讓“優(yōu)化”思維浪潮奔涌而來(lái)
——“打電話”教學(xué)實(shí)錄與思考

江蘇省如皋市白蒲小學(xué) 張 兵

小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注重“優(yōu)化”數(shù)學(xué)思想的滲透，著力培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用“優(yōu)化”方案解決實(shí)際問(wèn)題的能力。人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)綜合實(shí)踐“打電話”利用學(xué)生熟悉的生活情境，以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，為學(xué)生創(chuàng)造了可探究的空間。學(xué)生在嘗試尋找“答案”的過(guò)程中，循知識(shí)之序，螺旋上升，“優(yōu)化”思維浪潮奔涌而來(lái)。他們?cè)诤献?、探究、交流中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，能進(jìn)一步體會(huì)到“優(yōu)化”思想在生活中的廣泛應(yīng)用，最終促進(jìn)學(xué)習(xí)知識(shí)的內(nèi)化。本文以“打電話”教學(xué)實(shí)錄為例，呈現(xiàn)一堂富含思維浪潮的小學(xué)數(shù)學(xué)課。

一、呈現(xiàn)素材，多元探究

1.情境引入

師：周末，張老師接到一項(xiàng)緊急任務(wù)，需要盡快通知幾位數(shù)學(xué)老師到校。為了及時(shí)準(zhǔn)確通知到每個(gè)人，老師采納同學(xué)們課前的建議，用“打電話”的方式來(lái)通知他們。這節(jié)課，我們就一起來(lái)研究“打電話”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.出示問(wèn)題

師：請(qǐng)看題目，默讀一遍“每分鐘通知1個(gè)人，那么3分鐘最多可以通知多少個(gè)人”，同學(xué)們，你們讀懂了些什么？

生1：時(shí)間為3分鐘。

生2：人數(shù)要最多。

師：那大家認(rèn)為3分鐘最多可以通知多少人？你的思考是什么？

生1：我認(rèn)為1分鐘通知1個(gè)人，3分鐘就應(yīng)該最多通知3個(gè)人。

生2：我猜可以通知4個(gè)人。

生3：我最多可以通知5個(gè)人。

……

3.列舉策略

師： 出現(xiàn)了不同的答案，有爭(zhēng)執(zhí)就好，我喜歡。到底誰(shuí)的思路和結(jié)果是正確的呢？現(xiàn)在要解決這個(gè)問(wèn)題，你準(zhǔn)備選擇什么策略呢？（畫(huà)圖、列表、一一列舉……）

4.自主探究

師：好，下面把時(shí)間交給大家，獨(dú)立思考，用自己喜歡的方法，在活動(dòng)單上完成設(shè)計(jì)方案。

【思考】初次試教時(shí)，筆者利用了教材呈現(xiàn)的“盡快通知15人”問(wèn)題情境，但在執(zhí)教中發(fā)現(xiàn)，因“15人”數(shù)據(jù)較大，學(xué)生表征過(guò)程非常煩瑣，畫(huà)圖及嘗試不同的解決方案有很大的困難，設(shè)計(jì)的方案令人眼花繚亂，學(xué)生在交流展示自己的方案時(shí)說(shuō)著說(shuō)著就亂了，其他學(xué)生聽(tīng)得很費(fèi)勁；課堂出現(xiàn)“生與師一對(duì)一”的狀況，低效的交流導(dǎo)致課堂失控，學(xué)生的有效學(xué)習(xí)沒(méi)有真正發(fā)生。針對(duì)試教課堂不理想的狀況，筆者調(diào)整教材中“15人需要多少分鐘”的條件和要求，改為“3分鐘最多可以通知多少人”，從“扶”入境，由易到難，螺旋上升，讓大部分學(xué)生都能正確、清楚地表示出打電話的過(guò)程，為后續(xù)的思維打開(kāi)空間。材料的調(diào)整有助于學(xué)生的表征順利展開(kāi)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效發(fā)生，“優(yōu)化”思維之浪初起。

二、探討方法，逐步優(yōu)化

1.交流展評(píng)，尋找最優(yōu)

師：畫(huà)圖是個(gè)好方法，大家都不約而同地選擇了它。老師收集了具有代表性的四幅作品。

師：讓我們一起來(lái)看看同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的方案吧，大家能看明白他們是怎么畫(huà)的嗎？自己來(lái)介紹一下設(shè)計(jì)方案吧。（見(jiàn)圖1～4）

圖1

圖2

圖3

圖4

第一幅：逐一通知

第二幅：分組通知

第三幅：同時(shí)通知（無(wú)序）

第四幅：同時(shí)通知（有序）

師：請(qǐng)同學(xué)們判斷哪個(gè)方案通知人數(shù)是最多的？他為什么通知到的人能更多呢？

生：第三、第四個(gè)方案人數(shù)是最多的，因?yàn)樗麄兊姆桨钢忻?分鐘內(nèi)都在給所有老師打電話。

師：后兩種畫(huà)法你們更喜歡哪一種？

生：有序的那種，他抓住了很關(guān)鍵的一點(diǎn)，是以時(shí)間作為標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)的，每個(gè)老師都不空閑，這樣，3分鐘通知的人數(shù)就會(huì)最多。

小結(jié)：通過(guò)畫(huà)一畫(huà)的策略，我們已經(jīng)知道了“3分鐘最多可以打7個(gè)人的電話”。

【思考】在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“用自己喜歡的方式表示出來(lái)”“運(yùn)用文字、符號(hào)或圖示表征自己的思維過(guò)程”“大膽地將自己的方案展示和交流”三個(gè)階段，從“逐個(gè)通知”“分組通知”到“最優(yōu)通知”，在列舉和比較多種方案中找到最優(yōu)方案。教師在整個(gè)過(guò)程中，以問(wèn)題引領(lǐng)，層層剖析，建構(gòu)新知，“優(yōu)化”思維踏浪而來(lái)。

2.收集數(shù)據(jù)，啟發(fā)質(zhì)疑

師：同學(xué)們，5年多來(lái)，我們學(xué)了很多找規(guī)律的知識(shí)。讓我們回過(guò)頭來(lái)看一看設(shè)計(jì)方案。今天學(xué)習(xí)的打電話的知識(shí)中有沒(méi)有一些規(guī)律，是不是也可以探索規(guī)律呢？我們一起來(lái)收集方案中的相關(guān)數(shù)據(jù)。

師：第1分鐘時(shí)，新接到通知的人數(shù)是多少？所有知道通知的總?cè)藬?shù)是多少？最多能通知幾人？

師：第2分鐘時(shí)，新接到通知的人數(shù)是多少？所有知道通知的總?cè)藬?shù)是多少？最多能通知幾人？

師：第3分鐘時(shí)，新接到通知的人數(shù)是多少？所有知道通知的總?cè)藬?shù)是多少？最多能通知幾人？

師：我們已經(jīng)收集到了1分鐘、2分鐘、3分鐘的相關(guān)數(shù)據(jù)，要想找出規(guī)律，我們還需要更多的數(shù)據(jù)，那么，你們的思考是什么？

生：我在想4分鐘、5分鐘……

師：好，那我們就按照這樣的思路，繼續(xù)收集數(shù)據(jù)，然后分析數(shù)據(jù)，找出規(guī)律吧。請(qǐng)完成活動(dòng)單表格，填寫(xiě)后在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生操作并填寫(xiě)表格）

師：同學(xué)們，我們來(lái)交流一下你們的研究成果吧。

【思考】通過(guò)交流研究，學(xué)生應(yīng)用類(lèi)似的方法去探究一類(lèi)題目背后隱藏的規(guī)律。在解決同一類(lèi)問(wèn)題的同時(shí)，學(xué)生的思維走向深入，“優(yōu)化”思維浪潮迭起。

3.方法應(yīng)用，提煉模型

師：同學(xué)們，看到這么多數(shù)據(jù)，你們有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：所有知道通知的總?cè)藬?shù)是新接到通知人數(shù)的2倍。

生2：新接到通知的人數(shù)是上一分鐘人數(shù)的2倍。

生3：所有知道通知的總?cè)藬?shù)是上一分鐘知道通知總?cè)藬?shù)的2倍。

生4：最多通知到的總?cè)藬?shù)比所有知道通知的總?cè)藬?shù)少1人。

生5：新接到通知的人數(shù)與上一分鐘所有知道通知的總?cè)藬?shù)相等。

師：觀察所有知道通知的總?cè)藬?shù)，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：總?cè)藬?shù)與2這個(gè)數(shù)字很有緣喲。4可以寫(xiě)成2×2，8可以寫(xiě)成2×2×2，即3個(gè)2相乘，16可以寫(xiě)成4個(gè)2相乘，32可以寫(xiě)成5個(gè)2相乘，64可以寫(xiě)成6個(gè)2相乘。

師：同學(xué)們，你們又有什么思考？

生：我看到，第幾分鐘所有知道通知的總?cè)藬?shù)是幾個(gè)2相乘，也就是2的幾次方。

師：那如果第n分鐘呢？你們能用字母表達(dá)式來(lái)表示它們的關(guān)系嗎？

學(xué)生總結(jié)填表，具體如下表：

第幾分鐘最多通知到的總?cè)藬?shù)1 1 2 1 2 2 4=2×2=22 3 3 4 8=2×2×2=23 7 4 8 16=2×2×2×2=24 15 5 16 32=2×2×2×2×2=25 31 6 32 64=2×2×2×2×2×2=26 63新接到通知的人數(shù)所有知道通知的總?cè)藬?shù)（包括張老師）……n 2n÷2 2n 2n-1

【思考】用表格的形式，讓學(xué)生觀察、分析，抓住內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型，再利用算式、圖形進(jìn)一步理解規(guī)律，鞏固建模，“優(yōu)化”思維浪潮迭起。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在來(lái)看看，要通知15人，最少需要多少分鐘？

生：8分鐘。我來(lái)邊講邊畫(huà)給大家看看。

師：同學(xué)們，誰(shuí)再來(lái)提提問(wèn)題？

生：要通知31人，需要多少分鐘？

生：我知道，需要16分鐘。

【思考】理想的課堂應(yīng)是統(tǒng)籌思考和預(yù)設(shè)，探尋正確的教學(xué)規(guī)律，將學(xué)習(xí)引向深入。在解決“3分鐘最多通知多少人”的問(wèn)題后，教師引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律和方法內(nèi)化為活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并按照“模式”重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己遷移“4分鐘”“5分鐘”“6分鐘”或更多時(shí)間，最多可以通知多少人。在數(shù)據(jù)較大時(shí)，畫(huà)圖顯然不是最佳方案，這時(shí)就需要學(xué)生在理解規(guī)律的基礎(chǔ)上利用表格、算式或圖形來(lái)解決問(wèn)題，用規(guī)律解決打電話的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)優(yōu)化思想，“優(yōu)化”思維浪潮高漲。

三、應(yīng)用模型，解決問(wèn)題

1.生活中的數(shù)學(xué)

師：同學(xué)們，其實(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中，有很多現(xiàn)象也蘊(yùn)含著我們今天從打電話中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。比如我們常說(shuō)的“一傳十、十傳百”“雞生蛋、蛋孵雞，雞再生蛋、蛋再孵雞”。下面再用今天的規(guī)律來(lái)邊看視頻邊思考拉面中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。請(qǐng)看視頻。

2.故事感悟數(shù)學(xué)美

師：再來(lái)聽(tīng)一個(gè)有趣的故事（錄音播放印度國(guó)際象棋發(fā)明人的故事），請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第一個(gè)格子里放上一顆麥粒，在第二個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，以此類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子。想一想，結(jié)果會(huì)怎樣呢？第64個(gè)小方格究竟有多少粒麥粒？國(guó)王拿得出來(lái)嗎？

師（小結(jié)）：數(shù)學(xué)真是一門(mén)神奇的科學(xué)！運(yùn)用這樣的數(shù)學(xué)規(guī)律竟會(huì)產(chǎn)生如此驚人的結(jié)果！希望同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能運(yùn)用今天的知識(shí)去解決更多實(shí)際問(wèn)題。

【思考】在練習(xí)中進(jìn)一步運(yùn)用規(guī)律解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，鞏固模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

四、比較異同，明晰主旨

師：這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是打電話，為什么練習(xí)的習(xí)題卻是和打電話無(wú)關(guān)的問(wèn)題？

生：我知道了，解決此類(lèi)題目的方法是先選擇策略，再分析數(shù)據(jù)，最后找出規(guī)律。下次遇到類(lèi)似的題目時(shí)，我們就可以按照這樣的方法來(lái)解決難題。

【思考】通過(guò)比較，讓學(xué)生知道“打電話”不僅僅是一道題，它更是一種解決問(wèn)題的思路和方法，讓學(xué)生真正從解題的技能走向解題的模型，“優(yōu)化”思維之浪涌上沙灘。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“綜合與實(shí)踐”是以問(wèn)題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在活動(dòng)中要注重培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。在“打電話”課堂教學(xué)中，學(xué)生用圓圈、編號(hào)等圖示表示教師，借助圖示進(jìn)行思考、運(yùn)算和推理，用式子、符號(hào)表示結(jié)果，充分體現(xiàn)了符號(hào)化的思想，培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。同時(shí)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表示問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建立了一種數(shù)量關(guān)系模型——幾何倍增?！耙粋魇⑹畟靼佟薄半u生蛋、蛋孵雞、雞再生蛋、蛋再孵雞”“麥粒問(wèn)題”等，都是這個(gè)模型的實(shí)際運(yùn)用，模型思想隨之滲透，學(xué)生應(yīng)用和解決實(shí)際問(wèn)題的能力也得以提升。學(xué)生在一次次思考、一次次交流、一次次反思中，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化了數(shù)學(xué)思想，踏“思維之浪”而行，提升了數(shù)學(xué)思維水平。