構(gòu)造對(duì)偶式，讓解題更高效

何鵬 張志剛

將函數(shù)式F中所有的“·”變成“+”，“+”變成“·”，“o"變成“1”，“1”變成“o”，并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變，則得到的新表達(dá)式為函數(shù)式F的對(duì)偶式.在解題時(shí)，依據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造結(jié)構(gòu)一致，具有某種對(duì)稱關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶式，就能通過加法﹑減法、乘法等運(yùn)算，巧妙地求得問題的答案.本文重點(diǎn)探討一下如何巧妙地構(gòu)造對(duì)偶式.

一.通過取倒數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式

有些已知關(guān)系式中含有成倒數(shù)關(guān)系的式子，此時(shí)可根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，取倒數(shù)，便可構(gòu)造出方程組，通過解方程求得問題的答案.

例1.已知2f（x）+f（一）=3x ，求函數(shù)f（）的解析式.解：用↓替換已知關(guān)系式中的x ，

得2（與）+f（x）=3，

W）-x ’

2r（x）+f（A）=3x，

因此

2r（）+八（s）=寧解得f（x）=2x-！.

顯然與x成倒數(shù)關(guān)系，已知關(guān)系式是關(guān)于f（t）與f（）的關(guān)系式，于是用替換已知關(guān)系式中的x ，構(gòu)造出已知關(guān)系式的對(duì)偶式，通過解方程組求得f（x）的表達(dá)式.

例2：

解：

通過取倒數(shù)，構(gòu)造 A 的對(duì)偶式 B ，然后借助基本不等式進(jìn)行放縮處理，就能輕松證明不等式.

例3：

證明：

根據(jù)目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造對(duì)偶式，便可結(jié)合已知條件進(jìn)行放縮得A+B≥1+蘭+李+…+是，從而使問題獲解.

二，通過和、差運(yùn)算構(gòu)造對(duì)偶式

當(dāng)遇到求值題目時(shí)，通?？赏ㄟ^和、差運(yùn)算來構(gòu)造對(duì)偶式.將兩個(gè)已知關(guān)系式相加、或相減，或?qū)⒁阎P(guān)系式中的“+”替換成“一”，構(gòu)造出另外一個(gè)結(jié)構(gòu)一致，“+”“_”符號(hào)不一致的式子，再通過加減運(yùn)算便能求得問題的答案.

例4.已知f（一x）+2f（x）=2* ，求函數(shù)f（x）的解析式.解：用–x替換已知關(guān)系式中的x ，

得f （x）+2f（一x）=2'，

因此 （一X）+ 2f （x）=2"，

＼f（x）+2f（一x）=2*，解得f（x）= 2+'_2-*.

已知關(guān)系式是關(guān)于fx）與f（一x）的關(guān)系式，而題目中α的取值具有任意性，因此可用-x替換已知關(guān)系式中的x ，構(gòu)造另一個(gè)結(jié)構(gòu)類似的關(guān)系式，進(jìn)而把f（x）、f（-x）看作未知數(shù)，通過解方程組求得f（）的表達(dá)式.

例5.已知 a = ，求 a5-2a4-2020a3的

解：

2021-1

設(shè) b = -1，

則 a -b =2，ab =2020，

從而可得 a5-2a4-2020a3=a5-a -ba4-aba3=a5-a5+a4b -a4b =0.

通過對(duì)已知條件和所求目標(biāo)式的觀察，可以捕捉到以下信息：表達(dá)式“a5-2a4-2020a3”中的“2”可視為2=（+1）-（-1），“2020”可視為2=（+1）×（-1），于是聯(lián)想到通過和、差運(yùn)算構(gòu)造對(duì)偶式，然后通過恒等變換求值.

例6.已知α∈ R ， sin α+2 cosα= ，則 tan2α=（）.

A.3B.?? C.-??? D.-4?? 4???? 3

解：設(shè)sin α+2 cosα=的對(duì)偶式為sin α-2 cosα=t，

則sin α+2 cosα=①，

由①2+②2得 t =-或 t = ，???? 當(dāng) t =-時(shí)，sin α=- ，cosα= ，從而可得 tanα=- ， tan2α=- ;

同理，當(dāng) t = 時(shí)，tan 2α=- .

綜上可得tan2α=- ，故選C

解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造已知關(guān)系式的對(duì)偶式 sin α-2cos α=t ，建立關(guān)于 sinα、 cosα的方程組，通過解方程組求得 sinα、 cosα的值，進(jìn)而求得問題的答案.

例7.若0<θ<，且3 sin θ+4 cos θ=5，求 tan θ的值.

解：設(shè)3 sin θ-4cos θ=t（其中 t 為常數(shù)），

則解得 ，，

將其代入 sin2θ+ cos2θ=1，得 t =-，

進(jìn)而得 tan θ= .與研究

將已知關(guān)系式中的“+”變成“-”，構(gòu)造對(duì)偶式，然后通過和、差運(yùn)算，求得方程的解，即可求得問題的答案.

三、通過配湊系數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式

對(duì)于已知條件為實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式 f（a，b）=0，求表達(dá)式 pa +qb（其中p，q為常數(shù)）的最值問題，可聯(lián)想到平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，于是嘗試

對(duì)已知關(guān)系式和目標(biāo)式進(jìn)行整體考慮，構(gòu)造出對(duì)偶式，再借助數(shù)量積的性質(zhì)?≤進(jìn)行放縮即可解題.

例8.（1）已知實(shí)數(shù)a，b滿足 a2+4b2=1，求 a +b 的最大值;

（2）已知實(shí)數(shù) a， b， c 滿足 a2+2b2+3c2=1，求 a +2b 的最大值.

解：（1）因?yàn)?a +b =a ?1+2b ?，

而 a2+4b2=1可變形為 a2+2b2=1，

其對(duì)偶式為：12+ è（?） ?（?）2= .

設(shè)向量 =a，2b，= è（?）1，? ?（?），

則 a +b =a ?1+2b ?= ? ≤=? 2= ，當(dāng)且僅當(dāng) a = ， b =1時(shí)取等號(hào).所

以 a +b 的最大值是5.

（2）因?yàn)?a +2b =a ?1+ b ?，

而 a2+2b2+3c2=1可變形為 a2+ b2=1-3c2，其對(duì)偶式為：12+2=3.

設(shè)向量 =a，? b，=1， ，

則 a +2b =a ?1+ b ?= ? ≤

= ?= ≤3，

當(dāng)且僅當(dāng)a =b = ，c =0時(shí)取等號(hào).

所以a +2b 的最大值是 .

本題中的兩個(gè)小問題在本質(zhì)上都是有限制條件的二元函數(shù)最值問題.由于目標(biāo)關(guān)系式均為線性關(guān)系式，于是聯(lián)想到平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過配湊系數(shù)構(gòu)造出 a2+2b2=1的對(duì)偶式，再對(duì)已知關(guān)系式和目標(biāo)式進(jìn)行拆分重組，借助數(shù)量積的性質(zhì)?≤進(jìn)行放縮，就能順利解題.

四、通過奇數(shù)、偶數(shù)變換構(gòu)造對(duì)偶式

整數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù).當(dāng)遇到只含有奇數(shù)或偶數(shù)的式子，我們便可根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造出對(duì)偶式，然后將兩式相加、減，以構(gòu)造出所有的整數(shù)項(xiàng)，或者關(guān)于自然數(shù) n 的數(shù)列，通過尋找數(shù)列中的規(guī)律，運(yùn)用整體思想來求得問題的答案.

例9.求證：2×4×6×…×2n < .證明：設(shè) A = × × ×…× ，

24 6? 2n

35 7? 2n +1，

1234 56 2n -1 2n

23， 45， 67，? 2n?? 2n +1，

所以 A <B ，可得 A2<AB = ，

故A < ，即× × ×…× < .

根據(jù)所要求證的不等式中分子、分母的特點(diǎn)，構(gòu)造

b? b +m

五、通過變量輪換構(gòu)造對(duì)偶式

有些題目中的幾個(gè)變量可輪換，即每個(gè)變量的意義、位置相同，可通過輪換變量來構(gòu)造對(duì)偶式，構(gòu)造出可使用基本不等式的條件，運(yùn)用基本不等式來解題.

例10.若 a >1， b >1，求證：+ ≥8. 證明：設(shè) A = + ，B = + ，則 A -B == += ≥0，

從而可得 A≥B .

由基本不等式得 B =b+1+ +a+1+

=b -1++a -1+ +4≥2+2+4=8，

當(dāng)且僅當(dāng)a =b =2時(shí)取等號(hào).

所以 A≥B≥8，即 + ≥8.

仔細(xì)觀察目標(biāo)式，可發(fā)現(xiàn) a、b 可輪換，于是構(gòu)造其對(duì)偶式，利用基本不等式證明結(jié)論.

例11.若a，b，c都是正數(shù)，求證： + +

c +a ≥ 2 .

證明：設(shè) A = + + ，

B = a +b + b +c + c +a ，

則 A +B = + +

≥ + + =a +b +c ，

而 A -B =0，所以 A =B≥ ，

即 + + ≥ ，原不等式成立.

題目中 a、b、c 可輪換，于是構(gòu)造出對(duì)偶式B，將A、 B相加、減，便可構(gòu)造出可運(yùn)用基本不等式的條件.

從以上各例可以看出，運(yùn)用構(gòu)造對(duì)偶式法解題的關(guān)鍵是構(gòu)造對(duì)偶式.在構(gòu)造對(duì)偶式時(shí)，要注意將題目的條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來，通過觀察、類比、歸納、猜想等手段從中捕捉到有用信息，合理構(gòu)造出對(duì)偶式，通過加工、重組、再生，探求出解題的思路.

（作者單位：山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué)）