例談構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)解題中的應(yīng)用

■江蘇省宿豫中學(xué) 羅偉

導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一,可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、探究函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題,命制的題目具有結(jié)果獨(dú)特、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法,如何合理地構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵,下面舉例談?wù)剺?gòu)造函數(shù)的一些常用方法。

題型一、構(gòu)造可導(dǎo)的積的形式函數(shù)

例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)+xf＇(x)＜0 成立,a=20.2·f(20.2),b=logπ3·f(logπ3),c=log39·f(log39),則a,b,c的大小關(guān)系為()。

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.c＞b＞aD.b＞a＞c

解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)y=xf(x)為奇函數(shù)。因?yàn)閇xf(x)]＇=f(x)+xf＇(x),所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),[xf(x)]＇=f(x)+xf＇(x)＜0,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞增。因?yàn)?＜20.2＜2,0＜logπ3＜1,log39=2,所以0＜logπ3＜20.2＜log39,所以b＞a＞c。故選D。

點(diǎn)評(píng):如果題設(shè)條件滿足結(jié)構(gòu)f＇(x)g(x)+f(x)g＇(x),可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x)。例如:(1)對(duì)于f＇(x)+f(x)＞0(＜0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex·f(x);(2)對(duì)于xf＇(x)+f(x)＞0(＜0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=x·f(x);(3)對(duì)于xf＇(x)+nf(x)＞0(＜0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=xn·f(x)等。

題型二、構(gòu)造可導(dǎo)的商的形式函數(shù)

例2已知定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f＇(x),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(x)＞f＇(x),且y=f(x)-1為奇函數(shù),則不等式f(x)＜ex的解集為()。

A.(-∞,0)B.(0,+∞)

C.(-∞,e4)D.(e4,+∞)

解析:因?yàn)閥=f(x)-1為奇函數(shù),且定義域?yàn)镽,所以f(0)-1=0,得f(0)=1。設(shè)h(x)=,則h＇(x)=,因?yàn)閒(x)＞f＇(x),所以h＇(x)＜0,所以h(x)是R 上的減函數(shù),所以不等式f(x)＜ex等價(jià)于,所以x＞0。故選B。

題型三、對(duì)局部進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)

例3已知函數(shù)f(x)=,若x0＜1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證:f(x)≤g(x)。

證明:函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f＇(x0)(x-x0)+f(x0)。

令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f＇(x0)(x-x0)+f(x0),x∈R,則h＇(x)=f＇(x)-f＇(x0)=。

設(shè)φ(x)=-(1-x0)ex,x∈R,則φ＇(x)=-(1-x0)ex。

因?yàn)閤0＜1,所以φ＇(x)＜0,所以φ(x)在R 上單調(diào)遞減。

因?yàn)棣?x0)=0,所以當(dāng)x＜x0時(shí),φ(x)＞0,h＇(x)＞0;當(dāng)x＞x0時(shí),φ(x)＜0,h＇(x)＜0。

所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),故x∈R時(shí),h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于一類(lèi)不等式的證明或求參數(shù)問(wèn)題,若直接構(gòu)造函數(shù)無(wú)法解決,則我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)·g(x)或,其中f(x)與g(x)某一個(gè)函數(shù)可明顯判斷出與零的大小關(guān)系,則另外一個(gè)函數(shù)即為構(gòu)造對(duì)象,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程,順利解決問(wèn)題。

題型四、先放縮再構(gòu)造函數(shù)

例4設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=在點(diǎn)(0,0)處相切。

(1)求a,b的值;

(2)求證:當(dāng)0＜x＜2時(shí),f(x)＜。

解析:(1)a=0,b=-1。(過(guò)程略)

(2)當(dāng)x＞0 時(shí),由均值不等式得＜x+2,故+1。

所以f(x)=ln(x+1)+-1＜ln(x+1)+。

當(dāng)0＜x＜2時(shí),h＇(x)＜0,所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)。

點(diǎn)評(píng):若待求的函數(shù)式較為復(fù)雜時(shí),可利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、已成立的不等式等將函數(shù)式的一部分進(jìn)行放縮,然后再構(gòu)造函數(shù),這樣可以獲得事半功倍的效果。例如:要證f(x)＜g(x)?f(x)＜h(x)(新構(gòu)造的函數(shù))＜g(x);或f(x)＞g(x)?f(x)＞h(x)(新構(gòu)造的函數(shù))＞g(x)。

題型五、變形后再構(gòu)造函數(shù)

例5已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=,若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析:f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,即kx2-lnx≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,令h(x)=kx2-lnx(x＞0),則h＇(x)=。

(1)若k≤0,顯然h(x)≥0不恒成立。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于一類(lèi)指數(shù)式的不等式,可以先對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù),進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,使函數(shù)式得以化簡(jiǎn),再構(gòu)造函數(shù);或者對(duì)主元的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行換元,將分式化為整式進(jìn)行換元,這樣可以簡(jiǎn)化構(gòu)造的函數(shù)。例如:本題如果直接構(gòu)造函數(shù)h(x)=kx-,極值點(diǎn)不能具體求出,需要整體代換,過(guò)程相對(duì)復(fù)雜,沒(méi)有上述方法簡(jiǎn)潔易行。