應用質點系質心動能定理法求解碰撞問題

徐華兵

（浙江省金華第一中學，浙江 金華 321015）

1 問題提出

筆者在給學生講授動量、動量定理習題時碰到一道連續(xù)多個物體完全非彈性碰撞求解碰后速度問題，用牛頓運動定律和運動學公式法求解非常繁瑣且復雜，而用質點系質心動能定理法求解卻較為簡單方便.

例1.在光滑水平面上的一條直線上，排列著一系列可視為質點、質量均為m的物體1、2、3、4，在1之前放著一個質量M=4m的物體A，相鄰物體間的距離均為l，最初所有物體均靜止，如圖1所示.現(xiàn)用一水平力F推A，從而發(fā)生一系列完全非彈性碰撞.求：當運動物體與第4號物體相碰前的瞬間，其速度為多大？

圖1

解析：物體A與物塊1、2、3相繼碰撞，碰撞過程中質量不斷變化，物體的加速度不斷變化.所以若用牛頓運動定律和運動學公式求解，必須對質點系與物體4碰前過程分子過程處理.

點評：本題是質點系質點完全非彈性碰撞問題，在碰撞過程中物體的質量不斷變化，恒力F作用下加速度不斷變化，用常規(guī)思路求解，必須分子過程處理，而且過程及其復雜.而此時若應用質點系質心動能定理法求解只需要找出力F作用前后質心位置，求出質心位移；算出質點系合外力對質心做的功，最后應用質心動能定理列式計算即可.

2 質點系質心動能定理表達式推導

質心是質點系統(tǒng)的質量分布中心，在給定的坐標框架下質心的位置矢量為

對時間t求導得

將速度v對時間t求導得

3 質點系質心動能定理求解碰撞問題分類剖析

根據(jù)質點系質點在運動過程中所受外力是恒力還是變力，可將質點系質點間的碰撞問題分為恒定合外力F作用下的碰撞問題和變合外力F作用下的碰撞問題.下面分上述兩類情形剖析質點系質點間的碰撞問題.

3.1 質點系受恒定合外力F作用類碰撞問題

質點系受恒定合外力F作用類碰撞問題是指質點系內質點在整個運動過程中受恒定外力F作用的碰撞問題.但由于運動的質點不斷增多，質量不斷變大，雖是恒定合外力，運動質點的加速度卻在不斷變化，過程較為復雜；若采用質心動能定理求解碰撞后質點速度能簡化運動過程，求解較為方便.

例2.一光滑桿上套3個質量為m的光滑圓環(huán)，相鄰圓環(huán)間距都為l，如圖2所示.現(xiàn)給環(huán)1施加一恒力F，環(huán)1在恒力F的作用下向著環(huán)2運動，環(huán)1和環(huán)2碰后在原來恒力F作用下一起向著環(huán)3運動.已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞，求環(huán)1、2、3系統(tǒng)碰后的速度v3.

圖2

變式1：一光滑桿上套n個質量為m的光滑圓環(huán)，相鄰圓環(huán)間距都為l，如圖3所示.現(xiàn)給環(huán)1施加一恒力F，環(huán)1在恒力F的作用下向著環(huán)2運動，環(huán)1和環(huán)2碰后在原來恒力F作用下一起向著環(huán)3運動，與環(huán)3碰后，環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3在原恒力F的作用下向著環(huán)4運動，依次碰撞下去……已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞.求與第n個環(huán)碰后系統(tǒng)的速度vn.

圖3

點評：上述例2也可應用牛頓運動定律和運動學公式求解，且能快速求出，不是很繁瑣；應用質點系質心動能定理求解的優(yōu)越性還沒完全表現(xiàn)出來.而變式1將質點系碰撞質點個數(shù)由3個拓展到n個，若用牛頓運動定律和運動學公式求解將會非常復雜，且運算量非常繁瑣；而用質點系質心動能定理求解過程簡潔明了清晰，優(yōu)越性盡顯.

3.2 質點系受變合外力F作用類碰撞問題

質點系受變合外力F作用類碰撞問題是指質點系內質點在整個運動過程中受變化合外力F作用的碰撞問題.由于運動質點系的合外力F不斷變化，運動質點的加速度也在不斷變化，從牛頓運動定律和運動學公式角度分析過程復雜；宜用質點系質心動能定理法求解.

例3.一粗糙桿上套3個質量為m的圓環(huán)，已知圓環(huán)與桿間的動摩擦因數(shù)為μ，相鄰兩圓環(huán)間距為l.現(xiàn)給環(huán)1一個初速度v0，使它向著環(huán)2運動，與環(huán)2碰后粘在一起，繼續(xù)向環(huán)3運動，與環(huán)3發(fā)生碰撞，如圖4所示.若環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求：環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3碰后粘合體的速度v3.

圖4

變式2：一粗糙桿上套n個質量為m的圓環(huán)，已知圓環(huán)與桿間的動摩擦因數(shù)為μ，相鄰兩圓環(huán)間距為l.現(xiàn)給環(huán)1一個初速度v0，使它向著環(huán)2運動，與環(huán)2碰后粘在一起，繼續(xù)向環(huán)3運動，與環(huán)3發(fā)生碰撞…直到與第n個環(huán)發(fā)生碰撞，如圖5所示.若所有環(huán)間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求與第n個環(huán)碰后粘合體的速度vn.

圖5

點評：例3和變式2都屬于受變化合外力F作用類質點系碰撞問題，若從牛頓運動定理和運動學公式角度求解質點系碰撞后的速度，過程較為復雜，難度較大；尤其是變式2中質點系從有限個較少的質點拓展到n個質點.此時，若用質點系質心動能定理法求解質點系內質點碰后速度，過程清晰明了簡單.

質點系質點間完全非彈性碰撞問題在高中物理力學試題中常常出現(xiàn)，由于質點系研究對象多，碰撞過程復雜，這類試題從牛頓運動定律和運動學公式角度求解往往計算量大，且過程復雜，及其容易出錯.本文為這類試題的求解提供了一種簡單的方法——應用質心動能定理法求解質點系碰撞問題，希望對廣大同行教師在講授這類試題時有所幫助.