Arps雙曲線遞減模型的多解性和不確定性

陳元千，徐 良，2

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京 100083）

對于包括頁巖氣的油氣井和油氣藏，當(dāng)產(chǎn)量進入遞減階段后，產(chǎn)量遞減法是評價油氣井產(chǎn)量和可采儲量的主要方法。ARPS 于1945年基于對油井產(chǎn)量遞減曲線數(shù)據(jù)的統(tǒng)計、分析，首創(chuàng)地提出了遞減率概念及其微分表達式［1-2］。在此基礎(chǔ)上，對于遞減率為常數(shù)和非常數(shù)的兩種情況，分別建立了指數(shù)遞減模型和雙曲線遞減模型與調(diào)和遞減模型的雛形。1956年ARPS 對三種遞減模型又進行了整理歸納和研究［2］。然而，應(yīng)當(dāng)指出，遞減率為常數(shù)的指數(shù)遞減模型，由于具有簡單易行的特點，在國際上得到油氣開采公司和評估公司的青睞。而雙曲線遞減模型和由它簡化得到的調(diào)和遞減模型，在實際中應(yīng)用得很少。為此，筆者對Arps 雙曲線遞減模型進行了回顧性推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用得很少與該模型存在的多解性和不確定性有關(guān)，與陳元千泛指數(shù)遞減模型（GEDM）［3］的實際應(yīng)用進行對比，得到了n=0.5 的雙曲線遞減模型是最佳模型。

1 Arps 雙曲線遞減模型建立的回顧性推導(dǎo)

ARPS 基于對油井產(chǎn)量遞減曲線的統(tǒng)計、分析，首次提出的遞減率微分表達式［1-2］為：

應(yīng)當(dāng)指出，Arps 這一遞減率概念及微分表達式，已被陳元千等［4-5］成功地應(yīng)用于等溫吸附方程和滲吸驅(qū)油方程的推導(dǎo)。

為了建立雙曲線遞減模型，ARPS 在缺乏理論研究的情況下，直接提出了遞減率與產(chǎn)量的經(jīng)驗公式［1-2］，其表達式為：

ARPS 將n稱為遞減指數(shù)，其理論變化范圍為（0，1）。

將（2）式代入（1）式，分離變量，代入上下限得到的表達式為：

將（3）式積分并整理后，可得產(chǎn)量與時間的關(guān)系式為：

由（2）式可得初始理論月遞減率的表達式為：

將（5）式代入（4）式得Arps 雙曲線遞減模型的產(chǎn)量公式為：

由推導(dǎo)可知，Arps 雙曲線遞減模型的建立是依賴于經(jīng)驗性的（2）式。因此，它應(yīng)該是一個經(jīng)驗公式。

已知累積產(chǎn)量表示為：

將（6）式代入（7）式，經(jīng)分離變量，代入上下限進行積分后，可得Arps 雙曲線遞減模型的累積產(chǎn)量為：

再將（6）式代入（8）式，得到Arps 雙曲線遞減模型的累積產(chǎn)量與產(chǎn)量的關(guān)系式為：

當(dāng)q→0時，由（9）式得Arps雙曲線遞減模型的井控可采儲量為：

由（2）式除以（5）式得：

將（11）式代入（6）式得Arps 雙曲線遞減模型的遞減率為：

應(yīng)當(dāng)指出，由（2）式看出，當(dāng)n=0時，qn=1，D=k，經(jīng)推導(dǎo)可得Arps指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量公式；當(dāng)n=1時，由Arps 雙曲線遞減模型，可得Arps 調(diào)和遞減模型的產(chǎn)量和遞減率的公式，但得不到累積產(chǎn)量和井控可采儲量的公式。由此可見，調(diào)和遞減模型不能用于可采儲量的評價。BAIHLY 等利用Arps雙曲線遞減模型評價美國Barnett，F(xiàn)ayetteville，Woodfort，Haynesville 和Marcellus 等5 個頁巖氣田單井30 a 的累積產(chǎn)量時，所得到的遞減指數(shù)n均大于1［6-7］。而Arps 雙曲線遞減模型的遞減指數(shù)范圍應(yīng)為（0，1），因此，BAIHLY等評價的結(jié)果顯然是不正確的。

將（1）式代入（9）式，并變換可以得到q1-n與Gp的關(guān)系式為：

其中：

通過（14）式和（15）式，確定qi和Di的表達式分別為：

2 Arps 雙曲線遞減模型不確定性的揭示

美國賓州Marcellus 頁巖氣藏M1 井生產(chǎn)數(shù)據(jù)（表1）中，第1 個月的產(chǎn)量實際是投產(chǎn)后第2 個月的產(chǎn)量。因排液的影響，該氣井開井后第1 個月的產(chǎn)量偏低，為262×104m3/mon。

表1 M1頁巖氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)（據(jù)文獻［8］修改）Table1 Production data from M1 shale gas well［8］

根據(jù)表1，利用（13）式求解，得到了Arps雙曲線遞減模型（AHDM）不同n值下的相關(guān)系數(shù)（R2）、初始理論月產(chǎn)量（qi）、初始遞減率（Di）和井控可采儲量（GR）（表2），將相關(guān)系數(shù)（R2）和井控可采儲量（GR）繪于圖1。由圖1可以看出，相關(guān)系數(shù)和井控可采儲量均隨n值的增加而增加，并不存在評價井控可采儲量的最佳條件。這充分表明了Arps 雙曲線遞減模型存在多解性和不確定性。

圖1 M1頁巖氣井利用AHDM評價的R2和GR與n的關(guān)系Fig. 1 Plot of R2 and GR with n for M1 shale gas well by AHDM

表2 M1頁巖氣井利用AHDM評價的結(jié)果Table2 Estimated results of M1 shale gas well by AHDM

3 Arps 雙曲線遞減模型的可比性選擇

利用陳元千提出的泛指數(shù)遞減模型（GEDM）［3］用于Arps 雙曲線遞減模型的可比性選擇。陳元千提出的泛指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量為：

井控可采儲量為：

遞減率與時間的關(guān)系式為：

（18）式—（20）式中的m為泛指數(shù)，其理論范圍為（0，1）。當(dāng)m=1 時可得Arps 指數(shù)遞減模型的關(guān)系式。為了確定模型中的qi和c值，將（18）式取自然對數(shù)得：Γ(1/m)和GR值列于表3，并將R2和GR繪于圖2。由

表3 M1頁巖氣井利用GEDM的評價結(jié)果Table3 Estimated results of M1 shale gas well by GEDM

將由（21）式求得的不同m值下的R2，qi，c，圖2 看出，R2與m的關(guān)系曲線存在峰值，對應(yīng)的峰位m=0.5。該m值對應(yīng)的井控可采儲量即為欲求的最佳井控可采儲量GR=1.626×108m3。根據(jù)文獻［8］的研究，雙曲線遞減模型的n值，與泛指數(shù)遞減模型的m值，存在n=1-m的關(guān)系。因此，由m=0.5 泛指數(shù)遞減模型，可得雙曲線遞減模型n=0.5 的最佳選擇。由表1 可知，n=0.5 的井控可采儲量GR=1.537 5×108m3，這與m=0.5 泛指數(shù)遞減模型評價的井控可采儲量基本相同。

圖2 M1頁巖氣井利用GEDM評價的R2和GR與n的關(guān)系Fig. 2 Plot of estimated R2 and GR with n of M1 shale gas well by GEDM

當(dāng)雙曲線遞減模型和泛指數(shù)遞減模型的指數(shù)均為0.5 時，M1 頁巖氣井實際產(chǎn)量數(shù)據(jù)點與m=0.5泛指數(shù)遞減模型的預(yù)測理論曲線擬合得較好（圖3）；雙曲線遞減模型預(yù)測的遞減率曲線變化較?。▓D4），而泛指數(shù)遞減模型預(yù)測的遞減率曲線開始變化較大，5 個月后遞減率變化趨勢逐漸變緩，這符合頁巖氣井產(chǎn)量遞減曲線變化的特征。

圖3 指數(shù)為0.5時兩類遞減模型預(yù)測產(chǎn)量與M1頁巖氣井實際產(chǎn)量對比Fig. 3 Plot of predicting q with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

圖4 雙曲線和泛指數(shù)遞減模型指數(shù)為0.5時預(yù)測的D值Fig. 4 Plot of predicting D with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

4 結(jié)論

對于非常規(guī)的頁巖氣藏，需要通過鉆水平井，實施多段壓裂，以降壓解吸方式投入開采。通過多段壓裂形成的以頁巖水平氣井為中心的連通體，是一個定容、封閉、獨立的開采單元。因此，產(chǎn)量遞減法是評價頁巖氣井產(chǎn)量和井控可采儲量的重要方法。由ARPS 建立的指數(shù)遞減模型、雙曲線遞減模型和調(diào)和遞減模型，可能是世人共同關(guān)注的評價方法。然而，Arps 指數(shù)遞減模型，由于遞減率隨時間為常數(shù)，并不適用于頁巖氣井產(chǎn)量開始遞減得快，而后逐漸變慢的特點。Arps 雙曲線遞減模型，由于存在明顯的不確定性，難以進行可靠的評價。由Arps 雙曲線遞減模型，當(dāng)n=1 時簡化得到的調(diào)和遞減模型，在實際中很少應(yīng)用，只有其名，而無有其實。通過對Arps 雙曲線遞減模型建立的回顧，揭示了該模型存在的經(jīng)驗性、多解性和不確定性。同時，通過與泛指數(shù)遞減模型的實際對比應(yīng)用，得到了n=0.5 雙曲線遞減模型具有較好的評價結(jié)果。n=0.5 雙曲線遞減模型和m=0.5 泛指數(shù)遞減模型評價的井控可采儲量基本一致。m=0.5 的泛指數(shù)遞減模型的預(yù)測結(jié)果好于n=0.5的雙曲線遞減模型。n=0.5雙曲線遞減模型預(yù)測的遞減率曲線自始至終變化較小，并不符合頁巖氣井產(chǎn)量開始遞減較快而后遞減變慢的特點。而m=0.5 的泛指數(shù)遞減模型，預(yù)測的遞減率曲線符合頁巖氣井開始遞減得快，而后變慢的特點。BAIHLY 等利用Arps 雙曲線遞減模型，預(yù)測美國Barnett等5個頁巖氣田單井30 a的累積產(chǎn)量，由于確定的遞減指數(shù)n都大于1，完全不符合該模型遞減指數(shù)為（0，1）的理論范圍，因此，評價結(jié)果是不正確的。

符號解釋

A和B——Arps雙曲線遞減模型直線的截距和斜率；

c——泛指數(shù)遞減模型的時間常數(shù)，mon；

D——月遞減率，mon-1；

Di——初始理論月遞減率，即t=0 時的理論月遞減率，mon-1；

Gp——累積產(chǎn)量，104m3；

GR——井控可采儲量，104m3或108m3；

k——Arps經(jīng)驗公式的比例常數(shù)；

m——泛指數(shù)遞減模型的冪指數(shù)，dim；

n——Arps雙曲線遞減模型的遞減指數(shù)，dim；

q——頁巖氣井月產(chǎn)量，104m3/mon；

qi——初始理論月產(chǎn)量，即t=0 時的理論月產(chǎn)量，104m3/mon；

R2——相關(guān)系數(shù)，dim2；

t——生產(chǎn)時間，mon；

α和β——泛指數(shù)遞減模型直線的截距和斜率；

Γ(1/m)——完全伽馬函數(shù)。