基于時間反轉變換的動目標相參積累算法*

劉海涵，呂衛(wèi)祥

（南京船舶雷達研究所724所，江蘇 南京 211106）

0 引言

在現代戰(zhàn)爭中，雷達面臨的目標日趨復雜，主要體現在低雷達反射截面積（radar cross section，RCS）、高速度和高機動3個方面［1］。在不增加硬件成本的條件下，采用長時間相參積累算法提高信噪比，實現微弱目標檢測與識別具有非常重要的軍事意義［2-3］。而如何解決長時間積累過程中存在的三跨問題：跨距離單元、跨多普勒單元、跨波束也成了國內外學者的研究熱點［4］。

包絡補償和相位補償是實現長時間相參積累的關鍵［5］。針對勻加速度高速機動目標，常采用不需要先驗速度信息的Keystone［6］變換及其高階形式實現距離走動和距離彎曲的校正。在包絡對齊后，根據目標的運動特性將目標信號沿方位向的分布建模為QFM（quadratic frequency modulated）信號并采用時頻變換或構建匹配項多維搜索的方法對其進行參數估計［7］。近年來結合Radon［8］變換和Key?stone變換的包絡與多普勒統(tǒng)一補償的算法較為流行。典型算法有：廣義拉東傅里葉變換［9］（generalized Radon Fourier transform，GRFT）、Keystone分數階 傅 里 葉 變 換［10］（KT-fractional Fourier transform，KT-FRFT）、Radon線性正則變換［11］（Radon linear ca?nonical transform，RLCT）等。以上幾種算法都無法避免多維搜索。隨著信號采樣點數及積累脈沖數增加，算法運算量陡升，給硬件設備帶來巨大壓力，不利于雷達對目標的實時檢測。

2016年李小龍?zhí)岢鯰RT-SKT-LVD（time revers?ing transform，second-order Keystone transform and LV′s distribution）算法［12］。該算法無需搜索，極大降低了運算量，且擁有較優(yōu)的檢測性能。但在慢時間維對回波進行反轉相乘簡化信號模型時會丟失目標的速度信息。導致多目標擁有相同的距離和加速度時算法失去分辨能力，嚴重制約了該算法的應用范圍。

本文提出TRT-KTR（time reversing transform，first-order Keystone transform and Radon transform）算法，在慢時間維對回波進行反轉相除，剝離出目標的速度信息。針對相除運算產生的噪聲突變點，采用低通濾波器和線性平滑法消除其影響。并采用Keystone變換校正目標速度引起的距離徙動。利用Radon變換估計速度模糊數并進行補償實現回波能量的相參積累。TRT-SKT-LVD與TRT-KTR相配合，克服了其不能測速的缺陷，能夠實現多目標檢測。聯(lián)合算法運算復雜度沒有增加，且2個算法采用分段并行運算有利于減少硬件設備的負擔，提高信號檢測的實時性。

1 信號模型

假設雷達發(fā)射線性調頻信號（linear frequency modulated，LFM）［13］如下：

式中：γ為線性調頻信號調頻斜率；Tp為脈沖寬度；fc為雷達載頻；τ為快時間；tm=m?PRT代表慢時間，m=-(N-1)/2，…，-1，0，1，…，(N-1)/2，N為 積累脈沖數，PRT為脈沖重復時間；rect(·)為矩形函數。

假設|v|/c?1，c為光速。雷達接收到的基帶信號為

式中：σ0為雷達反射系數；λ=c/fc為雷達波長。

對信號進行脈沖壓縮得

式中：A為信號脈壓后幅值；B為信號帶寬。對于勻加速直線運動目標：

式中：R(tm)為動目標到雷達的距離；R0為初始距離；v為目標徑向速度；a為目標徑向加速度。

當目標運動速度過快而雷達的脈沖重復頻率PRF較低時，在方位向會發(fā)生多普勒欠采樣。此時目標的徑向速度可表示為［14］

式中：vamb=PRF?λ/2表示盲速；|v0|

對式（2）沿快時間τ作傅里葉變換，并將式（6）帶入：

式（7）存在4個相位項，前3個相位項分別包含目標的運動參數：初始距離、初始速度和加速度。從后計的3個相位項中，快時間頻率fτ皆與慢時間tm相耦合，其中速度v0、速度模糊數F所在相位項為一階耦合會造成線性距離走動。而加速度所在相位項為二階耦合會造成距離彎曲。

2 算法原理

2.1 TRT-SKT-LVD算法

對式（7）沿慢時間維作時間反轉變換得

用(tm，fτ)乘S(tm，fτ)得

由式（9）知TRT變換后，信號的速度信息因相乘對消而丟失。這導致TRT-SKT-LVD算法無法測速。

對式（9）作二階Keystone變換（SKT），令

代入式（9）并沿快頻率維作逆傅里葉變換得

由式（11）可知，完成二階Keystone變換校正距離彎曲后，信號快時間維峰值均落在4R0/c對應的距離單元內。取峰值所在距離單元內的慢時間信號：

對式（12）采用LVD［15］變換得

式中：γ為調頻斜率單元。由式（13）知，通過估計調頻斜率單元峰值位置即可得到目標加速度。

2.2 TRT-KTR算法

令D(tm，fτ)=S(tm，fτ)/Sˉ(tm，fτ)，又因為

exp(-j4πfcFvambtm/c)=1，得

對式（14）進行一階Keystone變換，令

代入式（14）得

在窄帶雷達條件下，fτ?fc，得

式（16）改寫為

采用Radon變換估計模糊數F。由式（17）知在一階Keystone變換后模糊速度會造成線性距離走動。在快時間維-慢時間維平面脈壓峰值表現為一條斜線。沿不同角度對式（17）作Radon變換，當與峰值斜線角度相同時，Radon變換得最大值，得到估計角度?，可求得速度模糊數F=tan?(fc/fs)。

構建匹配項exp(j8πfτFvambtn/λfc)對式（16）進行補償后得

對式（19）沿fτ作逆傅里葉變換后再沿慢時間作傅里葉變換得

式中：fn為多普勒頻域，通過估計多普勒頻域單元峰值的位置即可得到目標速度。

2.3 噪聲突變點分析

假設回波中存在高斯白噪聲，時間反轉相除運算會產生突變點。突變點可分為2類：一種是幅值接近于0的下突變點；另一種是幅值遠大于回波最大幅值的上突變點。下突變點出現位置可視為該點信號缺失。由式（14）已知，時間反轉變換后的信號產生線性距離走動。缺失部分數據點的信號雖然會損失部分信號能量；但回波矩陣仍會保持包絡走動的線性特征，后續(xù)Radon變換和相參積累的峰值位置并不會受到影響。這種損失可以通過增加脈沖積累數量延長積累時間減輕其影響，一般來說是可以接受的。

假設在tm=t′時共產生了k個上突變點，其幅值為(M1，M2，…，Mk)?max(D(tm，fτ))，此時TRT相除后的信號可寫為

沿快頻率維對式（21）作逆傅里葉變換得

由式（22）可知，在慢時間為t′時的快時間域，上突變點的存在會導致快時間域內回波能量整體大幅抬升，進而導致相參積累后信號與噪聲能量的歸一化比值大幅降低。在后續(xù)Radon變換中，上突變點造成的慢時間能量整體抬升，會在搜索角度90°位置產生偽峰，嚴重干擾速度模糊數的估計。對此采用低通濾波器加線性平滑法減少上突變點的影響。

由式（14）可知，由于門限函數rect(fτ/B)的限制，D(tm，fτ)是以帶寬為B的低通信號。采用低通濾波器，保留通帶內的信號，盡量壓低有效帶寬以外的突變點。對濾波后的信號Dh(tm，fτ)，設置參考門限L，L≥max(D(tm，fτ))。設置參考單元數為m，m為偶數。沿快時間維遍歷，當離散點值大于門限L則被判斷為突變點。在這個點左右各尋找最近的m/2個非突變點，即參考單元，并將突變點賦值為m個非突變點的均值。通過線性平滑，消除突變點的影響。

2.4 多目標聯(lián)合檢測分析

當回波中存在多個目標時，慢時間反轉變換不可避免地產生交叉項，且目標越多交叉項越多，影響越嚴重。由式（13），（20）可知，TRT-SKT-LVD算法可以積累出目標加速度與距離信息。TRT-KTR算法可以積累出目標速度信息。相參積累完成后，2個算法得到的信息是獨立的。當回波中存在多目標時，需要對目標參數進行匹配。

在實際應用中，雷達所探測的目標距離、速度、加速度最大范圍是已知的。目標積累時間內在快時間域產生的距離走動是有限的。本算法中根據雷達系統(tǒng)先驗信息，采用將脈壓后的數據在快時間維上分段并行處理的策略來減少信號間交叉項。

快時間維分段如圖1所示，存在A到F 6個目標。假設動目標脈壓峰值最大走動距離不超過2個網格。不分段情況下，圖1中所有目標在慢時間反轉變換后會相互耦合并產生交叉項。分段后，C被截斷。A，B為一組，D，E，F為一組。對不同分段單獨作慢時間反轉變換后，A，B間產生交叉項，D，E，F間產生交叉項，大大減少了交叉項的數量。C因為被截斷，能量損失嚴重，對A，B影響較小。對脈壓信號重新分段后C在段內保持連續(xù)，目標運動特征完整保留，利于后續(xù)檢測。脈壓后信號分段并行處理減少了單次計算的距離單元數，降低單次運算數據量，有利于信號實時檢測。

圖1 快時間維分段示意圖Fig.1 Fast time dimension segmentation diagr am

本算法中以段為單位，采用幀間動目標跟蹤的方法進行目標參數匹配。目標的運動狀態(tài)已知為勻加速度直線運動，在運動過程中加速度保持不變。令一個慢時間積累周期的數據矩陣為一幀，在相鄰幀中，經過TRT-SKT-LVD算法處理可得多組相關聯(lián)的距離與加速度。經過TRT-KTR算法處理可得多組速度。根據勻加速度運動模型，由于幀間時間間隔為已知固定值，故相鄰幀同目標速度增量由其加速度確定。計算不同速度對應的走動距離，根據速度增量和走動距離聯(lián)合求解線性方程組，可將目標參數匹配。在實際工程應用中，徑向多目標分辨時具有相同距離單元與相同加速度的目標數不會過多。當具有相同距離單元與相同加速度的目標數不超過2時，單幀信息即可實現目標參數匹配。

聯(lián)合算法流程圖如圖2所示。

圖2 TRT-SKT-LVD與TRT-KTR聯(lián)合算法流程圖Fig.2 Flowchart of TRT-SKT-LVD and TRT-KTR joint algorithm

3 算法實現及運算量分析

3.1 TRT-KTR算法流程

（1）對雷達接收到的信號進行去載頻得到基帶信號sr(tm，τ)，進行脈沖壓縮得到s(tm，τ)。

（2）對s(tm，τ)快時間維作傅里葉變換得s(tm，fτ)，并作慢時間翻轉變換得Sˉ(tm，fτ)。

（3）S(tm，fτ)與Sˉ(tm，fτ)相除得D(tm，fτ)，通過低通濾波器進行頻域濾波。低通濾波器通帶帶寬與發(fā)射信號一致。

（4）設定參考門限L，濾波后的信號沿快頻率維fτ進行遍歷，對于超過參考門限的值視為突變值，取相距最近的m個參考單元的均值代替突變值。

（5）對進行門限平滑后的信號D′(tm，fτ)進行一階Keystone變換得D′(tn，fτ)。

（6）對D′(tn，fτ)采用Radon變換估計模糊數F，構建匹配項exp(j8πfcFvambtn/c)進行補償。

（7）對補償后的D″(tn，fτ)沿fτ作逆傅里葉變換后再沿慢時間tn作傅里葉變換積累出目標。

3.2 運算量分析

假設積累脈沖數為M，距離單元數為Nr，多普勒模糊搜索個數為NF，單位慢時間平均突變點個數為Nc個。

時間反轉變換需要進行MNr+2MNrlbNr復數乘法。頻域濾波需要進行MNr次復數乘法，平滑突變點需要2MNc次復數乘法。采用Chrip-Z算法實現Keystone變換，需要12MNr+2MNrlbNr次復數乘法。Radon變換與補償模糊速度共需要進行MNF+MNr次復數乘法。慢時間FFT積累速度v需要進行MNrlbM。當M=Nr=NF=Nc時，TRT-KTR算法計算復雜度為O(N2lbN)；TRT-SKT-LVD算法計算復雜度為O(N3lbN)［12］；聯(lián)合算法計算復雜度依然為O(N3lbN)，計算復雜度并未增加。相較于GRFT的計算復雜度O(N5)，小了近2個數量級。

4 仿真結果及分析

4.1 無噪聲TRT-KTR算法性能

為了驗證算法的有效性，雷達仿真參數如表1所示。假設初始時刻目標與雷達的距離R0=50 km，徑向速度v0=1 200 m/s，徑向加速度a0=300 m/s2做勻加速直線運動。在無噪聲條件下，單目標仿真結果如圖3所示。

表1 雷達系統(tǒng)參數Table 1 Radar system par ameters

圖3 a）為脈沖壓縮結果。積累期間回波發(fā)生嚴重的距離走動，走動16個距離單元。由表1得距離分辨率為ΔR=c/2fs=15 m。在慢時間序號為-200時目標速度為v′=1 170 m/s。理論距離走動單元數為RM=(v′t+0.5a0t2)/ΔR=16。仿真與理論吻合。

在慢時間序列號為0時對應脈壓峰值的距離單元為R0/delta_R≈3 333。Radon變換搜索峰值所得脈壓傾斜角為175.4°，動目標速度模糊數估計值為Fest=(fc/fs)tan(θπ/180)=-80.5。由式（17）知TRT后模糊數擴大了2倍。理論模糊數為-40，模糊數估計誤差為0.006 25。圖3 c）為Keystone變換并補償了速度模糊數后，不同慢時間回波的脈壓峰值落在同一距離單元，距離走動被校正。圖3 d）為相參積累結果，速度分量被積累起來形成峰值。圖3的仿真結果與理論保持一致，所提算法能準確估計模糊數，并有效實現目標距離走動的校正與速度能量的分離與相參積累。

圖3 無噪聲情況下TRT-KTR算法Fig.3 TRT-KTR algorithm without noise

4.2 有噪聲TRT-KTR算法性能

在回波中添加高斯白噪聲，使脈壓前信噪比為-18 d B。設平滑處理參考單元數為4，參考門限L為2max(S(tm，fτ))。圖4 b）顯示，時間翻轉相除變換在某些慢時間序號的回波內產生了嚴重的幅值抬升。由式（19），（20）可知，這是遠大于信號值的上突變點引起的。這些海浪式的幅值抬升雖不會掩蓋信號能量，但會造成信號能量與回波能量比值降低，干擾信號檢測。圖4 c）顯示，垂直于慢時間維的幅值抬升還會使得Radon變換在搜索角度90°附近產生峰值，嚴重影響Radon變換搜索速度模糊數。圖4 d）顯示，經過低通濾波與對超過門限的突變點平滑處理，突變點造成的信號能量抬升被成功消除。采用的線性平滑的方法將突變點去除時會同時去除掉該點的有效信號，損失大約7 d B的信噪比。圖4 e）顯示，經過突變點抑制后的算法在低信噪比情況下，能夠實現動目標速度的分離與相參積累。

圖4 有噪聲情況下TRT-KTR算法Fig.4 TRT-KTR algorithm in the presence of noise

在實際應用時，可以根據先驗信息確定角度搜索范圍。假設目標速度范圍［-3 000，3 000］，則模糊數范圍［-200，200］，Radon變換搜索角度最小范圍為［0，11.309 9］和［168.690 1，180］。這樣既規(guī)避了在90°附近產生的突變點尖峰，又將計算資源集中在有效區(qū)間，同時減少了運算量。

速度模糊數估計精準與否影響距離走動是否能被完全校正，進而影響算法的性能。進行100次蒙特卡羅實驗，比較不同信噪比下Radon變換估計速度模糊數的均方根誤差（root mean square error，RMSE），仿真結果如圖5 a）所示。如果要求RMSE<10-1，平滑后比平滑前性能改善約10 dB。如果要求RMSE<10-2，則平滑后比平滑前性能改善約5 dB。經過低通平滑去除突變點后的模糊數估計RMSE顯著小于未去除突變點的均方根誤差。

進行100次蒙特卡羅實驗，TRT-LTR算法與MTD（moving targets detection）算法檢測結果如圖5 b）所示。在檢測概率要求為0.9時，TRT-KTR算法性能比MTD算法所需信噪比少約7 d B。當要求檢測概率為0.95時，輸入信噪比至少為-15 d B。本節(jié)仿真中，脈沖相參積累個數為400個，積累時間為0.2 s。當脈沖相參積累個數繼續(xù)增加時，由于MTD沒有解決距離走動和距離彎曲問題，回波能量擴散在不同距離單元。TRT-KTR算法相參積累增益更大，性能優(yōu)勢會更加明顯。

圖5 TRT-KTR算法積累性能Fig.5 Intergration performance of single-target TRT-KTR

4.3 多目標積累性能

假設有3個運動目標做勻加速直線運動，分別為目標A、目標B、目標C。目標A，B，C初始距離分別為10，10，11 km；初始徑向速度分別為1 200，-1 600，1 000 m/s；初始徑向加速度分別為-500，-500，300 m/s2；積累脈沖數為800。

在無噪聲情況下，仿真結果如圖6所示。由圖6 a）所示脈沖壓縮后，3個目標都產生了不同程度的距離走動和距離彎曲。由圖6 b）所示，脈壓數據在經過TRT-SKT-LVD算法處理后積累出2個尖峰。由于目標A、目標B擁有相同的加速度與初始距離，其能量疊加在一起通過LVD時頻處理無法區(qū)分兩目標。將脈壓后目標A，B信號劃歸一段取出，作TRT相除變換，處理結果如圖6 c）所示。由于脈壓信號的交疊在時間翻轉相除變換后產生了交叉項，交叉項的存在會影響Radon變換搜索模糊數。由文獻［12］第2節(jié)推導可知，不分段情況下3個目標理論上會產生3個自聚焦項和6個交叉項。通過分段，將A，B劃歸同一分段，僅產生2個交叉項，減少交叉項數量。圖6 d）表明，TRT-KTR算法成功分辨出目標A，B速度。TRT-SKT-LVD和TRT-KTR算法聯(lián)合可以得到多目標的全部運動參數。

圖6 聯(lián)合算法多目標分辨Fig.6 Joint algorithm for multi-tar get resolution

5 結束語

針對TRT-SKT-LVD算法無法測速的問題，本文提出TRT-KTR算法分離目標回波中的速度分量，采用低通濾波器加線性平滑的方法消除了時間反轉相除變換產生的上突變點的影響。對脈壓后信號、快時間維分段并行處理，減少了多目標交叉項數量及運算數據量。仿真結果證明，該算法在低信噪比情況下可以有效分離目標速度信息。聯(lián)合算法可以有效積累出目標距離、速度、加速度三維信息，實現多目標檢測。