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.48，乙企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.4，即甲企業(yè)口罩中一等品的概率高于乙企業(yè)口罩中一等品的概率，所以甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高，故選擇采購甲企業(yè)的口罩.

圖5 圖6

(1)求證：平面ABD⊥平面ADC；

(2)求直線AC與平面ADE所成角的正弦值.

圖7

圖8

(1)求橢圓Γ的離心率；

(2)若橢圓Γ的短軸長為2，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△AEF的面積最小時，k1+k2的值．

21.已知函數(shù)f(x)=e-x+sinx，g(x)=ax(a∈R).

(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(0,2π)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)x∈(0,t)時，f″(x)>0，f′(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0,x0)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

所以x0為f(x)的極大值點(diǎn)，得證.

(2)由題意可知h(x)=e-x+sinx-ax在(0，2π)上單調(diào)遞減，則h′(x)=-e-x+cosx-a≤0在(0，2π)上恒成立，參變分離得a≥-e-x+cosx，x∈(0，2π)，令φ(x)=-e-x+cosx，x∈(0，2π)，φ′(x)=e-x-sinx，當(dāng)x∈(π，2π)時，φ′(x)>0恒成立，所以φ(x)在(π，2π)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,π)時，φ″(x)=-e-x-cosx單調(diào)遞增，

φ″(0)=-e0-cos0=-2<0，

綜上,a≥φ(2π)=1-e-2π.

(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程；

所以-1

因?yàn)閥≠-1，所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為

23.已知f(x)=|2x-2|+|x+3|，

(1)求不等式f(x)≤x+3的解集；