方差性質(zhì)的應(yīng)用及拓展

?甘肅省天水市秦安縣第二中學(xué) 任亞麗

1 方差的性質(zhì)

由方差定義公式，容易得出方差的兩條性質(zhì).

性質(zhì)1：S2≥0，即任何一組實(shí)數(shù)的方差都是非負(fù)實(shí)數(shù)．

性質(zhì)2：當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，S2=0，即若一組實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)的方差為零，則該組每個(gè)數(shù)據(jù)均相等，且都等于該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)和方差計(jì)算公式，?？蓭椭覀兛旖萁鉀Q一類與之相關(guān)的問題．

2 方差性質(zhì)的應(yīng)用

2.1 求值

例1已知x+y=8，xy-z2=16，求x+y+z的值．

所以x，y的方差為

由性質(zhì)①，得-z2≥0，所以z2≤0.

z2=0，即z=0，所以s2=0.

由性質(zhì)②，得x=y=4.所以x+y+z=4+4+0=8．

2.2 求最值

2.3 證明不等式

證明：設(shè)x2+y2+z2=ω，由方差公式，得x,y,z的方差為

2.4 證明等式

例4已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b．

證明：由已知得a+b=6,則

a2+b2=36-2ab=36-2(c2+9)=18-2c2.

由方差公式，得實(shí)數(shù)a,b的方差為

因?yàn)閟2≥0，所以-c2≥0.

所以c=0，因此s2=0，則a=b.

2.5 解方程

則x=a2，y=b2+1，z=c2+2，原方程可化為4(a+b+c)=a2+b2+c2+12.

所以a2+b2+c2=4(a+b+c)-12.

因?yàn)閟2≥0,所以(a+b+c-6)2≤0.因此a+b+c=6.于是s2=0,a=b=c=2.

所以x=4,y=5,z=6.經(jīng)檢驗(yàn)，x=4,y=5,z=6是原方程的解.

2.6 判斷三角形形狀

例6設(shè)△ABC的三邊a,b,c滿足：b+c=8，bc=a2-12a+52，試問△ABC是什么三角形(按邊分類)？并證明你的結(jié)論.

解：△ABC為等腰三角形，證明如下：

由已知得b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

由方差公式,得b,c的方差為

因?yàn)镾2≥0，所以-(a-6)2≥0，即a=6，于是S2=0.

所以,b=c=4.

故△ABC是以a為底，以b,c為腰的等腰三角形.

3 引伸與推廣

證明：n個(gè)數(shù)a1,a2,a3,…,an的方差為

因?yàn)镾2≥0，所以

該定理反映了“n個(gè)數(shù)的平方和”與“n個(gè)數(shù)的和的平方”之間的內(nèi)在聯(lián)系.

證明：由定理知

4 結(jié)語

由上面幾道例題我們可以知道，方差中的大多數(shù)問題都是利用方差大于零或者是方差等于零時(shí)建立等式與不等式(即方差的非負(fù)性)來作為突破口解決的.方差性質(zhì)的運(yùn)用往往能使同樣的一道題由繁變簡，由難變易，并能快速求解.