彈性需求下帶可交易電子路票的交通網絡多目標雙層規(guī)劃模型

呂一兵，肖揚，王瀟

長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023

城市交通系統(tǒng)支撐著社會經濟的快速、有序發(fā)展，同時也決定著人們的日常生活質量。隨著全球城市化進程的不斷加快，汽車產業(yè)快速發(fā)展，全球范圍的交通擁堵和車輛尾氣排放問題已對社會、經濟和環(huán)境造成了一系列負面影響。發(fā)展可持續(xù)性交通，是我國交通未來的大趨勢。因此，研究交通運輸?shù)目沙掷m(xù)性在當代城市快速發(fā)展過程中的重要性越來越凸顯。

交通運輸?shù)目沙掷m(xù)發(fā)展關鍵在于如何緩解交通擁堵的現(xiàn)狀和降低交通系統(tǒng)運行所帶來的尾氣排放。一般來說，有2類緩解交通擁堵的辦法：一是增加道路供給，二是降低交通需求[1]。增加道路供給是最簡單、最直接緩解交通擁堵的方式，但由于目前國家的空間資源的占用率較高，土地資源并不是無止境的，不能單單依靠占地修路的方式緩解交通擁堵的現(xiàn)狀。而且，盲目提供交通設施已經被證明是適得其反的策略。另外，政府投資在交通運輸方面的資金有限，增加道路供給又會誘導出行者更多出行需求，所以僅僅增加道路供給不足以緩解交通擁堵的現(xiàn)狀，而將上述兩種手段結合起來，可望更有效地緩解交通擁擠。

增加道路供給的方法主要有2種：價格手段和數(shù)量手段，具體有新修路段、改建舊路、紅綠燈優(yōu)化、更新交通工具等[2]。長期以來，道路收費被認為是緩解交通擁擠的有效價格手段，其既可以引導和調節(jié)交通需求，提高收費區(qū)域運行速度，又能直接減少交通擁堵。道路收費可分為擁堵收費和排放收費。在排放收費的基礎上，美國經濟學家戴爾斯1968年提出了“碳排放權交易”概念，環(huán)境資源可以像商品一樣交易。近年來，由碳排放權衍化而來的可交易路權(電子路票)的方法也逐漸成為緩解交通擁堵問題的研究熱點。可交易電子路票可被看成是靈活的限行或者改良后的擁堵收費，不僅能緩解目前的交通擁堵問題，也有助于減輕道路擁堵收費的不公平所產生的社會和政治方面的負面影響，是一種具有較大潛力的交通策略。受環(huán)境領域中廣泛應用的總量管制和交通制度的啟發(fā)，YANG等[3]率先提出這種電子路票的分配和收取方案，這種方案有很多優(yōu)點，在交通領域引起了廣泛關注；陳慧等[4]系統(tǒng)介紹了可交易電子路票的基本概念和工作機制，總結了近年來研究者所得到的定性特性和理論性質；邵娟等[5]利用改進的牛頓算法對可交易電子路票作了價格設計；在可交易電子路票的實際應用中，孫振東等[6]研究了可交易電子路票下的私家車通勤路徑選擇，證明電子路票對出行者出行行為選擇有顯著的影響。另外，將可交易電子路票機制和停車換停系統(tǒng)組合使用，能有效改變出行需求，從而緩解交通擁堵[7]。唐杰等[8]將電子路票機制加入城市交通控制系統(tǒng)和誘導系統(tǒng)，進行協(xié)同發(fā)力，功能互補，極大地提高了交通運行效率；關艷魁[9]建立了擁堵收費和可交易電子路票機制協(xié)同多模式優(yōu)化模型，并應用在了物流配送中。

與交通擁堵相伴隨的是空氣污染問題。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，交通運輸排放約占我國碳排放總量的10%。交通擁堵會造成車輛行駛速度過慢、通行時間增加，使車輛能耗增加，所排放的有害氣體也隨之增多[10]。吳亦政等[11]研究了交通環(huán)境中大氣污染擴散模型，交通道路附近的大氣污染嚴重，并持續(xù)向外擴散；袁康貴[12]分析了當下交通環(huán)境的實際影響因素，總結了影響環(huán)境的各方面要素。此外，車輛行駛速度對機動車尾氣排放有著重要影響[13,14]，通過改變出行結構和行駛速度可以減少尾氣排放，改善交通環(huán)境。黃瓊等[15]總結并分析了國內外幾種普遍應用的尾氣排放模型及算法，并提出了將尾氣排放模型和交通模型相結合的設想；樊杰玉等[16]通過測量不同速度和加速度下尾氣排放的瞬時速率，定量分析了尾氣中所含有害氣體的含量，結果表明，速度對CO的排放速率均有顯著影響，相關性可以用精確的排放模型來描述；張?zhí)m怡等[17]綜述了國內外尾氣排放模型的研究成果，分析了不同模型的優(yōu)點和缺陷，并提出尾氣排放和機動車所處的環(huán)境有極大的關聯(lián)；WANG等[18]設計了一種能同時平衡經濟增長和環(huán)境管理的交通網絡設計的雙目標二層規(guī)劃模型。

在前期相關研究中[19，20]，筆者同時考慮尾氣排放和交通系統(tǒng)總阻抗，構建了城市交通網絡設計的多目標雙層規(guī)劃模型，并給出了相關數(shù)值結果。在上述相關研究中，對于上層多目標函數(shù)，其權重系數(shù)為給定的常數(shù)，這樣的處理方式并不能保證得到模型的最優(yōu)解，從而影響實際應用效果。為此，結合前期相關研究，對于上層多目標函數(shù)擬引進權重變量，即將上層目標函數(shù)的權重系數(shù)作為上層決策變量，該處理方式更有利于得到問題及模型的最優(yōu)解。

1 符號和定義

2 多目標雙層規(guī)劃模型的構建

考慮通用交通網絡G(N,A)，并假設出行者是同質的，即具有相同的時間價值。在可交易電子路票方案(tradable credit scheme,TCS)中引入排放函數(shù)和經濟效益之后，確定上層目標函數(shù)；然后，定義彈性OD對需求情況下帶有TCS的確定性用戶均衡；最后，在彈性OD對需求情況下同時考慮經濟效益和環(huán)境影響建立帶有TCS的多目標雙層規(guī)劃模型。

對于一個交通網絡G=(N,A)，假設每個出行者的出行時間價值相等。下面給出假設條件[1]：

1)每條路段的出行時間只是該路段自身流量的函數(shù)，與交通網絡上其他路段的流量無關，也就是說不考慮路段之間的相互影響。另外，對于任意路段a的固定能力增加ya時，路段出行時間函數(shù)ta(va,ya)關于交通流量va單調遞增且連續(xù)可微。

3)對于a∈A，路段能力增加的投資函數(shù)ga(ya)關于ya連續(xù)可微。

2.1 可交易電子路票方案(TCS)

筆者考慮的是基于路段的可交易電子路票收費方案，即TCS具有以下特征[2]：

1)政府將電子路票平均分配給所有出行者，不收取任何費用；

2)出行者在使用路段時需要支付該路段通行收取的電子路票，即計費方案為κ={ua,a∈A}；

3)電子路票可以根據(jù)出行者的需求在市場上自由交易，電子路票的交易價格p由市場決定，政府不干預，只起到監(jiān)督的作用。

2.2 尾氣排放

機動車尾氣具有種類多、危害大、不易見的特點，其中主要包含CO、HC、NOx和懸浮顆粒。機動車在行駛過程中，會產生大量的CO，且CO排放量隨車速的增加而減少，HC排放量和NOx排放量隨車速的增加而增加。考慮到城市中一般車速都在中低速，因此選擇將危害最大的CO作為排放因子進行計算。為簡化分析，采用TRANSYT-7F的CO排放函數(shù)[19]：

式中：la為路段長度；ta(va)為路段出行時間。

2.3 上層模型

交通網絡總的出行時間(TT)定義如下：

(1)

彈性需求下交通網絡中出行者帶來的總收益(TUB)定義如下：

(2)

因此，交通網絡總經濟效益(EB)為：

(3)

采用王煒等[3]基于平均速度對汽車的CO排放因子進行擬合所得到的最佳擬合模型(R2=0.99)：

(4)

則所考慮的交通網絡CO每公里排放量為：

(5)

上層問題從政府角度出發(fā)，在滿足投資、成本約束的條件下使交通網絡的綜合效益最大化(即經濟效益最大化且交通排放最小化)：

(6)

路段能力增加的約束可表述為：

(7)

綜上，上層問題可以表述為：

(8)

2.4 下層模型

從交通出行者角度出發(fā)，在滿足彈性需求的Wardrop用戶均衡(UE)條件下最小化廣義出行成本(出行時間和電子路票價值的總和)。對于一個通用的交通網絡G=(N,A)，存在可行的OD需求對Ωd模式和路段流模式Ωv：

(9)

(10)

因此，在給定的電子路票方案(κ,K)和道路容量擴充y∈Y下，用戶均衡(UE)問題，即下層問題可以表述為：

(11)

2.5 多目標雙層規(guī)劃模型

彈性條件下的基于可交易電子路票機制的城市交通連續(xù)網絡設計問題有2類決策者，即政府和出行者，他們具有不同的目標函數(shù)。上層問題從政府的角度考慮，在滿足投資成本約束條件下最大化系統(tǒng)綜合社會效益；下層問題從出行者的角度考慮，最小化廣義出行成本，2個決策者互相牽制，并且有主從遞階的關系。因此，彈性需求條件下的基于可交易電子路票機制的城市交通連續(xù)網絡設計問題的多雙層規(guī)劃模型(BLP)可以表示如下：

(12)

對所建立的多目標雙層規(guī)劃模型(12)，筆者擬將權重因子x視為上層決策者的決策變量，從而得到問題(12)的最優(yōu)解。

3 模型求解

3.1 雙層規(guī)劃的轉換

在問題(12)中，對上層目標函數(shù)引入決策者的偏好(x1,x2)可將問題(12)轉化為如下雙層單目標規(guī)劃問題：

s.t.x1+x2=1

x1≥0,x2≥0

(13)

在問題(13)中，對于給定的上層決策者偏好x以及路段能力增加方案y∈S，下層規(guī)劃問題滿足某種約束規(guī)格下，可以得到如下下層規(guī)劃問題式的K-K-T條件：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：ρw，p以及μw為下層問題相應約束條件的拉格朗日乘子；μw表示OD對w的廣義出行成本；p表示電子路票在市場中的單位交易價格。

因此，在問題(13)中，以下層規(guī)劃問題的K-K-T條件代替下層問題，則問題(13)可以轉化為如下的一般非線性規(guī)劃問題：

(22)

3.2 松弛算法

對于問題(22)，由于互補約束條件的存在，光滑優(yōu)化問題的約束規(guī)格得不到滿足，直接采用一般的非線性規(guī)劃方法求解問題(22)比較困難。因此，筆者擬采用文獻[1]和[18]中設計的松弛算法對問題(22)進行求解。松弛算法的主要思想是對互補條件(14)、(16)、(18)、(20)進行近似化處理，主要求解步驟如下：

步驟1 設置輔助參數(shù)初始值：θ0>0，ε>0，更新因子λ∈(0,1)，迭代次數(shù)k=0。

步驟2 將互補條件(14)、(16)、(18)、(20)分別設置輔助參數(shù)θk，并求解如下松弛的單層非線性規(guī)劃問題：

s.t.x1+x2=1,0≤x1,x2≤1

(23)

并得到最優(yōu)解(yk,vk,uk,dk,μk,ρk,pk,xk)。

步驟3 若θk<ε，停止計算并轉步驟4；否則令θk+1=λθk，轉到步驟2。

步驟4 得到最優(yōu)解(y*,v*,d*)=(yk,vk,dk)。

4 模型有效性

采用美國公共道路局1964年公布的路段出行函數(shù)：

(24)

式中：Ta和ba是參數(shù)，分別表示路段a的自由通行時間和原始通行能力。

考慮到增加了路段通行能力ya和電子路票pua，所以路段出行函數(shù)可以表示為：

(25)

對于路段a增加的容量ya，道路改造建設所需的成本函數(shù)記為：

(26)

為了驗證模型(13)的有效性，筆者采用與文獻[19]相同的交通網絡模型，即圖1所示的交通網絡，車輛從A、B兩地出發(fā)到達C地，網絡有5個節(jié)點包括2個起節(jié)點和1個訖節(jié)點，5條路段和2個OD對：AC和BC，對5個路段進行改造，擴大路段容量ya并收取電子路票，出行者使用路段所需電子路票數(shù)量分為ua，投資預算B=1000，分配給OD對w上每個出行者的電子路票數(shù)量qw=5，φ=0.1和其他相關數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 交通網絡相關參數(shù)

圖1 交通網絡模型

利用模型(13)對圖1的交通網絡進行求解，得到該交通網絡中道路總阻抗和CO尾氣排放量的綜合效益為-2199.690，其他數(shù)據(jù)見表2。

表2 模型(13)所得到的最優(yōu)解

表3給出了模型(13)得到的上述交通網絡中道路總阻抗和CO排放量與前期相關研究工作得到的數(shù)值的比較，不難看出，筆者所建立的模型能夠獲得更優(yōu)的綜合效益。這也表明了筆者所建模型的可行、有效性。

表3 結果比較

值得指出的是，相比于前期研究工作，將上層權重系數(shù)作為整個模型的變量，更加有利于從整體的角度對權重變量進行優(yōu)化，而不是僅僅將上層權重系數(shù)給定為某個固定的值。當然，在該模型中，最優(yōu)權重為x=(1,0)，相當于沒有考慮上層第2個目標，這主要是由于2個目標函數(shù)的數(shù)量級相差比較大。

5 結語

在綜合考慮交通網絡總阻抗和尾氣排放的基礎上，構建了彈性需求下帶有可交易電子路票的交通網絡多目標雙層規(guī)劃模型。為得到模型的最優(yōu)解，將上層多目標函數(shù)引入權重變量，通過對權重變量的優(yōu)化得到問題的最優(yōu)解。數(shù)值結果表明，相比于前期相關工作，筆者構建的模型更能得到最優(yōu)的綜合效益。