用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題

高峰

用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是高考一個(gè)主要考點(diǎn)，常與解析幾何知識(shí)交匯命題，旨在考查同學(xué)們對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的正確理解。主要涉及求曲線切線的斜率與方程、曲線切線的條數(shù)、曲線的公切線、滿足條件的切線是否存在及滿足條件的切線的參數(shù)范圍等問題。

一、曲線在某點(diǎn)處的切線

例1（2021屆四川省遂寧市高三三模）已知函數(shù)。

（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為k1，曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線的斜率為k2，求k1+k2的值;

（2）若h（x）=f（x）+g（x），設(shè)曲線y= h（x）在點(diǎn)（t，h（t））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S（t），求S（t）的最小值。

解析：

感悟：曲線在某點(diǎn)（xo，f（xo））處的切線，則已知點(diǎn)一定是切點(diǎn)，求切線方程的步驟為：①求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）;②求出切線的斜率k=f'（x。）;③寫出切線方程y—f（xo）=f'（x。）（x—x。），并化簡(jiǎn)為直線方程的一般式。

二、過某點(diǎn)的曲線的切線

例2（2022屆山東省濰坊市高三上學(xué)期期中）已知aER，函數(shù)f（x）=1nx+a（1-x），g（x）=e。

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）過原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）和y=g（x）的切線l1和l2，求證：存在a>0，使得切線l1和l2的斜率互為倒數(shù)。

解析：

感悟：對(duì)于曲線y=f（x）上“過”點(diǎn)（m，n）的切線問題，一般要先設(shè)切點(diǎn)（xo，yo），于是切線為y—n=f'（xo）（x—m），再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上，得y。=f（x。），切點(diǎn)在切線上，得yo—n=f'（x。）（x?！猰），聯(lián)立方程組，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)。本題探究過原點(diǎn)的兩條曲線的切線的斜率互為倒數(shù)時(shí)參數(shù)是否存在的問題，由導(dǎo)數(shù)求得l2的斜率為e，從而得l1的斜率為1/6，設(shè)f（x）的切點(diǎn)坐標(biāo)為（xo，y。），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（xo）=2/0，得出關(guān)于a的方程，再引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明此方程有正數(shù)解即可。

三、探究曲線的切線的條數(shù)

例3（2022屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)f（x）=lnx+/2，aER。

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)恰好可作兩條直線與曲線y=f（x）相切，求a的取值范圍。

解析：

所以a的取值范圍為（0，1/2）。

感悟：求曲線的切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn)（t，f（t）），由已知條件整理出關(guān)于t的方程，把切線的條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題。分離參數(shù)構(gòu)建直線與新函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。

四、曲線的公切線

例4（2022屆湖北省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)f（x）=1nx，g（x）=x2-x+1。

（1）求函數(shù)h（x）=f（x）—g（x）的極值;

（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)f（x），g（x）的圖像都相切。

解析：

感悟：求曲線的公切線的步驟：第一步，分別設(shè)出兩個(gè)曲線上切點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x1，y1），Q（x2，y2），并求出函數(shù)f（x）和g（x）在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);第二步，充分考慮題目的已知條件，抓住切線的定義，挖掘題目的隱含條件，尋找解題的等量關(guān)系，如同一條切線的斜率和截距相等（尤其兩點(diǎn)連線的斜率），以及點(diǎn)既在曲線上又在切線上;第三步，利用方程思想即可得出結(jié)論。

五、滿足條件的切線是否存在的問題

例5（西安中學(xué)2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期中）已知函數(shù)f（x）=e—，g（x）=lnx—1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

（1）當(dāng)x>0時(shí)，求證：f（x）≥g（x）+2。

（2）是否存在直線與函數(shù)y=f（x）及y=g（x）的圖像均相切？若存在，這樣的直線最多有幾條？并給出證明。若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）-2= e"'-Inx-1，x>0.則h'（x）=e--1/2。

因?yàn)閥=h'（x）在（0，+o）上為增函數(shù)，且h'（1）=0，所以當(dāng)xE（0，1）時(shí)，h'（x）<0，h（x）為減函數(shù);當(dāng)xE（1，+o）時(shí)，h'（x）> 0，h（x）為增函數(shù)。

所以h（x）mn=h（1）=e°-1n1-1=0，所以h（x）≥0恒成立，所以f（x）≥g（x）+2。

（2）設(shè)直線與y=f（x）切于A（x1，e），與y=g（x）切于B（x2，lnx2-1）（x2>0）。 f'（x）=e+，g'（x）=1/2，k=f'（x1）= e，所以切線為y-e=e（x-x1）。

因?yàn)閑—'=1/12，即x—1=1n1/22=-lnx2，即x1=1-lnx2，又因?yàn)閘nx2-1- =e-（x2-x1），將e=1/2，x1=1- Inx2，代入Inx2-1-e-1=e（x2-x1），得lnx2-1-1/22=1/2（x2-1+1nx2），整理得1nx21n x2-2=0。

感悟：判斷符合條件的切線是否存在，或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍，求解思路是把切線滿足的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù)，再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)的性質(zhì)去求解。

（責(zé)任編輯王福華）08CE8C89-F2FC-4130-9EB6-5ED8C07E1D51