天平砝碼對對碰

邵勇

到了發(fā)工資的日子，馬小愉快地來到老板辦公室，準(zhǔn)備領(lǐng)工資。可是老板以面粉廠效益不好為由，想拖欠馬小的工資。想領(lǐng)工資也可以，老板說馬小得解決一個(gè)難題，才會給他發(fā)放工資。

為了滿足不同客戶的需求，你需要把廠里的面粉打包成不同規(guī)格的袋裝面粉，質(zhì)量分別是1 kg，2 kg，3 kg，……即千克數(shù)是從1開始的連續(xù)正整數(shù)。一定得是連續(xù)的，不能出現(xiàn)1 kg，2 kg，4 kg這樣不連續(xù)的情況。

老板，我可以用廠里的面粉測量儀嗎？

當(dāng)然不可以，那個(gè)儀器很貴的，被你搞壞了怎么辦？我私人贊助你1架天平和30個(gè)砝碼吧。這些砝碼的質(zhì)量剛好都是1 kg的整數(shù)倍，夠你用了。不過，用的砝碼越少越好，多用的話會影響你的工資。而且你還不能用裝好的面粉或者其他等質(zhì)量的物品代替砝碼，也不能通過混合裝好的面粉得到其他質(zhì)量的面粉。

初次嘗試

老板的要求真是苛刻。為了能拿到工資，馬小開始努力思考起來。要不，我先嘗試2個(gè)砝碼能稱出多少種規(guī)格的袋裝面粉吧。這樣想著，馬小拿起了1 kg和2 kg的砝碼。

馬小先在天平左側(cè)放上1 kg砝碼，然后在天平右側(cè)放上空袋子，一點(diǎn)點(diǎn)往袋子里加入面粉直至天平平衡，得到了1 kg裝的面粉。同樣地，在天平左側(cè)放2 kg砝碼，重復(fù)上述操作就可以獲得2 kg裝的面粉。

那3 kg裝的面粉是怎么獲得的呢？這個(gè)很簡單，只需在天平左側(cè)同時(shí)放上1 kg和2 kg這2個(gè)砝碼即可。至此，馬小用2個(gè)砝碼，獲得了3種規(guī)格的袋裝面粉：1 kg裝，2 kg裝和3 kg裝。但是，馬小想要讓砝碼的利用率達(dá)到最高。有沒有可能換用另外2個(gè)砝碼，得到3種規(guī)格以上的袋裝面粉呢？他嘗試選取1 kg和3 kg這2個(gè)砝碼，然后發(fā)現(xiàn)可以用它們稱出4種連續(xù)質(zhì)量的袋裝面粉：1 kg裝，2 kg裝，3 kg裝和4 kg裝。

那馬小是怎么利用這2個(gè)砝碼稱出2 kg裝的面粉的呢？這就要依靠數(shù)學(xué)的方法了。根據(jù)數(shù)量關(guān)系“ 3-1=2”，我們在天平左側(cè)放上3 kg砝碼，再在天平右側(cè)放上1 kg砝碼和空面粉袋，最后在袋中一點(diǎn)點(diǎn)加入面粉，直至天平平衡。

馬小又有了新的主意。如果選取2 kg和3 kg這2個(gè)砝碼，是否可行呢？這樣可以得到1 kg（1=3-2）裝，2 kg裝，3 kg裝，5 kg（5=3+2）裝的面粉，但是得不到4 kg裝的面粉。這4種袋裝面粉的質(zhì)量是不連續(xù)的，不符合老板的要求。接著，馬小還用了1 kg和4 kg這2個(gè)砝碼，卻得不到2 kg裝的面粉。于是，馬小最終得出這樣的結(jié)論：

在只允許用2個(gè)砝碼的情況下，要想獲得從1 kg開始且盡量多的連續(xù)正整數(shù)的千克數(shù)的袋裝面粉，用1 kg和3 kg這2個(gè)砝碼是最好的選擇，可以得到1 kg裝，2 kg裝，3 kg裝和4 kg裝這4種袋裝面粉。

再加一個(gè)？

有了剛剛的小成就，馬小開始繼續(xù)研究3個(gè)砝碼的情況。如果第一個(gè)和第二個(gè)砝碼是1 kg和3 kg，那么第三個(gè)砝碼是多少kg呢？剛剛用1 kg和3 kg這2個(gè)砝碼得到的最大質(zhì)量是4 kg，那么接下來想要得到5 kg裝的袋裝面粉，馬小應(yīng)該怎么做？

一開始馬小用減法增大了面粉的質(zhì)量，從而增加了袋裝面粉的規(guī)格種數(shù)。所以，接下來馬小想通過“9-4”得到5 kg裝的面粉。于是，他選的第三個(gè)砝碼質(zhì)量為9 kg。這樣，通過減法可以得到5 kg（5=9-4），6 kg（6=9-3），7 kg（7=9+1-3），8 kg（8=9-1）這4種規(guī)格的袋裝面粉，當(dāng)然9 kg裝的面粉也可以輕松獲得。這時(shí)，有的小伙伴可能會問：10 kg不是更大嗎，那用10 kg砝碼替代9 kg砝碼行不行？這是不行的，因?yàn)?0 kg減去最大的4 kg得到的是6 kg裝的面粉，減去更小的3 kg，2 kg或1 kg，更不可能得到5 kg裝的面粉，這時(shí)面粉的質(zhì)量就不連續(xù)了。

其實(shí)，選取9 kg作為第三個(gè)砝碼還有別的好處。只用1 kg和3 kg這2個(gè)砝碼，可以稱得質(zhì)量分別為1 kg，2 kg，3 kg和4 kg的袋裝面粉。那么，有了9 kg這個(gè)砝碼后，還可以稱出10 kg（10=9+1）裝，11 kg（11=9+3-1）裝，12 kg（12=9+3）裝和13 kg（13=9+3+1）裝這4種規(guī)格的袋裝面粉。當(dāng)3個(gè)砝碼全都放在天平左側(cè)時(shí)，13 kg已是可稱得的最大質(zhì)量了。

目前已經(jīng)可以稱出13種規(guī)格的袋裝面粉了。馬小還想繼續(xù)稱出14 kg裝的面粉。“14”可以通過減法“27-13”得到，所以，他選取的第四個(gè)砝碼就是27 kg。這時(shí)，4個(gè)砝碼的質(zhì)量分別是：1 kg，3 kg，9 kg和27 kg，可稱得的最大質(zhì)量是1+3+9+27=40（kg）。大于13 kg又小于40 kg的質(zhì)量可以通過 “加減法”獲得。

比如，要稱19 kg的面粉，馬小可以先在天平左側(cè)放上27 kg的砝碼。根據(jù)27-19=8，馬小還得在天平右側(cè)加上8 kg的砝碼，“8”可以通過“9-1”得到，即先在天平右側(cè)放9 kg砝碼，再在左側(cè)放1 kg砝碼。待右側(cè)加上19kg面粉時(shí)，天平平衡，總的平衡式為27+1=19+9。

有趣的規(guī)律

馬小總結(jié)了在這幾次稱重中所用到的砝碼質(zhì)量，分別是：1，3，9，27，……而這串?dāng)?shù)字有一個(gè)奇妙的規(guī)律：

30，31，32，33，……

這是一個(gè)等比數(shù)列，即從數(shù)列的第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的比值是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)稱為公比。

照此規(guī)律，若用6個(gè)砝碼，則這6個(gè)砝碼的質(zhì)量分別是：1，3，9，27，81，243。這些砝碼可以稱出從1 kg開始，一直到364 kg為止的連續(xù)正整數(shù)千克數(shù)的364種袋裝面粉。而且，砝碼的個(gè)數(shù)、質(zhì)量與面粉規(guī)格種數(shù)有如下的遞推關(guān)系。

最終，馬小順利解決了老板拋出的難題，領(lǐng)到了工資。馬小還利用總結(jié)出的規(guī)律，多次成功地應(yīng)付了老板的刁難。