對(duì)胡克定律實(shí)驗(yàn)中密繞緊貼彈簧的問(wèn)題及修正研究

王立斌

（復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433）

1 研究背景

“探究彈簧彈力與形變量的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)“胡克定律”實(shí)驗(yàn)，是探究彈簧在發(fā)形變時(shí)，其形變與彈的定量關(guān)系，得到“彈簧發(fā)彈性形變時(shí)，彈的大跟彈簧伸長(zhǎng)（或縮短）的長(zhǎng)度成正比”的規(guī)律，即胡克定律.本實(shí)驗(yàn)隸屬于高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）“必修1中1.2相互作用與運(yùn)動(dòng)定律主題”，屬于學(xué)生必做實(shí)驗(yàn).［1］

在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)預(yù)期結(jié)果不一致的原因很多，彈簧自身的問(wèn)題是一個(gè)重要的因素.筆者在對(duì)“胡克定律”實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化的基礎(chǔ)上，對(duì)因密繞緊貼彈簧而產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了修正彈簧的方法，并對(duì)修正方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).

2 問(wèn)題的產(chǎn)生

原實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，主要用到彈簧、刻度尺、鉤碼、鐵架臺(tái)、鐵夾等.實(shí)驗(yàn)時(shí)通過(guò)在彈簧下端添加鉤碼改變彈簧伸長(zhǎng)，記錄鉤碼質(zhì)量和對(duì)應(yīng)的彈簧長(zhǎng)度.懸掛鉤碼時(shí)的彈簧長(zhǎng)度減去未掛鉤碼時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，即為彈簧伸長(zhǎng).每次鉤碼平衡時(shí)，鉤碼的重力等于此時(shí)彈簧的彈力.

圖1 原實(shí)驗(yàn)裝置

通過(guò)畫(huà)彈簧彈力與彈簧伸長(zhǎng)的關(guān)系圖（F-x圖），即可探究彈力與形變量的關(guān)系.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)如圖2所示的F-x圖.在彈力與形變量的關(guān)系圖中，截距不為0，則不能說(shuō)明彈簧彈力與形變量成正比.產(chǎn)生這種圖像的彈簧如圖3所示，外觀具有密繞圓圈緊貼的特點(diǎn).通過(guò)交流，筆者了解到，這種案例并非個(gè)案，具有一定的普遍性.但并未見(jiàn)到相關(guān)解釋資料.筆者對(duì)此進(jìn)行了研究.

圖2 彈簧彈力與彈簧伸長(zhǎng)的關(guān)系圖

圖3 密繞圓圈緊貼彈簧（本文簡(jiǎn)稱(chēng)為密繞緊貼彈簧）

3 問(wèn)題的分析與實(shí)驗(yàn)研究

3.1 理論分析和猜想

在密繞圓圈（非緊貼）彈簧中，彈簧的形變涉及拉伸，彎曲和扭轉(zhuǎn)，其中扭轉(zhuǎn)起主要作用，其他的可以忽略不計(jì).［2］扭轉(zhuǎn)形變實(shí)質(zhì)上是由剪切形變組成的.用圓柱體扭轉(zhuǎn)形變的基本公式可以推導(dǎo)得到密繞圓圈（非緊貼）彈簧所受拉力F與伸長(zhǎng)量x的關(guān)系為

其中N為材料的剪切模量，R為彈簧金屬絲的半徑，n為彈簧的匝數(shù)，r為彈簧的半徑，x為彈簧的總伸長(zhǎng)量.

（1）式的推導(dǎo)是基于彈簧線圈之間非緊貼的情況展開(kāi)的.對(duì)于密繞緊貼彈簧則不一定試用.

在圖2所示的彈力與形變量的關(guān)系圖中，截距不為0，圖像的直觀解釋可以為“表面形變量”為零時(shí)，彈簧中仍然有彈力，說(shuō)明彈簧仍然有收縮趨勢(shì).

工業(yè)生產(chǎn)中，彈簧鋼的壓力加工方式有熱軋、冷拉，鍛制等，熱處理方式有 “去應(yīng)力處理”、“不處理”等.不同的加工和處理方式造成彈簧鋼的應(yīng)力性能差異較大，同理會(huì)影響到最終成品彈簧的性能.例如，金屬絲在冷彎曲成形螺旋彈簧后會(huì)產(chǎn)生很大回彈.［3］

筆者做了如下猜想，對(duì)成品彈簧而言，存在著“表面形變量”為0，但彈簧內(nèi)部仍然有（剪切）應(yīng)變的可能，導(dǎo)致剪切應(yīng)力不為0，彈簧仍然收縮的趨勢(shì).宏觀上，有收縮趨勢(shì)的相鄰彈簧圈接觸在一起，因擠壓產(chǎn)生的額外彈力阻礙了彈簧的進(jìn)一步收縮，達(dá)到了力學(xué)平衡.

3.2 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證

為了證明猜想的正確性，筆者設(shè)計(jì)了如圖4所示的裝置進(jìn)行驗(yàn)證.

圖4 改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置圖

3.2.1 實(shí)驗(yàn)器材

實(shí)驗(yàn)用到的器材主要有（朗威）DIS實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)（含力傳感器、位移傳感器），彈簧，鐵架臺(tái)、鐵夾等.

3.2.2 實(shí)驗(yàn)裝置搭建的步驟及主要原理

（1）在鐵架臺(tái)上固定力傳感器.

（2）在力傳感器下方懸掛待檢測(cè)彈簧，進(jìn)入軟件界面，在彈簧自然懸掛狀態(tài)下對(duì)力傳感器調(diào)零.

（3）將位移傳感器發(fā)射端固定在鐵夾上（后面稱(chēng)此為鐵夾1），同時(shí)將彈簧下端掛在鐵夾1上.調(diào)節(jié)鐵夾1的高度，當(dāng)力傳感器的示數(shù)從正數(shù)（測(cè)拉伸力）恰減小為0時(shí)，固定鐵夾1.之后實(shí)驗(yàn)時(shí)力傳感器的示數(shù)即為外界對(duì)彈簧的拉力F.

（4）將位移傳感器接收端固定在另一個(gè)鐵夾上（后面稱(chēng)此為鐵夾2），調(diào)節(jié)鐵夾2，使得位移傳感器接收端與發(fā)射端正對(duì)，當(dāng)位移傳感器示數(shù)為0時(shí)固定鐵夾2.之后實(shí)驗(yàn)時(shí)位移傳感器的示數(shù)等于彈簧的拉伸量x.

（5）點(diǎn)擊開(kāi)始記錄按鈕，旋松鐵夾1的螺絲，使得鐵夾1（連同位移傳感器）緩慢下降.多次采集力和位移數(shù)據(jù)并分析.

（6）更換其他疑似問(wèn)題彈簧，重復(fù)上面的步驟.

3.2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

將疑似問(wèn)題彈簧的F、x數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖進(jìn)行分析，均得到了如圖5所示的圖像.

圖5 疑似問(wèn)題彈簧的F、x數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖示例

從圖5可以看到，在x=0時(shí)，存在多處拉力F不為0的位置，這與預(yù)期的結(jié)果一致，即此彈簧存在初始收縮力F0.當(dāng)彈簧受到的拉力小于F0時(shí)，彈簧并不會(huì)被拉伸，彈簧下端的位移為0.圖5中的初始收縮力約為0.27 N.

對(duì)于存在初始收縮力的彈簧，即密繞緊貼的彈簧，當(dāng)彈簧受到的拉力大于F0時(shí)，彈簧才能被拉伸.由圖5可知，此時(shí)彈簧下端點(diǎn)施加的彈力，等于受到的拉力F，并不與彈簧形變量x成正比，而是要扣除F0后才能與x成正比.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F-F0=kx，即對(duì)于密繞緊貼的彈簧，彈力F與形變量x成線性關(guān)系，而不是正比關(guān)系.

4 通過(guò)修正彈簧解決問(wèn)題

4.1 修正彈簧的意義

在實(shí)際使用中，很多情境下，彈簧彈力F與其形變量x成正比是必須要滿足的先決條件，例如“制作彈簧測(cè)力計(jì)”.對(duì)于初學(xué)胡克定律的中學(xué)生而言，相比于使用“F-x僅滿足線性關(guān)系的彈簧”，使用“F-x滿足正比關(guān)系的彈簧”在理解胡克定律的時(shí)候顯然會(huì)更容易些.

而對(duì)于“僅滿足線性關(guān)系的彈簧”，擱置、丟棄顯然是資源的浪費(fèi)，與環(huán)保價(jià)值觀不符合.

如果能將“F-x僅滿足線性關(guān)系的彈簧”轉(zhuǎn)變?yōu)椤癋-x滿足正比關(guān)系的彈簧”，將顯著提高資源的利用率，降低學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中不必要的干擾因素.

4.2 修正彈簧的方法

在工業(yè)生產(chǎn)中，使用機(jī)械拉伸法可以去除材料內(nèi)的應(yīng)力，［4］即用部分塑性應(yīng)變抵消部分彈性應(yīng)變.根據(jù)這一原理，采用如下方法修正彈簧.

（1）測(cè)量彈簧拉伸前的原長(zhǎng)，設(shè)為L(zhǎng)0.

（2）手持彈簧的兩端，增加拉力，拉伸彈簧至長(zhǎng)度為原長(zhǎng)的2倍，即2 L0后，減小拉力，使彈簧恢復(fù)到自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，測(cè)量此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，設(shè)為拉伸釋放后彈簧的原長(zhǎng)L.

（3）如此往復(fù)，分別拉伸彈簧至3 L0，4 L0，5 L0…直至拉伸釋放后彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)與彈簧的拉伸前原長(zhǎng)L0不一致，即發(fā)生范性形變時(shí)停止拉伸.例如L比L0大1 cm時(shí)結(jié)束拉伸，彈簧修正完畢.如圖6所示，將某彈簧拉伸至原長(zhǎng)10倍長(zhǎng)度后釋放，原長(zhǎng)比拉伸前增加約1.6 cm.

圖6 同規(guī)格的兩個(gè)彈簧在拉伸前后的對(duì)比圖（上方為未拉伸時(shí)候的狀態(tài)，下方為10倍拉伸釋放后的狀態(tài)）

4.3 修正后彈簧的表觀特征

與修正前相比，修正后的彈簧，表觀上，彈簧相鄰金屬圈之間不再緊密接觸，有了肉眼可見(jiàn)的縫隙甚至是明顯分離，輕拉彈簧后釋放，能夠看到彈簧的細(xì)微振動(dòng).

4.4 修正彈簧的檢驗(yàn)

修正彈簧的目標(biāo)是為了將“F-x僅滿足線性關(guān)系的彈簧”轉(zhuǎn)變?yōu)椤癋-x滿足正比關(guān)系的彈簧”.為此需要檢驗(yàn)修正后的彈簧 “彈力與形變量是否滿足正比關(guān)系”.

4.4.1 被檢驗(yàn)彈簧的一些參數(shù)

筆者選取了4種規(guī)格的“問(wèn)題彈簧”，修正前，其彈力與形變量均不滿足正比關(guān)系，但滿足線性關(guān)系.被檢驗(yàn)彈簧的拉伸前后的參數(shù)如表1所示.

表1 4種被檢驗(yàn)“問(wèn)題彈簧”的參數(shù)

4.4.2 檢驗(yàn)方法和檢測(cè)結(jié)果

用圖4所示裝置，采集“問(wèn)題彈簧”在修正前后的彈力F和形變量x數(shù)據(jù)，繪制F-x圖，進(jìn)行對(duì)比分析.F-x圖對(duì)比示例如圖7所示.

圖7 彈簧1在修正前后的F-x圖（a）為未拉伸時(shí)，（b）為拉伸修正后.

滿足胡克定律的彈簧，F(xiàn)-x圖中直線斜率為彈簧的彈性系數(shù)k.

對(duì)各“問(wèn)題彈簧”修正前的F-x圖中的直線部分進(jìn)行線性擬合，自變量x前的系數(shù)仍具有彈性系數(shù)的量綱和意義，在此仍舊稱(chēng)為彈性系數(shù)k.線性擬合后，縱軸截距對(duì)應(yīng)于形變量為0時(shí)的彈力，在本文稱(chēng)之為初始收縮力F0.

表2 4種被檢驗(yàn)“問(wèn)題彈簧”在拉伸前后的F-x圖擬合方程及數(shù)據(jù)分析

4.4.3 檢測(cè)結(jié)果分析

從圖7可以看出，修正后的彈簧，彈力F與形變量x滿足良好的正比關(guān)系.

對(duì)比表2中擬合方程的截距可以看出，修正后，截距幾乎降為0，即通過(guò)拉伸，良好地消除了“問(wèn)題彈簧”的初始收縮力F0.

通過(guò)表2中的彈性系數(shù)k的變化可以看出，拉伸后彈簧的k值都略有下降，但k值降低百分比較小，在筆者的實(shí)驗(yàn)中，k值降低百分比都在4%以?xún)?nèi).

4.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

可以通過(guò)“拉伸法”對(duì)密繞緊貼彈簧進(jìn)行修正，“拉伸法”能降低密繞緊貼彈簧的初始收縮力.在一定范圍內(nèi)，修正后的彈簧仍具有良好的彈性，并且，彈力F與形變量x能夠滿足良好的正比關(guān)系.