基于Matlab仿真的四旋翼自抗擾控制算法的研究

劉靈童,王 旭,王大海,鄭 凱,尹曉嬌

(西安石油大學(xué) 電子工程學(xué)院,陜西 西安 710065)

1 數(shù)學(xué)模型的建立

為了使計算機(jī)更好地控制四旋翼的運(yùn)動,需要建立四旋翼的動力學(xué)模型。為了建立出的數(shù)學(xué)模型不失一般性,對飛行器做出如下假設(shè)。

(1)四旋翼飛行器為均勻?qū)ΨQ的剛體;

(2)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)E與四旋翼飛行器的幾何中心和質(zhì)量中心都處于同一位置;

(3)飛行器有且只受螺旋槳產(chǎn)生的拉力和重力的影響,即質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量不變;

(4)飛行器所受的各個方向的拉力與螺旋槳轉(zhuǎn)速的平方成正比例。

首先建立兩個基本坐標(biāo)系,分別為慣性坐標(biāo)系和飛行器坐標(biāo)系,如圖1所示。這兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下。

圖1 飛行器坐標(biāo)系與四旋翼結(jié)構(gòu)模型

為了方便后續(xù)運(yùn)算,相關(guān)定義如下:

偏航角ψ:x在OXY平面內(nèi)的投影與x軸的夾角;俯仰角θ:z在OXY平面內(nèi)的投影與z軸的夾角;翻滾角φ:y在OXY平面內(nèi)的投影與y軸的夾角;

Fx,Fy,Fx分別為飛行器所受總拉力F在B(oxyz)中3個坐標(biāo)軸上的分量;p、q、r為角速度ω在B(oxyz)中3個坐標(biāo)軸上的分量。由于牛頓第二定律和力學(xué)方程可表示為:

根據(jù)假設(shè)四旋翼均勻?qū)ΨQ,其慣性矩陣可定義為對角陣I。對飛行器動量矩計算,可得到飛行器力矩之和M在飛行器坐標(biāo)系3個軸向分量Mx,My,Mz的角運(yùn)動方程:

為了方便后續(xù)算法控制,可定義U1為垂直速度控制量,U2為翻滾輸入控制量,U3為俯仰控制量,U4為偏航控制量,這樣可以通過這四個獨(dú)立控制通道來控制整機(jī)的運(yùn)動。根據(jù)圖1的姿態(tài)關(guān)系,可得出:

整理上述公式,可得到四旋翼的數(shù)學(xué)模型如下所示。

2 自抗擾飛控算法

上文在建立四旋翼數(shù)學(xué)模型時引入了4個控制量U,這樣可以將復(fù)雜的非線性耦合模型轉(zhuǎn)化為4個較為獨(dú)立的控制通路,這樣,整個模型的運(yùn)動過程就可以分解為線運(yùn)動和角運(yùn)動。為了簡化控制系統(tǒng),假設(shè)飛行器的姿態(tài)角和加速度之間存在簡單的積分關(guān)系,再根據(jù)相關(guān)資料對無人機(jī)的描述與測定,通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù),可總結(jié)出各個控制通道的傳遞函數(shù)[2],如表1所示(注:表1傳遞函數(shù)僅針對一款四旋翼飛行器的控制通道)。

表1 各個通道的傳遞函數(shù)

在完成自抗擾控制之前,需要先對微分控制器進(jìn)行一定的了解與設(shè)計。

2.1 微分跟蹤控制器

在許多控制系統(tǒng)中,求輸入信號的微分是控制器中必不可少的一個步驟,四旋翼控制系統(tǒng)也不例外。但是,在較多實(shí)際應(yīng)用中,輸入信號往往會伴隨著噪聲一同進(jìn)入微分環(huán)節(jié),利用差分法進(jìn)行運(yùn)算也會使得微分環(huán)節(jié)輸出信號中的噪聲不降反升,為了解決這一問題,人們設(shè)計了二階微分器來盡可能地抵消噪聲對于輸出信號的影響。其傳遞函數(shù)如下:

由傳遞函數(shù)可知,在低頻段該環(huán)節(jié)的微分特性與純微分環(huán)節(jié)的頻率特性幾乎一致,在高頻階段,其增益是隨著頻率的升高而下降的。噪聲抑制的問題得到解決后,將我們合適的動態(tài)設(shè)計加入該環(huán)節(jié),就得到了微分跟蹤控制器。在Matlab中,以Z軸通道為控制對象,將隨機(jī)的高頻噪聲疊加在正弦信號中作為該控制器的輸入信號,觀察輸出信號與預(yù)期位置的對比,觀察其動態(tài)性能。如圖2所示,盡管輸入信號存在較多高頻尖刺等噪聲,微分控制器依然可以在過濾掉大部分毛刺的同時,保證一個較好的跟隨性能。為了利用其良好的性質(zhì),部分自抗擾控制算法也會包含微分跟蹤環(huán)節(jié)。

圖2 理想位置與系統(tǒng)實(shí)際位置對比

2.2 自抗擾控制

為了進(jìn)一步改善PID控制器在強(qiáng)干擾環(huán)境以及不確定因素中的控制能力,由韓教授首次提出了自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)的概念,這種控制器的核心思想在與利用一個環(huán)節(jié)來實(shí)時地估計被控對象的外部干擾和內(nèi)部震蕩,然后再用其他環(huán)節(jié)實(shí)施補(bǔ)償,從而使得自抗擾控制系統(tǒng)具有較好的抵抗擾動的能力[3]。線性自抗擾控制基本結(jié)構(gòu),如圖3所示。

圖3 線性自抗擾系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

其中G0表示需要被控制的對象,b0為整個系統(tǒng)的控制增益,它是由整個被控系統(tǒng)來確定的,需要在后期整定。LSEF為線性狀態(tài)誤差反饋,在不同場合中,這個環(huán)節(jié)可以用微分跟蹤器來代替。LESO為線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器,其形式為:

其中z1,z2,z3是LESO的3個輸出量,β1,β2,β3都是需要在之后確定的觀測參數(shù)。

假設(shè)被控對象可以被估計為一個二階模型:

g可以看成是內(nèi)部動態(tài)和外部擾動(ω)的綜合特性,當(dāng)ESO被正確整定時,z1,z2,z3將分別對y,y·,f進(jìn)行跟蹤,那么控制系統(tǒng)就會轉(zhuǎn)化成兩個積分串聯(lián)環(huán)節(jié),即

那么,對于常規(guī)的PID控制來說,LSEF就可表示為PD控制:

這樣,就出現(xiàn)了b0,kp,kd,β1,β2,β3一共6個參數(shù)需要整定。當(dāng)然,根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),可以根據(jù)以下方法完成所有參數(shù)整定[4]:

(1)根據(jù)已知被控對象要求的調(diào)節(jié)時間t?s,令,ωo=kωc,使kp=ω2c,kd=2ωc,β1=3ωo,β2=,β3=kβ2;在一般情況下k取4。

(2)逐漸增大b0的值,到動態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)滿足系統(tǒng)要求。

本次將使用Simulink仿真環(huán)境以x軸和俯仰通道作為被控對象進(jìn)行設(shè)計。因?yàn)镋SO的輸入中需要y·,所以,可以將一個積分環(huán)節(jié)獨(dú)立出該通道的傳遞函數(shù)中,并且重新設(shè)計增益,方便后期的仿真系統(tǒng)的搭建。根據(jù)計算,修改完成后的被控對象的仿真搭建如圖4所示。

圖4 調(diào)整后被控對象的仿真搭建

其中,u和td是被控對象的兩個輸入,y為系統(tǒng)輸出,dy/dt也就是輸出的導(dǎo)數(shù),f為被控對象的總擾動。之后,根據(jù)ADRC的控制基本框圖完成仿真模型的搭建,如圖5所示。

圖5 線性自抗擾仿真系統(tǒng)搭建

其中,z1,z2,z3分別為LESO的3個輸出,與系統(tǒng)輸出y,,f進(jìn)行對比顯示。為了模擬其在實(shí)際控制中可能遇到的高頻噪聲或者是內(nèi)部信號突變干擾,在LESO前加入了噪聲模塊,在控制對象的td輸入口接入了負(fù)階躍信號,將在第3s仿真時間輸出值由0跳變?yōu)?。按照上文步驟進(jìn)行參數(shù)整定,整定結(jié)果為:b0=180,ωc=20,ωo=80;運(yùn)行仿真程序后,其結(jié)果如下所示:

從圖6中可以看出,ESO的觀測跟蹤效果顯著,即使在反饋回路中加入了相關(guān)干擾控制系統(tǒng)也可以在0.5 s內(nèi)使系統(tǒng)輸出為給定值并且達(dá)到穩(wěn)態(tài)。為了探明系統(tǒng)自身變化對控制結(jié)果的影響,將被控對象的增益做±10%步長4%的變化,以調(diào)節(jié)時間為采樣點(diǎn),進(jìn)行統(tǒng)計,其結(jié)果如表2所示。

圖6 線性自抗擾系統(tǒng)多干擾響應(yīng)曲線

表2 變增益動態(tài)性能對比

由此數(shù)據(jù)可得,自抗擾控制對被控對象的精確數(shù)學(xué)模型需求并不強(qiáng),也就說明,當(dāng)四旋翼飛行器部分參數(shù)改變時,此種算法依舊可以保持一個較為穩(wěn)定的控制結(jié)果。這種控制能力對于四旋翼飛行器至關(guān)重要。

3 結(jié)語

本文以四旋翼飛行器為研究對象,建立了其數(shù)學(xué)模型,根據(jù)該模型,使用Matlab進(jìn)行自抗擾控制的仿真。從仿真結(jié)果來看,自抗擾控制系統(tǒng)對高頻信號干擾與外部參數(shù)補(bǔ)償兩個方面的控制效果都較好,總結(jié)出了其動態(tài)性能等相關(guān)規(guī)律,為相關(guān)四旋翼控制算法的實(shí)現(xiàn)與發(fā)展提供了結(jié)論支撐。