導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題中的易錯(cuò)題剖析

練中彬

導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，該類題主要涉及函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)等知識，也涉及構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、分離參數(shù)、放縮、轉(zhuǎn)化等方法，對提升同學(xué)們的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算有極大的幫助。下面就導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題中的易錯(cuò)點(diǎn)歸類總結(jié)。

一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例1

證明：

易錯(cuò)剖析：當(dāng)待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，通過研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式。

二、放縮法證明不等式

例2 已知函數(shù)f（x）=1nx-ax+1。

（1）若對任意xE（0，+o），f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍;

（2）求證：

解析：

易錯(cuò)剖析：解答本題第（2）問的關(guān)鍵是利用lnx≤x—1（x>0）進(jìn)行放縮。

例3

證明：

易錯(cuò)剖析：若某些不等式直接構(gòu)造函數(shù)不易求最值，則可利用條件與不等式的性質(zhì)，適當(dāng)放縮后，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明。

三、分離e和lnx證明不等式

例4 已知函數(shù)f（x）=ex2-xlnx，

證明：

易錯(cuò)剖析：（1）當(dāng)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)都便于求導(dǎo)的函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的。（2）本題中將原不等式，便于探求構(gòu)造的函數(shù)h（x）=1nx+1/2和φ（x）=ex—e的單調(diào)性，分別求出h（x）的最小值與φ（x）的最大值，借助“中間媒介”證明不等式。

四、分拆函數(shù)法證明不等式

例5 已知函數(shù)f（x）=elnx-ax （aER）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)a=e時(shí)，證明：xf（x）-e+ 2ex≤0。

解析：

綜上可得，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≤g（x），即f（x）≤-2e，即xf（x）-e+2ex≤0。

易錯(cuò)剖析：①當(dāng)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)都便于求導(dǎo)的函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的。②在證明的過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，在證得g（x）mn≥f（x）mx恒成立時(shí)，可以得到f（x）≤g（x）恒成立。

五、不等式恒成立問題

例6 已知函數(shù)f（x）=x2+2/2，g（x）=（1/2）-m，若Vx1E[1，2]，3x2E[-1， 1]，使f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：

易錯(cuò)剖析：本題易錯(cuò)的地方是誤解“任意性”與“存在型”的關(guān)系，得到如下錯(cuò)解：因?yàn)閒'（x）=2（x°=1），x[1，2]，所以f'（x）≥ 0，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，f（x）mn=f（1）=3。函數(shù)g（x）=（/2）—m在R上單調(diào)遞減，則Vx1E[1，2]，3x2E[-1，1]，使 f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）mn≥ g（x2）max，所以2-m≤3，解得m≥-1。

在高考中，導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題一般出現(xiàn)在壓軸題的位置，因此，我們既要掌握通性通法，又要避開易犯的錯(cuò)誤，才可以決勝高考。

（責(zé)任編輯王福華）C403D9D1-67BC-4F41-B331-570E18E3DC79