導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題中的易錯(cuò)題剖析

■河南省許昌市建安區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 練中彬

導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn),該類題主要涉及函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí),也涉及構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、分離參數(shù)、放縮、轉(zhuǎn)化等方法,對(duì)提升同學(xué)們的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算有極大的幫助。下面就導(dǎo)數(shù)與不等式的證明及恒成立問題中的易錯(cuò)點(diǎn)歸類總結(jié)。

一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例1證明:當(dāng)x＞1時(shí),+lnx＜。

易錯(cuò)剖析:當(dāng)待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí),一般地,可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù),通過研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式。

二、放縮法證明不等式

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1。

(1)若對(duì)任意x∈(0,+∞),f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍;

若a≤0,當(dāng)x＞1時(shí),lnx-ax+1＞0,不符合題意。

綜上可得,a的取值范圍為[1,+∞)。

易錯(cuò)剖析:解答本題第(2)問的關(guān)鍵是利用lnx≤x-1(x＞0)進(jìn)行放縮。

例3已知f(x)=aex-lnx-1。證明:當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥0。

證明:當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥-lnx-1(x＞0)。

設(shè)g(x)=-lnx-1(x＞0),則g＇(x)=。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),g＇(x)＜0;當(dāng)x＞1 時(shí),g＇(x)＞0。所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn)。

故當(dāng)x＞0時(shí),g(x)≥g(1)=0。

因此,當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥0。

易錯(cuò)剖析:若某些不等式直接構(gòu)造函數(shù)不易求最值,則可利用條件與不等式的性質(zhì),適當(dāng)放縮后,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明。

三、分離ex 和lnx 證明不等式

例4已知函數(shù)f(x)=ex2-xlnx,證明:當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＜xex+。

再令φ(x)=ex-ex,則φ＇(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則φ(x)max=φ(1)=0,所以exex≤0。

因?yàn)閔(x)與φ(x)不同時(shí)為0,所以exex＜lnx+,故原不等式成立。

易錯(cuò)剖析:(1)當(dāng)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí),可將待證式進(jìn)行變形,構(gòu)造兩個(gè)都便于求導(dǎo)的函數(shù),從而找到可以傳遞的中間量,達(dá)到證明的目的。(2)本題中將原不等式化為lnx+＞ex-ex(x＞0)(分離lnx與ex),便于探求構(gòu)造的函數(shù)h(x)=lnx+和φ(x)=ex-ex的單調(diào)性,分別求出h(x)的最小值與φ(x)的最大值,借助“中間媒介”證明不等式。

四、分拆函數(shù)法證明不等式

例5已知函數(shù)f(x)=elnx-ax(a∈R)。

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=e 時(shí),證明:xf(x)-ex+2ex≤0。

解析:(1)f＇(x)=-a(x＞0)。

若a≤0,則f＇(x)＞0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

若a＞0,則當(dāng)0＜x＜時(shí),f＇(x)＞0;當(dāng)x＞時(shí),f＇(x)＜0。所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

(2)因?yàn)閤＞0,所以只需證f(x)≤-2e。

當(dāng)a=e時(shí),由(1)知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=-e。

設(shè)g(x)=-2e(x＞0),則g＇(x)=。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),g＇(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞1 時(shí),g＇(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增。所以g(x)min=g(1)=-e。

綜上可得,當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≤g(x),即f(x)≤-2e,即xf(x)-ex+2ex≤0。

易錯(cuò)剖析:①當(dāng)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí),可將待證式進(jìn)行變形,構(gòu)造兩個(gè)都便于求導(dǎo)的函數(shù),從而找到可以傳遞的中間量,達(dá)到證明的目的。②在證明的過程中,等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,在證得g(x)min≥f(x)max恒成立時(shí),可以得到f(x)≤g(x)恒成立。

五、不等式恒成立問題

例6已知函數(shù)f(x)=x2+,若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析:若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),則需f(x1)min≥g(x2)min。