巧設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，走進(jìn)比例之美

【摘要】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是用數(shù)學(xué)目標(biāo)去引領(lǐng)學(xué)生，讓學(xué)生去設(shè)計(jì)、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析，從而達(dá)到理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的目的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改變了過去單一的演繹式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生可以用符合自己認(rèn)知的方式去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);黃金比;數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

作者簡(jiǎn)介：邱澤宇（1993.06— ），男，江蘇省溧陽市燕湖小學(xué)，中小學(xué)二級(jí)教師。

《神奇的“黃金比”》一課是蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第三單元《分?jǐn)?shù)除法》中“你知道嗎”的拓展課文，這個(gè)板塊蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，同時(shí)其作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的素材，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)。

對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，邵光華教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為獲得某種數(shù)學(xué)理論，探求或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，經(jīng)由數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與，在典型的環(huán)境中或特定的條件下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。曹一鳴教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，在特定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下進(jìn)行探索、研究的活動(dòng)。我們把這些定義進(jìn)行比較，可以提取出一些共同點(diǎn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是獲得知識(shí)、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、解決問題;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種探究式的活動(dòng);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要借助一定的物質(zhì)條件?；谝陨险J(rèn)識(shí)，我們可以這么理解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是用數(shù)學(xué)目標(biāo)去引領(lǐng)學(xué)生，學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析，從而達(dá)到理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的目的。

本課用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)合數(shù)學(xué)故事了解“黃金比”的起源，使學(xué)生經(jīng)歷自己設(shè)計(jì)解決具體問題的實(shí)驗(yàn)方案，再加以實(shí)施的過程，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。在這個(gè)過程中，教師將引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光欣賞美，用實(shí)驗(yàn)的方法體驗(yàn)和創(chuàng)造比例美，用數(shù)學(xué)文化升華美，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面筆者根據(jù)《神奇的“黃金比”》一課的教學(xué)設(shè)計(jì)及其重構(gòu)方式來談一談自己的看法。

一、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)片段：

1.故事：長(zhǎng)方形選美。（以費(fèi)希納的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行）

師：如果請(qǐng)你來做評(píng)委，你會(huì)選擇哪一個(gè)？

（學(xué)生說出來之后讓他說明理由）

預(yù)設(shè)①：參加展會(huì)的人的想法和你不謀而合！

預(yù)設(shè)②：參加展會(huì)的人的想法可能和你的不一樣，我們一起來看看他們選的是哪一個(gè)？

師：這3個(gè)長(zhǎng)方形得到的認(rèn)可最多了，那么這3個(gè)最受歡迎的長(zhǎng)方形背后藏著什么奧秘呢？你覺得美的背后可能與什么有關(guān)系呢？（讓學(xué)生猜想）

引導(dǎo)：這些長(zhǎng)方形的形狀都不一樣，形狀是由長(zhǎng)和寬決定的，會(huì)不會(huì)和長(zhǎng)寬有關(guān)呢？

預(yù)設(shè)①：寬與長(zhǎng)的和。

預(yù)設(shè)②：寬與長(zhǎng)的差。

預(yù)設(shè)③：寬與長(zhǎng)的積。

預(yù)設(shè)④：寬與長(zhǎng)的商。

師：那么我們今天就從數(shù)學(xué)的角度來揭開它的神秘面紗。

2.小組合作（提出實(shí)驗(yàn)要求）

①算一算：根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算，完成表格。

②想一想：有什么共同的地方？

③說一說：和你的同桌說一說你的發(fā)現(xiàn)。

（學(xué)生匯報(bào)數(shù)據(jù)及自己的發(fā)現(xiàn)）

師：你的數(shù)據(jù)和這組計(jì)算結(jié)果一樣嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

思考：在本段設(shè)計(jì)中，教師先用費(fèi)希納的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行引入，以數(shù)學(xué)故事引發(fā)學(xué)生的思考，然后給學(xué)生提出實(shí)驗(yàn)要求，最后用數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。但是，筆者不禁提出了疑問，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，學(xué)生最終要掌握的究竟是什么？學(xué)了這節(jié)課有什么用？學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要經(jīng)歷選題、試驗(yàn)、觀察和探究的過程，其基本要求是要有鮮明的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)、合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、規(guī)范的實(shí)驗(yàn)操作、數(shù)學(xué)化的分析。為此，筆者對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)進(jìn)行了重構(gòu)，設(shè)計(jì)如下。

重構(gòu)：

師：接下來，我們要來做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)看實(shí)驗(yàn)要求。

①量一量：量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，填入表格。

②算一算：根據(jù)猜想，完成計(jì)算。

③說一說：仔細(xì)觀察，把你的發(fā)現(xiàn)和同桌說一說。

（學(xué)生匯報(bào)數(shù)據(jù)及發(fā)現(xiàn)）

師：你的數(shù)據(jù)和這組計(jì)算結(jié)果一樣嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生的問答略）

師：我們?cè)趧偛诺膶?shí)驗(yàn)中使用了哪些實(shí)驗(yàn)方法呢？

生：猜想;算一算;量一量;比一比。

師：我們經(jīng)歷了一個(gè)怎么樣的過程？

生：我們?yōu)榱藢ふ摇白蠲篱L(zhǎng)方形”背后的奧秘，提出了可能與長(zhǎng)寬有關(guān)系的猜想。為了驗(yàn)證我們的猜想，我們用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行了研究，得到了結(jié)論，原來和“黃金比”有關(guān)系。

教師板書實(shí)驗(yàn)步驟：發(fā)現(xiàn)問題→提出猜想→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→得出結(jié)論。

學(xué)生調(diào)動(dòng)各種感官，參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，抽取共性，得出結(jié)論。學(xué)生在經(jīng)歷“提出問題—引發(fā)猜想—設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)—?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)—發(fā)現(xiàn)結(jié)論—實(shí)驗(yàn)應(yīng)用”的實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)過程中，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并把實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)論延伸到設(shè)計(jì)美的研究中去。學(xué)生獲得的不再是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)論，在豐富的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ玫搅颂岣撸e累了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方法，積淀了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)科素養(yǎng)。

二、發(fā)掘活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

教學(xué)片段：

1.藝術(shù)作品的“黃金比”

師：當(dāng)古人發(fā)現(xiàn)“黃金比”這么神奇、這么美麗后，藝術(shù)家和工程師便用它創(chuàng)造了很多不朽的作品，這些作品一直留存到今天，或許你也見過，讓我們一起來欣賞一下。

展示：埃菲爾鐵塔（它的建造充分利用了黃金分割的概念）、古希臘帕特農(nóng)神廟（由于高和寬的比是0.618，因此它被稱為完美建筑，按照這樣的比例設(shè)計(jì)殿堂，會(huì)顯得更加雄偉、壯麗）、古埃及金字塔、維納斯雕像。

師：欣賞完這些藝術(shù)品，你有什么感想？

2.自然中的“黃金比”

師：“黃金比”雖然是我們?nèi)祟惏l(fā)現(xiàn)的，但是大自然的生物在進(jìn)化的過程中，為了適應(yīng)環(huán)境，它們身上也存在著很多的“黃金比”。

展示：蝴蝶，更美觀，更利于飛行; 葉子，這樣枝葉重疊最小，暴露最大，有利于葉子充分進(jìn)行光合作用。

3.生活中的“黃金比”

師：生活中還有地方存在“黃金比”嗎？你在生活中見過了嗎？學(xué)習(xí)這節(jié)課之前我們或許不知道，學(xué)了之后，我們就可以帶著“黃金比”的知識(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光去找一找。

師：生活中當(dāng)然有了，它就藏在我們不經(jīng)意的地方，自打“黃金比”被發(fā)現(xiàn)以來，就不斷地被運(yùn)用到我們的生活中，運(yùn)用它可以讓我們的生活變得更健康，變得更美，老師給你們準(zhǔn)備了一些素材，看你們能不能把它認(rèn)出來。

活動(dòng)：完成“最美的聲音”。（找歌曲中的黃金分割點(diǎn)，介紹音樂家莫扎特。莫扎特的每段鋼琴曲都可以分成兩部分，如果計(jì)算一下節(jié)拍數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)第一部分和第二部分節(jié)拍數(shù)的比與黃金分割完全一致）

思考：本段內(nèi)容一共為學(xué)生呈現(xiàn)了來自藝術(shù)作品、自然界和生活中的“黃金比”，給學(xué)生以美的感受，使其了解“黃金比”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，知道了原來“黃金比”不僅存在于數(shù)學(xué)書本上，還可以用發(fā)現(xiàn)的眼光去尋找生活中的“黃金比”，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感大有裨益。設(shè)計(jì)的意圖是好的，但是筆者回過頭來思考發(fā)現(xiàn)，實(shí)例之下缺少了學(xué)生的理性思考沉淀，缺少了用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證的過程，學(xué)生的認(rèn)可是因?yàn)槔蠋熓沁@么說的，并非真正的認(rèn)可。不如就用數(shù)據(jù)來說話，根據(jù)提煉出來的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，讓學(xué)生自己動(dòng)手設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)證明“黃金比”的存在。基于此，筆者對(duì)本段的內(nèi)容進(jìn)行了重構(gòu)，在后面增加了設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié)。

重構(gòu)：

師：欣賞完這些具有“美”的圖形，找到了它們的“黃金比”，現(xiàn)在老師把這些數(shù)據(jù)提供給你們，你們能設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案來證明“黃金比”的存在嗎？

（以維納斯雕像為例，教師提供真實(shí)的數(shù)據(jù)）

師：請(qǐng)一位同學(xué)介紹一下他的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案。

生：實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，尋找維納斯雕像中的黃金比;提出問題—哪兩段相比的結(jié)果接近0.618;實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，用提供的三個(gè)數(shù)據(jù)—上半身、下半身和全身長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算;得出結(jié)論。

師：請(qǐng)參考這位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，進(jìn)行方案修改和具體實(shí)驗(yàn)。

雖然教師在之前“體驗(yàn)美”的環(huán)節(jié)中幫助學(xué)生提煉了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但是，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是內(nèi)隱的，數(shù)學(xué)思考和規(guī)劃設(shè)計(jì)是外顯的，教師通過讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去解決實(shí)際問題，更好地了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況及其實(shí)驗(yàn)思維拓展能力。

操作經(jīng)驗(yàn)是小學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中最常見的，也是最容易被忽視的。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是要利用這種操作經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在操作前有思考，是因思而動(dòng)，不是為動(dòng)而動(dòng);在操作后有表達(dá)，對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中的思考進(jìn)行語言的整理與呈現(xiàn)。這樣調(diào)動(dòng)全身心去參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才能從多次操作的“量變”中積累有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，感受比例之美

教學(xué)片段：

問題：你可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)具有“黃金比”特征的作品嗎？（提出要求）

①試一試，動(dòng)手設(shè)計(jì)出一個(gè)具有“黃金比”特征的作品。

②算一算，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案去證明其是否具有“黃金比”。

③說一說，和同桌分享你的想法。

交流：向全體同學(xué)展示自己的設(shè)計(jì)想法以及是如何用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證的。

在之前的教學(xué)中，教師第一次布置的要求是讓學(xué)生設(shè)計(jì)出一個(gè)具有“黃金比”特征的圖形，可以是長(zhǎng)方形，也可以是人像，然后組織學(xué)生進(jìn)行集體交流。但是這樣的設(shè)置方式使學(xué)生缺少了對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的整體感知。因此在最后一個(gè)環(huán)節(jié)，教師不妨給學(xué)生一個(gè)充足的空間，使其去架構(gòu)一個(gè)完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，去自己發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，把對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的感悟沉淀下來。

四、重構(gòu)之后的思考

經(jīng)過《神奇的“黃金比”》一課的重構(gòu)和思考，筆者對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了新的思考。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)方式，它的目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論。這種學(xué)習(xí)方式對(duì)學(xué)生的要求較高，需要學(xué)生手腦并用。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還需要教師的引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，教師要能預(yù)設(shè)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，并且要關(guān)注實(shí)驗(yàn)中的生成性目標(biāo)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，帶著學(xué)生一起對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化的分析，整個(gè)過程要以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值顯而易見。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為新型的學(xué)習(xí)方式，其學(xué)習(xí)素材需要教師進(jìn)行開發(fā)，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有著深刻的理解，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)有著清楚的認(rèn)識(shí)，不僅要明確知識(shí)點(diǎn)之間的抽象關(guān)系，還要能挖掘出隱藏在知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史元素等數(shù)學(xué)文化成分，只有這樣才能設(shè)計(jì)出符合教學(xué)實(shí)際的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才能有效地開發(fā)出課程資源。對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)的是一個(gè)完整的教學(xué)過程，是讓學(xué)生進(jìn)入知識(shí)的生成情境，經(jīng)歷知識(shí)由不確定到確定的漸進(jìn)過程，這樣的探究充斥著猜想與證偽、成功和失敗，是一種能讓學(xué)生的知識(shí)和情感真正得到發(fā)展的學(xué)習(xí)方式。

在研究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有很大幫助，學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的活動(dòng)中，經(jīng)歷深刻的觀察、想象、假設(shè)、推理、探究等高層次的思維活動(dòng)過程。因此，教師要在具體的實(shí)驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生，使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

【參考文獻(xiàn)】

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