函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中的零點(diǎn)問題

杜龍安

函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，函數(shù)零點(diǎn)問題一直是高考全國(guó)卷考查的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題，常以壓軸題的形式出現(xiàn)。該類問題主要考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。試題通過引入?yún)?shù)，由于參數(shù)不確定而引起分類討論，通常設(shè)置的問題有：討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)、證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)、已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、已知零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍等。本文結(jié)合例題幫助同學(xué)們梳理函數(shù)零點(diǎn)問題的考查形式和求解思路，從而提高備考的針對(duì)性，最終達(dá)到提高高考競(jìng)爭(zhēng)力的目的。

一、討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1設(shè)函數(shù)f（x）=1/2x2-（a+1）x +alnx，a>0。

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：

綜上可得，函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)。

評(píng)注：該題第（1）問的難度不大，體現(xiàn)試題的低起點(diǎn)，有利于同學(xué)們的解答，主要通過對(duì)a進(jìn)行分類討論后得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;第（2）問可根據(jù)第（1）問的結(jié)果求出函數(shù)f（x）的極值，然后再對(duì)函數(shù)f（x）的極值的符號(hào)進(jìn)行討論，并結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，從而確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。該題求解的關(guān)鍵是求函數(shù)的極值，以及對(duì)函數(shù)的極值的符號(hào)的討論，分類討論思想在該題中起到舉足輕重的作用。

二、證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例2 已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x）。（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程;

（2）證明：函數(shù)f（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)。

解析：

綜上所述，函數(shù)f（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)。

評(píng)注：本題分類討論的標(biāo)準(zhǔn)與例1不同，主要結(jié)合三角函數(shù)值的有界性進(jìn)行分類，整道題的求解思路還是討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求函數(shù)f（x）的極值，判斷函數(shù)f（x）的極值的符號(hào)，最后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

三、已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

例3 已知函數(shù)f（x）=（2ax2+bx+ 1）e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

（1）若a=1/2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）略。

（2）

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e-2，1/2）。

評(píng)注：本題較為復(fù)雜，難度較大，主要因?yàn)樾枰啻吻髮?dǎo)，多次換元，利用數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)的單調(diào)性、最值，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)情況。求解整道題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的最小值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)得到h（x）<0，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)一步驗(yàn)證。

四、已知零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍

例4 已知函數(shù)f（x）=1nx，g（x）= -x2+ax+1。

（1）求函數(shù)y=f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最大值;

（2）若函數(shù)y=x2f（x）+g（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2（x1121n 2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）略。

（2）

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵是在求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值后，利用數(shù)形結(jié)合思想得出x2—x1的值隨著a的增大而增大，后面就只需求解當(dāng)x2—x1=1/21n2時(shí)a的值即可。

研究函數(shù)零點(diǎn)問題需要借助導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)的極值、最值，再利用數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。函數(shù)零點(diǎn)問題有較強(qiáng)的綜合性，問題的求解對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)綜合能力要求比較高，對(duì)分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的考查尤為透徹，因此，此類題一直是高考得分率較低的題目。同學(xué)們只要平時(shí)勤于思考，勤于動(dòng)手，多歸納總結(jié)，勤于提煉思想方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力，就可以攻破此類問題。

（責(zé)任編輯王福華）