基于FFT和迭代插值的改進(jìn)型超分辨算法

王 靜， 王目光， 郭玉簫， 李 艷

(1.北京交通大學(xué)全光網(wǎng)絡(luò)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100044；2.北京交通大學(xué)光波技術(shù)研究所， 北京 100044)

0 引言

最早關(guān)于DOA估計(jì)的方法是由傅里葉變換的線性譜引出的，該方法受空域“瑞利極限”的限制，很難實(shí)現(xiàn)對(duì)來波信號(hào)的高分辨估計(jì)，同時(shí)這些算法的抗噪聲性能較差，并沒有獲得滿意的估計(jì)效果。上世紀(jì)70年代以Schmidt為代表的學(xué)者相繼提出的多信號(hào)分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法真正實(shí)現(xiàn)了角度的超分辨測量。MUSIC算法通過對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行特征值分解得到信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后利用信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性構(gòu)造譜函數(shù)進(jìn)行峰值搜索來確定目標(biāo)角度。然而MUSIC算法計(jì)算量大，要求較高的信噪比、較多的樣本數(shù)據(jù)。此外，MUSIC算法對(duì)于相干信源的估計(jì)性能較差，雖然可以通過空間平滑方案進(jìn)行預(yù)處理解，但這是以損失性能為代價(jià)的，從而限制了其在實(shí)際場景中的適用性。

快速迭代插值波束形成器(Fast Iterative Interpolated Beamforming, FIIB)能夠?qū)崿F(xiàn)角度的無偏估計(jì)，同時(shí)具有與快速傅里葉變換(FFT)相當(dāng)?shù)挠?jì)算速度。該算法結(jié)合了有效的插值策略和泄漏減法方案，成功地解決了頻譜泄漏的問題。因此，它可以實(shí)現(xiàn)DOA的無偏估計(jì)。該算法的前提是信源個(gè)數(shù)已知，然而在實(shí)際環(huán)境中對(duì)于估計(jì)的目標(biāo)個(gè)數(shù)是未知的，因此這一關(guān)鍵參數(shù)將無法使用，從而影響整體算法的性能。文獻(xiàn)[8]中，在應(yīng)用FIIB算法前，采用了基于奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的信息論準(zhǔn)則進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)，該方案可以解決信源個(gè)數(shù)未知的問題，但仍需要SVD步驟，從而抵消了FIIB算法帶來的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。

本文提出一種基于FFT和迭代插值的改進(jìn)超分辨測角方案。本方案將簡單的空域FFT測角與迭代插值及干擾對(duì)消策略相結(jié)合，迭代插值的角度不再從第1個(gè)信源開始，而是由空域FFT提供的粗略角度進(jìn)行細(xì)化，并通過干擾對(duì)消估計(jì)空域FFT測角未能分辨的信源，最后通過判斷對(duì)消殘差功率和MDL(Minimum Description Length)準(zhǔn)則對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)。為降低算法的運(yùn)算量，本文提出了一種基于殘差變化率的細(xì)化估計(jì)收斂策略，能夠在不降低性能的情況下有效地減少迭代次數(shù)。本方案不僅實(shí)現(xiàn)了超分辨算法的信源個(gè)數(shù)自估計(jì)，并且大大降低了原算法的復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，本文提出的方案在估計(jì)精度及分辨率方面性能接近FIIB算法。

1 數(shù)據(jù)模型及FIIB算法介紹

1.1 數(shù)據(jù)模型

如圖1所示，考慮元均勻線陣，陣元間距=2，個(gè)波長為的遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到該陣列，入射方向與陣列法線夾角定義為入射角度(=1,2,…,),則該陣列接收的單快拍數(shù)據(jù)矢量可表示為

(1)

圖1 陣列信號(hào)模型

1.2 FIIB算法介紹

基于FIIB的單快拍DOA估計(jì)通過一種估算-減法策略在內(nèi)循環(huán)中連續(xù)的提取目標(biāo)源，再通過外循環(huán)細(xì)化估計(jì)值，以消除收斂時(shí)的偏差。該算法的核心是一個(gè)簡單而高精度的插值策略，與泄露減法方案相結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)多源DOA的無偏估計(jì)。

相較于RELAX算法對(duì)于每次信源估計(jì)均需要一次FFT，F(xiàn)IIB算法僅需一次FFT計(jì)算，即通過點(diǎn)(=*)FFT得到傳統(tǒng)波束形成系數(shù)[]，后續(xù)處理均在頻域進(jìn)行，從而避免了FFT的重復(fù)使用。在第一次迭代中，從最強(qiáng)的信源開始依次獲得個(gè)目標(biāo)的粗略估計(jì)。即對(duì)于第個(gè)信源，從陣列信號(hào)中減去之前已估計(jì)出的信號(hào)源，然后通過傅里葉變換在頻譜中確定最高的峰值。再通過傅里葉系數(shù)插值來細(xì)化目標(biāo)的粗估計(jì)。通過插值策略與連續(xù)估計(jì)減法相結(jié)合，消除了頻譜泄漏導(dǎo)致的偏差，從而得到準(zhǔn)確的估計(jì)。

1.3 FIIB算法的超分辨性能分析

文獻(xiàn)[7]重點(diǎn)對(duì)于FIIB算法的無偏估計(jì)進(jìn)行了討論，并進(jìn)行了相關(guān)仿真驗(yàn)證，但是對(duì)于算法的超分辨性能并未過多討論。當(dāng)兩個(gè)目標(biāo)落在同一波束內(nèi)時(shí)，傳統(tǒng)的波束形成算法將無法進(jìn)行分辨，在FIIB算法中通過去除其他目標(biāo)的影響，可以顯露出剩余的目標(biāo)，并通過迭代插值不斷地細(xì)化目標(biāo)的估計(jì)值，從而能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)的超分辨并得到各自精確的估計(jì)值。

圖2和圖3分別給出了不同角度間隔下算法的檢測概率、均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)的曲線圖。如圖所示，當(dāng)兩個(gè)目標(biāo)的角度間隔為2，即角度間隔為實(shí)孔徑理論分辨率的二分之一，也就是常說的兩倍超分辨，在信噪比為0 dB時(shí)，算法分辨性能較差，兩倍超分辨的檢測概率為30.7%；隨著信噪比的提升，算法的超分辨能力逐漸提升，在高信噪比30 dB下，F(xiàn)IIB算法的五倍超分辨檢測概率可達(dá)85.6%。

圖2 不同信噪比下的檢測概率

圖3 不同信噪比下的均方根誤差

2 基于FFT和迭代插值的改進(jìn)型超分辨算法

本文提出的基于FFT和迭代插值的超分辨算法，有效地將傳統(tǒng)的FFT算法測角方案與迭代插值-干擾對(duì)消相結(jié)合，并提出一種新的收斂策略，能夠高精度、低復(fù)雜度地實(shí)現(xiàn)信源的角度估計(jì)及個(gè)數(shù)估計(jì)。傳統(tǒng)的空域FFT測角方法簡單，但分辨率低，不能分辨落在同一波束內(nèi)的目標(biāo)。因此，將FFT測角得到的目標(biāo)粗略角度進(jìn)行迭代插值，對(duì)粗略角度進(jìn)行細(xì)化估計(jì)，并經(jīng)過信號(hào)對(duì)消，顯露出位于同一個(gè)分辨單元的其余目標(biāo)，再次利用插值迭代，得到精確的目標(biāo)角度值，從而實(shí)現(xiàn)所有目標(biāo)的估計(jì)。其次，本文提出了一種基于殘差變化率的插值迭代收斂策略，在不損失性能的情況下能夠有效地減少算法迭代的次數(shù)，從而大大地降低算法的計(jì)算量。此外，采用對(duì)消殘差功率與MDL準(zhǔn)則相結(jié)合的方法進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)。當(dāng)殘差功率小于噪聲功率閾值時(shí)，我們認(rèn)為剩余信號(hào)中不再存在信源而是僅剩噪聲，并結(jié)合MDL信源估計(jì)準(zhǔn)則對(duì)信源個(gè)數(shù)的最優(yōu)性進(jìn)行判斷，進(jìn)一步提升估計(jì)的正確率。

算法的流程圖如圖4所示，共包含三層循環(huán)，內(nèi)層循環(huán)逐目標(biāo)進(jìn)行插值，對(duì)目標(biāo)的空間頻率和幅度進(jìn)行更新，并通過第二層細(xì)化估計(jì)的循環(huán)不斷細(xì)化估計(jì)值。外層循環(huán)則進(jìn)行信號(hào)對(duì)消，估算新目標(biāo)，并通過功率殘差和MDL準(zhǔn)則進(jìn)行信源個(gè)數(shù)判定。算法首先對(duì)FFT測角估計(jì)出的個(gè)目標(biāo)進(jìn)行插值，逐目標(biāo)計(jì)算該目標(biāo)的無泄漏系數(shù)。對(duì)第個(gè)信源有

(2)

對(duì)第個(gè)信源進(jìn)行插值，計(jì)算插值系數(shù)，假設(shè)信源對(duì)應(yīng)的DFT(Discrete Fourier Transform)峰值位置為，則信源的精確頻率可表示為

(3)

式中，∈[-,]為當(dāng)前估計(jì)的偏差。

則+的DFT系數(shù)為

(4)

圖4 基于FFT和迭代插值的超分辨算法流程圖

式中，第二項(xiàng)為其余分量在+處的系數(shù)，即其他目標(biāo)能量的泄漏對(duì)第個(gè)信源的干擾。將第一項(xiàng)剝離出來，通過插值估計(jì)偏差，對(duì)第個(gè)信源的頻率進(jìn)行更新。記第二項(xiàng)干擾項(xiàng)為

(5)

則第個(gè)信源在±處的無泄漏的DFT系數(shù)為

(6)

利用傅里葉系數(shù)插值得到

(7)

根據(jù)得到的估計(jì)偏差對(duì)信源的頻率和幅值進(jìn)行更新，

(8)

(9)

更新后的目標(biāo)空間頻率，再通過第二層的細(xì)化估計(jì)循環(huán)不斷地細(xì)化估計(jì)值，從而得到目標(biāo)的精確估計(jì)值。

在完成對(duì)現(xiàn)有目標(biāo)的細(xì)化估計(jì)后，通過干擾對(duì)消從陣列信號(hào)中減去已估計(jì)的目標(biāo)分量，根據(jù)剩余信號(hào)的功率(殘差功率)預(yù)判是否還存在其他目標(biāo)，

=0,1,2,…,-1

(10)

=(||)

(11)

對(duì)陣列信號(hào)進(jìn)行噪聲估計(jì)，并以此作為噪聲門限。當(dāng)殘差功率小于噪聲門限時(shí)，則認(rèn)為信號(hào)中僅剩噪聲不再存在其他信源。結(jié)合MDL準(zhǔn)則對(duì)當(dāng)前估計(jì)出的信源個(gè)數(shù)的是否最優(yōu)進(jìn)行判斷，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信源個(gè)數(shù)的估計(jì)。

3 精估計(jì)收斂策略

在FIIB中對(duì)單源、多源的收斂策略進(jìn)行了分析討論，提出了一種克拉美羅界(Cramer Rao Bound, CRB)自適應(yīng)方法，即精估計(jì)循環(huán)至兩次連續(xù)頻率估計(jì)之間的最大差值小于指定的容差為止，該容差根據(jù)CRB自適應(yīng)設(shè)置。該策略保證了在高SNR下具有與其CRB一致的較小的容差值。然而在實(shí)際的工程應(yīng)用中，算法的計(jì)算量往往是第一考慮要素，甚至可以犧牲算法的性能來換取計(jì)算量的降低。而FIIB算法主要的運(yùn)算開銷便是細(xì)化估計(jì)的迭代。CRB自適應(yīng)收斂策略的算法確實(shí)能夠獲得較好的性能，但是在工程中也因其迭代次數(shù)過大而難以得到應(yīng)用。

本文從信源殘差功率的變化曲線出發(fā)，提出一種基于殘差變化率的新收斂策略，能夠在不損失算法性能的前提下大大降低迭代次數(shù)，從而降低算法的計(jì)算量。圖5顯示了細(xì)化估計(jì)迭代中殘差功率以及目標(biāo)估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差隨迭代次數(shù)的變化曲線圖，根據(jù)曲線變化可以看到，隨著迭代次數(shù)增多，信源估計(jì)值不斷精確，殘差功率在逐漸降低后趨于平穩(wěn)，此時(shí)信源的估計(jì)角度偏差開始緩慢趨于0。因此，建議細(xì)化估計(jì)在兩次迭代間的殘差功率變化率Δ小于指定閾值時(shí)停止迭代。

圖5 細(xì)化估計(jì)殘差功率、角度誤差隨迭代次數(shù)變化曲線圖

圖6 不同收斂策略的RMSE隨SNR變化的曲線圖

表1 不同收斂策略下精估計(jì)迭代的平均次數(shù)

4 仿真結(jié)果與分析

由于在原FIIB算法中信源個(gè)數(shù)已知，為排除本文算法基于對(duì)消殘差功率的MDL信源個(gè)數(shù)估計(jì)方案的性能影響，在4.1節(jié)的仿真中，我們將信源個(gè)數(shù)設(shè)為已知，比較各個(gè)算法的性能；在4.2節(jié)中設(shè)置為信源個(gè)數(shù)未知，探究本文算法與FIIB算法、采用信源個(gè)數(shù)自估計(jì)的FIIB算法三種算法的性能。

4.1 信源個(gè)數(shù)已知情況下不同算法的估計(jì)性能與SNR、角度間隔的關(guān)系分析

在本小節(jié)中，假設(shè)信源個(gè)數(shù)已知，對(duì)FIIB算法、本文改進(jìn)算法及Root-MUSIC算法進(jìn)行仿真。

場景一：設(shè)置兩個(gè)目標(biāo)源，兩個(gè)目標(biāo)源的幅度||=||，電角度間隔設(shè)置分別設(shè)置為2，探究兩個(gè)信源下不同算法的性能與SNR的關(guān)系，仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 不同算法的檢測概率與SNR的關(guān)系

圖8 不同算法的RMSE與SNR的關(guān)系

場景二：設(shè)置兩個(gè)目標(biāo)源的幅度||=||，電角度間隔設(shè)置由5至2變化，信噪比設(shè)置為0 dB、30 dB，探究不同算法對(duì)兩個(gè)信源的分辨能力，仿真結(jié)果如圖9、圖10所示。

圖9 不同算法的檢測概率與角度間隔的關(guān)系

圖10 不同算法的RMSE與角度間隔的關(guān)系

圖7、圖8分別給出了信源個(gè)數(shù)已知下，不同算法的檢測概率、RMSE性能與SNR的關(guān)系。在兩個(gè)目標(biāo)間隔為兩倍超分辨下，在高信噪比下本文提出的改進(jìn)算法與FIIB算法性能接近，檢測概率可達(dá)到100%。在低信噪比檢測概率略低于FIIB算法，但比FIIB算法RMSE更低，估計(jì)值更加準(zhǔn)確。顯然本文算法在所有信噪比下性能優(yōu)于Root-MUSIC算法。圖9、圖10則分別給出了不同算法的檢測概率、RMSE性能與角度間隔的關(guān)系。在低信噪比下本文算法對(duì)于兩個(gè)目標(biāo)的分辨能力略弱于FIIB算法，但是隨著SNR的提升，性能逐漸接近FIIB算法。

4.2 信源個(gè)數(shù)未知情況下不同算法的估計(jì)性能與SNR、角度間隔的關(guān)系分析

在本小節(jié)中，信源個(gè)數(shù)設(shè)置為未知，對(duì)本文改進(jìn)算法、FIIB算法及采用信息論準(zhǔn)則進(jìn)行信源估計(jì)的FIIB算法三種算法進(jìn)行仿真，其中本文算法采用基于對(duì)消殘差功率和MDL準(zhǔn)則的信源估計(jì)法對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)。其余仿真參數(shù)與4.1節(jié)中相同。

場景一：兩倍超分辨下不同算法的性能與SNR的關(guān)系，仿真結(jié)果如圖11、圖12所示，圖13顯示了信源個(gè)數(shù)的估計(jì)正確率與SNR的曲線圖。

圖11 不同算法的檢測概率與SNR的關(guān)系

圖12 不同算法的RMSE與SNR的關(guān)系

圖13 信源個(gè)數(shù)估計(jì)正確率與SNR的關(guān)系

場景二：不同算法的性能與角度間隔的關(guān)系，仿真結(jié)果如圖14、圖15所示，圖16顯示了信源個(gè)數(shù)的估計(jì)正確率與角度間隔的關(guān)系圖。

圖14 不同算法的檢測概率與角度間隔的關(guān)系

圖15 不同算法的RMSE與角度間隔的關(guān)系

圖16 信源個(gè)數(shù)估計(jì)正確率與角度間隔的關(guān)系

4.2節(jié)重點(diǎn)討論本文改進(jìn)方案中基于對(duì)消殘差和MDL準(zhǔn)則的信源個(gè)數(shù)估計(jì)法的性能，及信源個(gè)數(shù)估計(jì)的正確率對(duì)算法的影響。在場景一中，如圖11和圖12所示，本文算法與FIIB算法估計(jì)精度的性能接近，但是檢測概率在信噪比為0 dB時(shí)明顯低于FIIB算法。由圖13展示的信源個(gè)數(shù)估計(jì)正確率的曲線圖可以看出，信源個(gè)數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤直接導(dǎo)致了本文算法檢測概率性能惡化，這是因?yàn)楸疚牟捎玫腗DL準(zhǔn)則在低信噪比下存在欠估計(jì)的問題，導(dǎo)致信源個(gè)數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤，從而影響檢測概率。而在場景二中，同樣存在該問題，如圖14至圖16所示，在SNR為30 dB時(shí)，本文算法的檢測概率與RMSE都接近于信源個(gè)數(shù)已知的情況。但當(dāng)SNR為0 dB時(shí)，本文算法的檢測概率因信源個(gè)數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤而低于FIIB算法。由仿真結(jié)果可見，本文提出的信源個(gè)數(shù)自估計(jì)的超分辨算法在高信噪比下接近FIIB原始算法，然而隨著信噪比降低，算法性能逐漸下降。

5 結(jié)束語

本文研究了低復(fù)雜度、高分辨率的DOA估計(jì)問題，提出了一種基于FFT和迭代插值的快速超分辨算法。該算法將簡單的空域FFT與迭代插值的策略相結(jié)合，由空域FFT得到的粗略角度作為細(xì)化估計(jì)迭代的入口，而非低效率的逐個(gè)目標(biāo)開始估計(jì)。然后進(jìn)行插值迭代細(xì)化估計(jì)值，并通過干擾對(duì)消來消除頻譜泄漏的影響，最終利用對(duì)消后的殘差功率與信息論準(zhǔn)則聯(lián)合進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)。該算法無需信源個(gè)數(shù)的先驗(yàn)信息，不但能在高信噪比下實(shí)現(xiàn)五倍超分辨，并且通過基于殘差變化率的收斂策略能夠大大降低算法的計(jì)算量。仿真結(jié)果表明，本文算法在估計(jì)精度、分辨率方面與FIIB算法性能相差無幾，優(yōu)于Root-MUSIC算法。