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    基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題機(jī)器學(xué)習(xí)方法

    2022-05-21 08:46:32張濤陳薇周俊劉瑞林陳芳
    關(guān)鍵詞:測(cè)試函數(shù)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

    張濤,陳薇,周俊,劉瑞林,陳芳

    長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023

    多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題是指同時(shí)優(yōu)化多個(gè)相互沖突目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題,由于其可以全面體現(xiàn)決策者的意愿,從而廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中,如跨流域調(diào)水問(wèn)題[1]、土地資源使用問(wèn)題[2]、工程設(shè)計(jì)問(wèn)題[3]、綠色煤炭生產(chǎn)問(wèn)題[4]等。但由于多目標(biāo)問(wèn)題的復(fù)雜性,其有效的算法設(shè)計(jì)一直是優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

    智能算法的發(fā)展促進(jìn)了最優(yōu)化方法從“方法定向”到“問(wèn)題定向”的轉(zhuǎn)變。相對(duì)于傳統(tǒng)算法,智能優(yōu)化算法具有以下優(yōu)點(diǎn):對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性能要求更為寬松;計(jì)算效率比理論上的最優(yōu)性更為重要;多數(shù)算法有一個(gè)多個(gè)體的種群,尋優(yōu)過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)種群進(jìn)化的過(guò)程。結(jié)合多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征,智能算法已成為求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的重要手段。SCHAFFER設(shè)計(jì)了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的向量評(píng)價(jià)遺傳算法(VEGA)[5];FONSECA和FLEMING提出了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的遺傳算法MOGA[6],該算法易于操作且計(jì)算效率較高,但該算法過(guò)于依賴(lài)共享參數(shù),極易陷入局優(yōu);SRINIVAS和DEB提出了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非受控排序遺傳算法(NSGA),該算法具有較好的收斂性且Pareto最優(yōu)解分布均勻,但算法計(jì)算量大,計(jì)算復(fù)雜度高[7];HORN等提出了基于小生境技術(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的遺傳算法(NPGA),該算法計(jì)算效率較高且能獲得較好的Pareto最優(yōu)解集,但難以選擇和調(diào)整小生境半徑和比較集的規(guī)模[8];KNOWLES等提出了基于外部存檔的多目標(biāo)進(jìn)化算法(PAES),該算法利用外部存檔技術(shù)保留非支配個(gè)體,并采用一種自適應(yīng)的網(wǎng)格保持種群的多樣性[9];CORNE等利用擠壓系數(shù)保持種群的多樣性,提出了Paeto包絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化選擇算法(PESA)[10];后續(xù)又對(duì)PESA 算法進(jìn)行改進(jìn),提出了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的PESA-Ⅱ算法,該算法采用網(wǎng)格選擇,與基于個(gè)體選擇的PESA算法相比,在一定程度上提高了算法的運(yùn)行效率[11];基于外部精英集存檔技術(shù)和保持種群多樣性的聚類(lèi)技術(shù),結(jié)合基于個(gè)體強(qiáng)度的適應(yīng)度賦值方法,ZITZLER等提出了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法(SPEA),該算法為多目標(biāo)進(jìn)化算法的設(shè)計(jì)提供了一種新的思想,但該算法在選擇壓力較小時(shí),幾乎等效于隨機(jī)搜索[12];他們后續(xù)又對(duì)SPEA算法的適應(yīng)度分配策略、個(gè)體分布性評(píng)估方法以及非支配解集的更新策略進(jìn)行了改進(jìn),提出了第二代求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法(NSGA-Ⅱ),該算法雖然與SPEA算法的計(jì)算復(fù)雜度相同,但SPEA-Ⅱ的Pareto最優(yōu)解的分布均勻性得到了極大的提高[13];基于快速非受控技術(shù),DEB等提出了求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的快速非受控排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ),該算法具有良好的收斂性與Pareto最優(yōu)解具有較好的分布均勻性且計(jì)算效率較高,但難以找到孤立點(diǎn)[14]。

    自2003年開(kāi)始,由于粒子群優(yōu)化算法以及人工免疫系統(tǒng)優(yōu)化算法等新的進(jìn)化思想被引入多目標(biāo)優(yōu)化的領(lǐng)域,多目標(biāo)進(jìn)化算法的研究又得到了進(jìn)一步的發(fā)展。2004年,COELLO等提出了多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的粒子群算法(MOPSO),該方法簡(jiǎn)單易行且具有較高的計(jì)算效率[15];2008年,基于人工免疫系統(tǒng)模擬抗體的優(yōu)化過(guò)程,JIAO等提出了經(jīng)典的求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非支配鄰域免疫算法(NNIA),該算法收斂速度較快,在求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)[16]。

    近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者以多目標(biāo)進(jìn)化算法為主要手段,設(shè)計(jì)了一系列的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題求解算法,并取得了一定的成果。然而,多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)化算法中仍存在一些共性問(wèn)題:測(cè)試函數(shù)的Pareto最優(yōu)解集模式單一;種群多樣性與算法收斂速度相互牽制,且隨著問(wèn)題維度的增加,求解難度急劇上升。最近,深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因在圖像邊緣提取中的高效性備受矚目,該方法幾乎可以“瞬時(shí)”完成圖像邊緣提取。事實(shí)上,將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的像空間進(jìn)行圖像表征,則Pareto最優(yōu)前沿通常映射為圖像邊緣的特定部分?;诖?,筆者設(shè)計(jì)了一種基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。

    1 模型與基本概念

    假設(shè)x∈Rn,f:Rn→Rm,g:Rn→Rq,以最小化問(wèn)題為例,多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表述為:

    (1)

    多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的概念圖如圖1,相關(guān)定義如下:

    圖1 多目標(biāo)規(guī)劃概念圖

    定義1(Pareto支配)對(duì)任意2個(gè)可行解x和y,若對(duì)?i∈{1,2,…,m}滿(mǎn)足fi(x)≤fi(y),且?i∈{1,2,…,m},使fi(x)

    定義2(Pareto最優(yōu)解)對(duì)可行解x*,若不存在x∈S,使得xx*,則x*為問(wèn)題(1)的一個(gè)Pareto最優(yōu)解。

    定義3(Pareto最優(yōu)解集)給定問(wèn)題的所有Pareto最優(yōu)解構(gòu)成Pareto最優(yōu)解集(Pareto-optimal set,PS),記作:

    P*={x*∈S|?x∈S,x*x}

    定義4(Pareto前沿)對(duì)于給定問(wèn)題的所有Pareto最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)向量構(gòu)成問(wèn)題(1)的Pareto前沿(Pareto Front,PF),記作:

    PF*={f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))|x∈P}

    s.t.x∈Ω

    2 算法

    首先,在原像空間中,提出“部分精英集的Gauss采樣+部分拉丁超立方采樣”的混合采樣新方法,其中部分樣本以精英集中的Pareto最優(yōu)解為中心進(jìn)行Gauss采樣以保證所獲Pareto前沿不差于上一代,部分樣本利用拉丁超立方采樣以保證樣本的多樣性。接著,在像空間中,利用基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)圖像特定邊緣提取直接獲取Pareto最優(yōu)前沿。反復(fù)迭代上述過(guò)程,直到滿(mǎn)足精度要求。

    2.1 算法總體流程

    算法流程如下所述:

    Step 1 在決策空間中隨機(jī)初始化一組解X,設(shè)置循環(huán)次數(shù)N;

    Step 2 將X帶入問(wèn)題模型得到Y(jié);

    Step 3 利用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從Y構(gòu)成的圖像中提取Pareto最優(yōu)前沿Z;

    Step 4 得到Pareto前沿Z對(duì)應(yīng)的決策變量集合S;

    Step 5 由S根據(jù)智能采樣算法產(chǎn)生新的決策變量集合X;

    Step 6 從Step 2開(kāi)始循環(huán)N-1次。

    2.2 智能采樣算法流程

    智能采樣算法流程如下:

    Step 1 得到當(dāng)前最優(yōu)解集S;

    Step 2 以S中每個(gè)向量為中心,進(jìn)行Gauss采樣得到集合P;

    Step 3 生成一組隨機(jī)數(shù)組成集合R;

    Step 4 將S、P和R合并后進(jìn)行拉丁超立方采樣,得到集合Q;

    Step 5 將S、P和Q合并,得到新的樣本集合X。

    2.3 基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Pareto前沿提取算法

    基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Pareto前沿提取算法流程如下:

    步驟1 將目標(biāo)空間圖像轉(zhuǎn)換成二值數(shù)字圖像;

    步驟2 根據(jù)圖像大小,設(shè)置相應(yīng)的卷積核,建立深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,其中卷積核設(shè)置如下:

    網(wǎng)絡(luò)所需層數(shù)由卷積核大小和輸入圖像大小計(jì)算后設(shè)置;

    步驟3 將數(shù)字圖像輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到對(duì)應(yīng)的Pareto前沿圖像;

    步驟4 將Pareto前沿圖像轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的Pareto解集。

    3 數(shù)值試驗(yàn)與結(jié)果分析

    為了測(cè)試算法求解復(fù)雜多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的效率和普適性,基于文獻(xiàn)[14],將5個(gè)經(jīng)典多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行了如下改進(jìn):①重新構(gòu)造測(cè)試模型,測(cè)試模型的最優(yōu)Pareto解集具有隨機(jī)性;②增加測(cè)試模型維度。改進(jìn)后的測(cè)試模型稱(chēng)為R-ZDT。所有試驗(yàn)均在Dell Precision 7530移動(dòng)工作站上運(yùn)行,工作站主要配置如下:Nvidia Quadro P3200M(6GB RAM,1792 CUDA core)的GPU、Intel i7-8750H CPU以及16GB RAM。

    3.1 測(cè)試模型

    改進(jìn)后的測(cè)試模型R-ZDT1~R-ZDT5分別如下:

    R-ZDT1:

    R-ZDT2:

    R-ZDT3:

    R-ZDT4:

    R-ZDT5:

    其中:xi∈[0,1];εi~U([0,1])。

    3.2 算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

    算法的性能評(píng)價(jià)主要分為2個(gè)方面:一是衡量算法收斂性能的指標(biāo),刻畫(huà)利用算法所得最優(yōu)解和理論P(yáng)areto最優(yōu)前沿的逼近程度,如世代距離指標(biāo)GD;二是衡量算法多樣性的指標(biāo),主要衡量解集在PF上分布的均勻程度,如空間指標(biāo)SP。

    世代距離指標(biāo)GD計(jì)算公式如下:

    (2)

    式中:np=|P|;m為目標(biāo)個(gè)數(shù);di表示為P中第i個(gè)解到P*上離其最近的解的歐式距離。GD的值越小,算法的收斂性能越好。一般地,P*由問(wèn)題的真實(shí)PF上均勻采樣的點(diǎn)集構(gòu)成。

    空間指標(biāo)SP計(jì)算公式如下:

    (3)

    3.3 試驗(yàn)結(jié)果

    改進(jìn)測(cè)試模型R-ZDT1~R-ZDT5的求解結(jié)果分別如圖2~圖11所示。圖2、4、6、8、10中,各分圖的左圖展示問(wèn)題的理論P(yáng)areto最優(yōu)前沿與利用筆者算法求解得到的Pareto最優(yōu)前沿,右圖展示理論P(yáng)areto最優(yōu)解集與利用筆者算法求解得到的Pareto最優(yōu)解集。

    圖11 R-ZDT5的GD和SP指標(biāo)箱線(xiàn)圖及變化曲線(xiàn)

    值得注意的是,所有測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)前沿均與模型中的f2(x)函數(shù)密切相關(guān)。其中,測(cè)試函數(shù)R-ZDT1~R-ZDT3中的f2(x)函數(shù)為單調(diào)函數(shù),測(cè)試函數(shù)R-ZDT4和R-ZDT5中的f2(x)函數(shù)具有多模態(tài)性。對(duì)于測(cè)試模型R-ZDT1~R-ZDT3,從圖2、圖4以及圖6可以看出,利用筆者算法所獲得最優(yōu)Pareto前沿面能很好地收斂到理論最優(yōu)Pareto前沿面且分布均勻;從圖3、圖5以及圖7可以看出,算法在保證收斂的前提下具有較快的收斂速度。

    圖2 R-ZDT1的Pareto最優(yōu)前沿和Pareto最優(yōu)解集

    圖3 R-ZDT1的GD和SP指標(biāo)箱線(xiàn)圖及變化曲線(xiàn)

    圖4 R-ZDT2的Pareto最優(yōu)前沿和Pareto最優(yōu)解集

    圖5 R-ZDT2的GD和SP指標(biāo)箱線(xiàn)圖及變化曲線(xiàn)

    圖6 R-ZDT3的Pareto最優(yōu)前沿和Pareto最優(yōu)解集

    圖7 R-ZDT3的GD和SP指標(biāo)箱線(xiàn)圖及變化曲線(xiàn)

    對(duì)于測(cè)試函數(shù)R-ZDT4,由于f2(x)函數(shù)的多模態(tài)性,導(dǎo)致原問(wèn)題具有多個(gè)局部Pareto最優(yōu)前沿,算法極易陷入局優(yōu)。從圖8可以看出,當(dāng)決策變量維數(shù)小于70時(shí),利用筆者算法所獲得最優(yōu)Pareto前沿面能很好地收斂到理論最優(yōu)Pareto前沿面且分布均勻;從圖9可以看出,該算法具有較快的收斂速度。

    圖8 R-ZDT4的Pareto最優(yōu)前沿和Pareto最優(yōu)解集

    圖9 R-ZDT4的GD和SP指標(biāo)箱線(xiàn)圖及變化曲線(xiàn)

    對(duì)于測(cè)試函數(shù)R-ZDT5,從圖10和圖11可以看出,算法雖然具有較快的收斂速度但全局收斂性較欠缺。

    圖10 R-ZDT5的Pareto最優(yōu)前沿和Pareto最優(yōu)解集

    4 結(jié)語(yǔ)

    針對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃進(jìn)化算法中測(cè)試函數(shù)的Pareto最優(yōu)解集模式單一、種群多樣性與算法收斂速度相互牽制的問(wèn)題,提出了一種基于智能采樣和特定邊緣提取的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題算法。其中,智能采樣中的高斯采樣用于局部搜索,超立方拉丁采樣用于全局搜索,利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特定邊緣提取實(shí)現(xiàn)最優(yōu)Pareto最優(yōu)前沿的“瞬間”提取。最后,對(duì)5個(gè)復(fù)雜多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行仿真試驗(yàn),結(jié)果表明,該算法對(duì)求解復(fù)雜多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的具有可行性且具有較高的計(jì)算效率。未來(lái),還需要深入挖掘該算法的采樣機(jī)理,對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn),并從理論上明確該算法的最佳應(yīng)用范圍;對(duì)于具體的邊緣提取,根據(jù)其原理,進(jìn)一步簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。

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