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    一類變號系數(shù)矩陣的代數(shù)方程組正解存在唯一性

    2022-05-21 05:27:16侯青青劉喜蘭
    甘肅高師學(xué)報 2022年2期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)方程不動點方程組

    侯青青,劉喜蘭

    (寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西寶雞 721013)

    1 引言

    本文主要研究形如式(1)非線性代數(shù)方程組在系數(shù)矩陣變號的情況下解的存在唯一性及正解的存在性.

    式(1)中λ∈R 上的參數(shù),G=(gij)n×n是n×n 階系數(shù)矩陣,

    f,h 是R→R 上的連續(xù)函數(shù).系數(shù)矩陣為正滿足.若gij>0,則G>0(或若gij≥0 則G≥0),?(i,j)∈[1,n]×[1,n],且

    代數(shù)方程以及方程組求解是較為復(fù)雜的問題,對于非線性代數(shù)方程組的求解,在復(fù)雜系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)、優(yōu)化和一些其他領(lǐng)域有很廣泛的研究和應(yīng)用[1,2].許多數(shù)學(xué)問題,如微分方程的數(shù)值解、離散邊值問題和復(fù)雜動力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)問題都與代數(shù)方程組正解的存在性密切相關(guān)[3,4],事實上已經(jīng)有很多文獻研究了非線性代數(shù)方程組解與正解的存在性和唯一性.如,在系數(shù)矩陣為正的條件下,當(dāng)時,文獻[5,6]利用Guo-Krasnoselskii 不動點定理或構(gòu)造Rn上的一個特殊錐,討論了方程組(1)解的存在性與正解的存在唯一性.當(dāng)參數(shù)λ=1,H(x)≡0 時,文獻[7-9]利用單調(diào)迭代法和錐上的不動點定理,討論了方程組(1)解的存在性與正解的存在性.特別地,文獻[10]利用不動點定理討論了在H(x)≡0 時,方程組(1)正解的存在性.本文討論了在系數(shù)矩陣變號時,方程組(1)解的存在唯一性,及正解的存在性.

    2 主要結(jié)論

    首先給出證明定理的2 個引理.

    引理1[11](Brouwer 不動點定理)設(shè)X 是Rn的一個非空凸緊子集,T:X→X 是一個連續(xù)映射,則T 有一個不動點.

    引理2[11](Banach 不動點定理)設(shè)(X,ρ)是一個完備的距離空間,T 是(X,ρ)到其自身的一個壓縮映射,則T 在X 上存在唯一的不動點.

    為了方便起見,以下列出6 個所需條件:

    (H1)f,h:R→R 為有界連續(xù)函數(shù),即存在正數(shù)a,b>0 滿足

    (H2)f,h 在R 上滿足Lipschitz 條件,即存在正常數(shù)L1和L2,使得

    且0<L2<1;

    則方程組(1)的解是算子T 在Rn中的不動點,由此得到定理1、定理2、定理3.

    定理1假設(shè)條件(H1)成立,則對?λ∈R,方程組(1)有一個解xλ.

    證明對?λ∈R,定義

    則由以上不等式知T:X→X 是一個連續(xù)映射,根據(jù)引理1 知T 存在一個不動點,即方程組(1)有一個解.

    定理2假設(shè)條件(H1)和(H2)成立,則當(dāng)|λ|<λ*時,方程組(1)有唯一的解xλ.

    證明令X=[-δ,δ]n?Rn,則X 是完備的度量空間.

    因此,T:X→X 是壓縮映射,由引理2 知T 存在唯一不動點,即方程組(1)存在唯一解.

    根據(jù)以上證明得到了方程組(1)解的存在唯一性,下面討論系數(shù)矩陣G 與函數(shù)H(x)在變號情況下,方程組(1)正解的存在性.

    定理3假設(shè)條件(H1)和(H3)成立,則當(dāng)λ<0時,方程組(1)有正解xλ.

    證明因為條件(H1)成立,所以由定理1 知,方程組(1)的解存在.

    又因為條件(H3)成立,所以存在N>0,當(dāng)u∈[0,N]時,f(u)>0,h(u)>0,此時

    即證得,當(dāng)λ<0 時,方程組(1)有正解xλ.

    類似定理3 可以得到定理4、定理5、定理6.

    定理4假設(shè)條件(H1)和(H4)成立,則當(dāng)λ>0時,方程組(1)有正解xλ.

    證明因為條件(H1)成立,所以由定理1 知,方程組(1)的解存在.

    又因為條件(H4)成立,此時

    其中γ 與定理3 中保持一致.

    所以存在λ>0,當(dāng)‖xλ‖∞<δ 時,

    即得證,當(dāng)λ>0 時,方程組(1)有正解xλ.

    定理5假設(shè)條件(H1)和(H5)成立,則存在μ>0,當(dāng)λ∈(μ,+∞)時,方程組(1)有正解xλ.

    證明因為條件(H1)成立,所以由定理1 知,方程組(1)的解存在.

    又因為條件(H5)成立,所以存在N>0,當(dāng)u∈[0,N]時f(u)>0,h(u)<0,此時

    其中γ 與定理3 中保持一致.

    即證得,當(dāng)λ∈(μ,+∞)時,方程組(1)有正解xλ.

    定理6假設(shè)條件(H1)和(H6)成立,則存在η<0,當(dāng)λ∈(-∞,η)時,方程組有正解xλ.

    證明因為條件(H1)成立,所以由定理1 知,方程組(1)的解存在.

    又因為條件(H6)成立,所以存在N>0,當(dāng)u∈[0,N]時,f(u)>0,h(u)<0,其中γ 與定理3 中保持一致,此時取

    即證得,當(dāng)λ∈(-∞,η)時,方程組(1)有正解xλ.

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