滑動(dòng)式廣義延拓插值法在GLONASS鐘差插值中的應(yīng)用

化希瑞

( 中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司, 天津 300142 )

0 引 言

衛(wèi)星鐘差是指衛(wèi)星搭載的衛(wèi)星鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的差值，當(dāng)某顆衛(wèi)星的鐘差達(dá)到1 ms時(shí)，對(duì)測(cè)距的影響會(huì)達(dá)到300 km[1]，所以衛(wèi)星鐘差的精度對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航定位的精度影響很大. 隨著衛(wèi)星定位技術(shù)的發(fā)展，接收機(jī)的采樣間隔也逐漸變密，往往需要對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值才能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求.

目前國(guó)內(nèi)外在對(duì)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理時(shí)常用的插值方法為L(zhǎng)agrange插值法[2]和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法[3]，雖然這兩種傳統(tǒng)的插值方法插值處理效果都很好，但仍然存在局限性，利用Lagrange插值法進(jìn)行插值時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，會(huì)產(chǎn)生“龍格現(xiàn)象”，而切比雪夫多項(xiàng)式擬合法雖然避免了“龍格現(xiàn)象”，但在擬合過(guò)程中會(huì)丟失部分高精度數(shù)據(jù)，導(dǎo)致插值精度的降低.

廣義延拓插值法是將插值方法和擬合方法進(jìn)行有效地組合，這種插值方法在對(duì)離散數(shù)據(jù)的插值處理中有很好的應(yīng)用效果，并且在對(duì)GPS、北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的處理中取得了一定的成果[4-6]. 但在對(duì)GLONASS中的應(yīng)用研究較少，本文嘗試?yán)脧V義延拓插值法、Lagrange插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法對(duì)GLONASS的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，為進(jìn)一步提高插值效果，對(duì)這三種插值方法都進(jìn)行了滑動(dòng)，通過(guò)對(duì)插值結(jié)果的對(duì)比和分析，得出了一些結(jié)論.

1 衛(wèi)星鐘差插值方法

1.1 廣義延拓插值法

廣義延拓插值法在對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，將其分為若干個(gè)不重疊的單元域，在每個(gè)單元域內(nèi)進(jìn)行插值計(jì)算，對(duì)單元域進(jìn)行延拓得到延拓域，在延拓域內(nèi)進(jìn)行擬合，得到同時(shí)滿足兩個(gè)條件的逼近函數(shù)[7]，對(duì)插值和擬合方法的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了結(jié)合.

同時(shí)，Ue(x) 也要滿足 Ωe上的插值條件

式中，i=1,2,···,r.

將式(2)和式(3)合寫，得到

通過(guò)利用拉格朗日乘數(shù)法，對(duì)式(4)進(jìn)行計(jì)算，得到式(1)中的a1,a2,···,at，從而得到 Ωe的插值函數(shù).再對(duì)不同單元域分別進(jìn)行計(jì)算，得到m個(gè)插值函數(shù)，從而得出整個(gè)數(shù)據(jù)域 Ω 的逼近函數(shù)U(x) 為

1.2 Lagrange插值法

Lagrange插值法的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用十分廣泛.

其插值算法如下[8]：

在n+1 個(gè) 不同插值點(diǎn)x0,x1,···,xn處存在插值多項(xiàng)式Ln(x) ，使得

構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式

1.3 切比雪夫多項(xiàng)式擬合法

切比雪夫多項(xiàng)式擬合法是比較常用的數(shù)據(jù)插值方法，利用區(qū)間上已知數(shù)據(jù)擬合出多項(xiàng)式函數(shù)，將這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)區(qū)間內(nèi)的未知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值[9].

對(duì)于 [t0,t0+Δt] 上 的鐘差數(shù)據(jù)，t0為參考?xì)v元，Δt為擬合區(qū)間長(zhǎng)度. 將t∈[t0,t0+Δt] 表示為 τ ∈[-1,1] ，得到

t時(shí)刻的鐘差為

式中：n為擬合階數(shù)；Ci為待求系數(shù)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)通過(guò)最小二乘法進(jìn)行擬合得到Ci；利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法遞推公式可以確定Ti(τ) ，即

將所求得的Ci、Ti(τ) 代入式(10)中，可以得出未知點(diǎn)鐘差數(shù)據(jù).

1.4 滑動(dòng)式插值算法

由于插值區(qū)間的固定，在進(jìn)行插值時(shí)，不同插值區(qū)間內(nèi)得到的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出跳躍，不利于插值結(jié)果精度. 利用滑動(dòng)式插值法進(jìn)行插值時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)當(dāng)插值點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，插值區(qū)間也隨之滑動(dòng)，從而保證所計(jì)算的插值點(diǎn)始終處于插值區(qū)間的中間，提高了插值結(jié)果的精度[10]. 所以本文在對(duì)GLONASS鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，采用的三種插值方法都利用了滑動(dòng)式插值法.

2 算例分析

本文采用由德國(guó)地球科學(xué)研究中心下載的2021-06-01—06-03三天歷元間隔為5 min的GLONASS精密鐘差數(shù)據(jù)(https://www.gfzpotsdam.de/en/section/space-geodetic-techniques/topics/gnss-services/)，分 別利用滑動(dòng)式廣義延拓插值法、滑動(dòng)式Lagrange插值法和滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法將5 min的鐘差數(shù)據(jù)插值為30 s，并與30 s的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，使用均方差和平均絕對(duì)誤差衡量插值方法的精度，通過(guò)對(duì)三天內(nèi)所有運(yùn)行中的GLONASS衛(wèi)星插值結(jié)果的統(tǒng)計(jì)，分析三種滑動(dòng)式插值方法在GLONASS鐘差數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用效果.

2021年6月1日共有20顆GLONASS衛(wèi)星有鐘差數(shù)據(jù). 利用滑動(dòng)式Lagrange插值法、滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法和滑動(dòng)式廣義延拓插值法對(duì)這20顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，設(shè)置最大插值節(jié)點(diǎn)數(shù)為20，在3～20中逐次選取所有的插值節(jié)點(diǎn)，每次選定插值節(jié)點(diǎn)數(shù)后，再對(duì)應(yīng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)逐次選取不同的階數(shù)，最終確保所有的參數(shù)組合都進(jìn)行計(jì)算．此過(guò)程利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn). 統(tǒng)計(jì)出每種參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的插值精度，通過(guò)對(duì)每種插值精度的對(duì)比，選取精度最優(yōu)時(shí)的參數(shù)組合，得到其插值結(jié)果如表1～3所示.

表1 滑動(dòng)式Lagrange插值法插值結(jié)果

表2 滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法插值結(jié)果

表3 滑動(dòng)式廣義延拓插值法插值結(jié)果

表3（續(xù)）

從表中可以看出，對(duì)于GLONASS中的不同衛(wèi)星，利用同一種插值方法進(jìn)行插值時(shí)，其最優(yōu)參數(shù)組合并不一致；利用滑動(dòng)式Lagrange插值法進(jìn)行鐘差數(shù)據(jù)處理時(shí)，插值精度并不會(huì)隨著插值階數(shù)的增加而增加；當(dāng)滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法和滑動(dòng)式廣義延拓插值法在分別得到最優(yōu)精度時(shí)，所配置的參數(shù)組合中的節(jié)點(diǎn)數(shù)雖然相差不多，但滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值精度明顯高于滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法，這說(shuō)明滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法在對(duì)鐘差數(shù)據(jù)的處理中，很可能丟失了部分高精度的鐘差數(shù)據(jù).

為了更直觀的對(duì)這三種插值方法的均方差和平均絕對(duì)誤差結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，圖1～2分別繪制了相應(yīng)的插值精度直方圖.

圖1 2021年6月1日平均絕對(duì)誤差精度對(duì)比

圖2 2021年6月1日均方差精度對(duì)比

分別計(jì)算這三種插值方法對(duì)20顆GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的均方差插值結(jié)果，可以得出：三種插值方法的均方差平均插值精度分別為0.058 ns、0.042 ns和0.026 ns；利用滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值精度較滑動(dòng)式Lagrange插值法、滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法分別提高了54%和37%，可見(jiàn)滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值結(jié)果離散程度最低，插值精度最高，應(yīng)用效果最好.

為了進(jìn)一步探討這三種插值方法的最優(yōu)參數(shù)組合和驗(yàn)證滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值精度，在相同條件下，分別利用這三種插值方法對(duì)2021年6月2日—3日的GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

分析同一顆衛(wèi)星這三天的插值結(jié)果取最優(yōu)插值精度時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合，以5顆衛(wèi)星為例，其結(jié)果如表4～6所示.

表4 2021年滑動(dòng)式Lagrange最優(yōu)插值階數(shù)

表5 2021年滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法最優(yōu)參數(shù)組合

表6 2021年滑動(dòng)式廣義延拓插值法最優(yōu)參數(shù)組合

由表4～6可知，對(duì)于同一顆衛(wèi)星不同時(shí)期的鐘差數(shù)據(jù)，利用同一種插值方法進(jìn)行插值時(shí)，其最優(yōu)參數(shù)組合也不一致.

根據(jù)2021年6月2日—3日的GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的插值結(jié)果繪制插值精度直方圖，如圖3～4所示.

圖3 2021年6月2日均方差插值精度對(duì)比

從圖中可以直觀的看出，在對(duì)2021年6月2日—3日的GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值時(shí)，滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值精度仍然要高于其他兩種插值方法.

圖4 2021年6月3日均方差插值精度對(duì)比

3 結(jié) 論

1)不同的GLONASS衛(wèi)星在不同時(shí)期利用滑動(dòng)式Lagrange插值法、滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法和滑動(dòng)式廣義延拓插值法這三種插值方法取得最優(yōu)插值精度時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合并不相同，表明當(dāng)進(jìn)行鐘差插值計(jì)算時(shí)，不能套用固定的參數(shù)組合，必須對(duì)參數(shù)組合擇優(yōu)后插值.

2)當(dāng)對(duì)5 min的GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)插值到30 s時(shí)，滑動(dòng)式Lagrange插值法、滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法和滑動(dòng)式廣義延拓插值法這三種插值方法雖然都能滿足精度要求，但滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法的插值精度要高于滑動(dòng)式Lagrange插值法，而滑動(dòng)式廣義延拓插值法將這兩種方法進(jìn)行了組合，其插值結(jié)果離散程度最低，插值精度最高.

3)通過(guò)對(duì)隨機(jī)連續(xù)三天的GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，都能得出一致結(jié)論，即滑動(dòng)式廣義延拓插值法的插值精度最高，這說(shuō)明滑動(dòng)式廣義延拓插值法在對(duì)GLONASS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的插值中具有很好的應(yīng)用價(jià)值.

致謝：感謝德國(guó)地球科學(xué)研究中心提供的GLONASS精密鐘差數(shù)據(jù)！