一種基于齊次系統(tǒng)理論的二階離散超螺旋控制算法

陳維樂(lè),都海波

(合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,安徽合肥 230000)

1 引言

滑模控制方法具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、強(qiáng)魯棒性等優(yōu)良性質(zhì),因此受到廣泛的研究和應(yīng)用[1-6].然而,早期的一階滑模控制存在著一些不足,尤其是由不連續(xù)性帶來(lái)的抖振現(xiàn)象.后來(lái),一些學(xué)者提出了二階滑模控制和高階滑?？刂芠7-13],二階滑?？刂坪透唠A滑模控制是一階滑?？刂频耐茝V,既有傳統(tǒng)一階滑模強(qiáng)魯棒性的特點(diǎn),同時(shí)大大消除了抖振,因此得到了越來(lái)越多的關(guān)注.在二階滑?？刂扑惴ㄖ?超螺旋算法(supertwisting algorithm,STA)因其良好的性質(zhì)得到廣泛的研究和應(yīng)用[11-20].

以上分析的滑?？刂茊?wèn)題都集中在設(shè)計(jì)連續(xù)時(shí)間形式的控制器上.然而,在實(shí)際中,越來(lái)越多的控制器實(shí)現(xiàn)是基于數(shù)字計(jì)算機(jī)的采樣控制方式[21-22],因此對(duì)離散時(shí)間下的滑?？刂?即離散滑模控制(discretetime sliding mode control,DSMC),進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析具有重要意義.離散滑?？刂圃诓煌蓸娱g隔內(nèi)控制信號(hào)“凍結(jié)”,固有的有限開(kāi)關(guān)頻率將導(dǎo)致抖振(鋸齒形)運(yùn)動(dòng)[23],使得使用不連續(xù)符號(hào)函數(shù)的有限時(shí)間收斂的性質(zhì)不再成立.

在此背景下,主要有二種設(shè)計(jì)離散滑模的方法.其中一種是離散時(shí)間設(shè)計(jì)方法,首先對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行離散化,然后在離散時(shí)間域中設(shè)計(jì)滑模面,這種設(shè)計(jì)很大程度上是因?yàn)椴捎昧溯^大的采樣周期,其動(dòng)力學(xué)和連續(xù)情況下有很大的不同.在文獻(xiàn)[24]中研究了擬滑動(dòng)模態(tài)和擬滑動(dòng)模帶,嚴(yán)格定義了有關(guān)離散滑?？刂频男g(shù)語(yǔ),并基于一種趨近律方法建立了單輸入離散時(shí)間系統(tǒng)的一個(gè)新的趨近條件.由于離散化的影響,不可避免的要對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì),以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性.文獻(xiàn)[25-26]提出了帶擾動(dòng)補(bǔ)償器的離散趨近律,從而減小了抖振,提高了控制精度.文獻(xiàn)[27-28]研究了基于高階滑模的離散微分器(觀測(cè)器).另一種是連續(xù)滑?？刂频碾x散化,其中的滑模設(shè)計(jì)是在連續(xù)時(shí)間域中進(jìn)行的,然后通過(guò)離散化實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[29-30]分別研究了離散化對(duì)基于等效控制的單輸入和多輸入滑模控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.文獻(xiàn)[31]研究了具有匹配不確定性的基于等效控制的滑?？刂葡到y(tǒng)的離散化行為,研究了具有匹配常數(shù)和周期不確定性的系統(tǒng)的一些固有的動(dòng)態(tài)周期特性.文獻(xiàn)[32]將連續(xù)終端滑?？刂齐x散化,給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的顯式有界性,建立了控制參數(shù)與穩(wěn)態(tài)有界性之間的關(guān)系,證明離散時(shí)間的終端滑模系統(tǒng)比離散時(shí)間的線性滑模系統(tǒng)能提供更高的輸出跟蹤精度.

本文的主要目的在于研究離散超螺旋控制算法并加以改進(jìn).文獻(xiàn)[27,33]等已證明離散超螺旋控制算法的控制精度為O(T2),然而在這些論文中,并沒(méi)有完全考慮到有限開(kāi)關(guān)頻率的影響,即假設(shè)2.在此意義下,能否對(duì)標(biāo)準(zhǔn)超螺旋算法加以改進(jìn),提高控制精度具有重要研究?jī)r(jià)值.本文的主要貢獻(xiàn)是利用齊次系統(tǒng)理論在標(biāo)準(zhǔn)超螺旋算法的基礎(chǔ)上增加一個(gè)參數(shù),使得原來(lái)的符號(hào)函數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)非光滑項(xiàng),設(shè)計(jì)了離散非光滑控制器(discrete-time non-smooth controller,DNC),從理論上分析了影響控制精度的本質(zhì)原因,并在此基礎(chǔ)上對(duì)附加參數(shù)的選擇進(jìn)行了分析,揭示了本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)離散非光滑控制器能提供比離散超螺旋控制器(discrete-time super-twisting controller,DSTC)更高控制精度的原因.最后,仿真驗(yàn)證了理論的正確性.

2 預(yù)備知識(shí)

這部分主要介紹一些定義和引理,以便于之后的證明和解釋說(shuō)明.

定義1[34](Sig函數(shù)) 為了便于書(shū)寫(xiě),定義于擴(kuò)張(r1,···,rn)有齊次度k.

引理1[36]考慮如下系統(tǒng):

其中f(·):Rn →Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù).假設(shè)存在一個(gè)正定連續(xù)函數(shù)V(x):U →R,有實(shí)數(shù)c>0和α ∈(0,1),并且存在一個(gè)包含原點(diǎn)開(kāi)區(qū)域U0?U使得˙V(x)+c(V(x))α≤0,x ∈U0{0}.那么V(x)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)0.此外,有限收斂時(shí)間T滿足

下面的不等式引理是直接借用文獻(xiàn)[38-39],或者在此基礎(chǔ)上做了一些小小的改進(jìn).

3 離散超螺旋控制算法

考慮如下一階系統(tǒng):

其中:u(t)是控制輸入,f(t)是外部擾動(dòng),并且滿足以下假設(shè).

假設(shè)1f(t)光滑可導(dǎo),且滿足

其中L是已知常數(shù).

本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)一類采樣控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)(4)的鎮(zhèn)定控制.采樣控制方式使用最常見(jiàn)的零階保持器

其中:tk,tk+1是采樣時(shí)刻點(diǎn),T是采樣周期.對(duì)于采樣周期,一般滿足下列假設(shè).

假設(shè)2已知存在一個(gè)最小采樣周期T?,使得

其中T是系統(tǒng)實(shí)際能夠設(shè)置的采樣周期.

本文的目標(biāo)是針對(duì)系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的離散超螺旋控制方法,以減小抖振,獲得更高的控制精度.首先,針對(duì)系統(tǒng)(4),對(duì)離散超螺旋算法進(jìn)行回顧.

具體地,控制器設(shè)計(jì)為

文獻(xiàn)[33]已證明其控制精度可以到達(dá)O(T2).接下來(lái),本文將在式(7)的基礎(chǔ)上加以擴(kuò)展,提出一種改進(jìn)的離散超螺旋控制方法,使系統(tǒng)在采樣控制方式下?lián)碛懈叩木?

4 改進(jìn)的離散超螺旋控制方法

通過(guò)運(yùn)用齊次系統(tǒng)理論,增加了一個(gè)參數(shù),擴(kuò)展了標(biāo)準(zhǔn)離散超螺旋控制方法.本節(jié)將證明在采樣控制下,本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)方法能夠使系統(tǒng)有更高的控制精度.

定理1對(duì)于一階系統(tǒng)(4),如果采樣控制器設(shè)計(jì)為

其中-1/2<τ <0,并且增益滿足

那么系統(tǒng)輸出將在有限時(shí)間收斂到如下區(qū)域:

其中c1,c2是與控制參數(shù)相關(guān)的常數(shù).

證將控制器(8)代入系統(tǒng)(4)中,可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的精確迭代公式

那么式(11)將轉(zhuǎn)化為

x1(t),x2(t)是系統(tǒng)狀態(tài).顯然,系統(tǒng)(14)被拆分成了兩部分,一部分是連續(xù)時(shí)間控制器,一部分為采樣控制造成的誤差.為了便于證明,可以先討論連續(xù)系統(tǒng)部分的穩(wěn)定性分析,亦即采樣時(shí)間為0情況下的穩(wěn)定性分析.具體的證明過(guò)程可見(jiàn)附錄.

命題1沿著如下的連續(xù)時(shí)間閉環(huán)系統(tǒng):

其中:γ6為正的常數(shù),ξ=11+τ -x2.

基于命題1,使用與式(17)相同的李雅普諾夫函數(shù),沿著系統(tǒng)方程(14)對(duì)V求導(dǎo),得到

接下來(lái),將證明系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到該集合.

如果系統(tǒng)不在該集合內(nèi),這意味著

屬于有限時(shí)間收斂,因此,無(wú)論第2種情況是否發(fā)生,都有

其中常數(shù)c滿足0

證畢.

注1對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(18),即是本文所設(shè)計(jì)的離散超螺旋閉環(huán)控制系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間形式(亦即采樣周期為0),根據(jù)齊次系統(tǒng)的定義,當(dāng)干擾d=0時(shí),該閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)擴(kuò)張(1,1+τ)具有齊次度τ.因此,本文所提出的離散超螺旋控制算法是基于齊次系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)出的.此外,和傳統(tǒng)的連續(xù)形式超螺旋控制系統(tǒng)對(duì)比,該系統(tǒng)增加了一個(gè)附加參數(shù)τ,基于式(19),可以看出該額外的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響.

注2從式(38)可知,系統(tǒng)輸出最終將收斂到和所限定的邊界內(nèi),前者表征著非光滑項(xiàng)帶來(lái)的抖振影響,后者表征著外在擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響.考慮到?1/2<τ <0,討論下面2種情況.

1) 如果τ=?1/2,控制器(7)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散超螺旋控制器,那么系統(tǒng)狀態(tài)邊界為

2) 如果τ=0,此時(shí)控制器(7)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散線性控制器,狀態(tài)邊界為

由式(38)(47)-(48)可知,在離散系統(tǒng)中,無(wú)論是線性項(xiàng)還是非線性項(xiàng)(符號(hào)函數(shù))都是針對(duì)抖振或者擾動(dòng)的其中之一有效,而對(duì)另一面則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.一般采樣周期遠(yuǎn)小于擾動(dòng),所以一般情況下,離散超螺旋控制器的控制精度上遠(yuǎn)高于離散線性控制器.

本文在上述2種算法的基礎(chǔ)上,采用了一種折衷的方式,引入了非光滑項(xiàng),通過(guò)調(diào)節(jié)τ在抖振和外部干擾抑制性能之間取得了一種平衡,使得整體穩(wěn)態(tài)誤差界變小.τ由下式確定

5 仿真

在仿真中,假設(shè)外界擾動(dòng)為f(t)=-sint+0.5 cos(2t),則=|-cost-sin(2t)|≤2,即L=2.假設(shè)最小采樣周期滿足T?=0.001 s.為了驗(yàn)證所提算法的高精度,將本文提出的離散非光滑控制器(DNC)與標(biāo)準(zhǔn)的離散超螺旋控制器(DSTC)作比較,并選擇較大初始狀態(tài),觀察最后的誤差范圍.系統(tǒng)初值:x(0)=100.控制器參數(shù):k1=6,k2=8,v(0)=0,τ由式(49)決定.

系統(tǒng)輸出曲線和控制輸入曲線如圖1所示,可以直觀地看出,在不同采樣周期下,本文提出的離散非光滑控制器穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的誤差界都顯著小于離散超螺旋控制器.此外,圖1中系統(tǒng)輸出曲線最后的誤差界整理在表1中,從表中誤差界的大小關(guān)系可以看出,通過(guò)調(diào)節(jié)τ的取值可以將誤差界顯著減小,說(shuō)明了本文的改進(jìn)算法可以實(shí)現(xiàn)更高的控制精度目標(biāo).

圖1 在不同采樣周期T情況下,離散超螺旋控制器(DSTC)和離散非光滑控制器(DNC)作用下的系統(tǒng)輸出和控制輸入Fig.1 Under the case of different sampling periods T,the system output and control input under the action of discrete-time super-twisting controller (DSTC) and discrete-time non-smooth controller(DNC)

表1 2種算法下系統(tǒng)最終收斂的誤差界及其比較Table 1 The bounds of the final convergence of the system errors under two algorithms and their comparison

6 總結(jié)

本文針對(duì)一階系統(tǒng)的采樣控制提出了一種改進(jìn)的離散超螺旋控制方法.首先,在超螺旋控制算法的基礎(chǔ)上,利用齊次控制理論,通過(guò)調(diào)節(jié)附加參數(shù)來(lái)提高控制精度.然后,通過(guò)構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù),定量地分析了采樣周期和外在擾動(dòng)對(duì)控制精度的影響,并給出了附加參數(shù)的整定方法,證明了本文的改進(jìn)算法精度高于標(biāo)準(zhǔn)離散超螺旋控制算法.最后,仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性.

附錄 命題1的證明

首先,結(jié)合引理2,給出V1的導(dǎo)數(shù)為