導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)易錯(cuò)題剖析

田吉龍

高考中函數(shù)的零點(diǎn)主要考查零點(diǎn)所在區(qū)間—零點(diǎn)存在性定理，數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中常用到函數(shù)的零點(diǎn)，方程思想，與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化等知識(shí)。下面就函數(shù)的零點(diǎn)問題總結(jié)同學(xué)們的失分情況，為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供幫助。

題型一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：（1）函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，且必須在定義域內(nèi);（2）畫函數(shù)圖像時(shí)要注意最大值或者最小值，圖像是否與x軸有交點(diǎn)等特殊情況。

例2

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用。由f（x）=0分離變量得出a=g（x），將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)問題。在判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)要注意單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系，單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)。

題型二、函數(shù)零點(diǎn)偏移問題

例3 已知函數(shù)f（x）=/—21nx（aER，a≠0）。

（1）求函數(shù)f（x）的極值;

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x14。

解析：

易錯(cuò)點(diǎn)分析：（1）極值是函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值，注意與極值點(diǎn)的區(qū)分;（2）利用分析法證明零點(diǎn)偏移問題。如本題中，由x1，x2為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，可得0